4.3【专题】全等三角形判定的常考模型 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 【专题】全等三角形判定的常考模型 本专题用于总结与训练《第四章 三角形（北师大2024新版）》中全等三角形判定中的5种基本模型及其子变式。4.3的3份课时同步作业中已出现反应本专题模型的题目，可以在学习中对照使用。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 本专题所涵盖的常考模型包括：平移模型、对称模型（轴对称与中心对称）、“手拉手”模型、一线三等角模型（三垂直、弦图、K字）、半角模型。 【模型1】平移模型 【典例】如图，已知点B、D在直线上，，，，判断和的位置关系，并说明理由． 【变式1】如图所示，已知点在同条一直线上，，．求证：． 【变式2】如图，，，．求证：． 【变式3】如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【模型2】对称模型 【子模型1】轴对称 【典例】如图，已知，，求证：． 【变式1】如图，，．求证：． 【变式2】如图，在和中，，，、、、四点在同一直线上，、交于点．请从①；②；③中选择一个选项作为已知条件，使得．你添加的条件是： （只填写一个序号），并写出证明过程． 【变式3】生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【子模型2】中心对称 【典例】已知：如图，，，，求证：． 【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．求证：． 【变式2】已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】如图，已知，下列结论中正确的个数是（　　） ；；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型3】“手拉手”模型 【典例】如图，在四边形中，点E在上，连接，，，，．猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，，，则下列添加的条件中不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，在中，，，点 为 上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：； (3)如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数． 【题型4】一线三等角模型 【子模型1】三垂直 【典例】公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【变式1】已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 【变式2】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 【变式3】利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【子模型2】弦图（毕达哥拉斯弦图与赵爽弦图） 【典例】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【变式1】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则 ． 【变式2】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为12，小正方形地砖面积为4，虚线依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形，则正方形的面积为 ． 【变式3】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为．连接AC，交于点P，交于点Q，连接．则图中阴影部分的面积之和为 ． 【子模型3】K字型 【典例】如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【变式1】已知，D、A、E三点均在直线上，且． (1)如图1，若，，，则线段的长为 ； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【变式2】通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 图3 【变式3】（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【例5】半角模型 【典例】如图，四边形中，，，．若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 ． 【变式1】如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【变式2】（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 【变式3】已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 【专题】全等三角形判定的常考模型 本专题用于总结与训练《第四章 三角形（北师大2024新版）》中全等三角形判定中的5种基本模型及其子变式。4.3的3份课时同步作业中已出现反应本专题模型的题目，可以在学习中对照使用。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 本专题所涵盖的常考模型包括：平移模型、对称模型（轴对称与中心对称）、“手拉手”模型、一线三等角模型（三垂直、弦图、K字）、半角模型。 【模型1】平移模型 【典例】如图，已知点B、D在直线上，，，，判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，先证明，再由平行线的性质得到，据此证明得到，则． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图所示，已知点在同条一直线上，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，再由已知条件即可证明． 【详解】证明：， ， 即， 在 和 中， ． 【变式2】如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①②或①③，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【详解】（1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点P， ， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 【模型2】对称模型 【子模型1】轴对称 【典例】如图，已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ∴ ∴ 【变式1】如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等判定定理得到，再由两个三角形全等的性质即可得证．熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】如图，在和中，，，、、、四点在同一直线上，、交于点．请从①；②；③中选择一个选项作为已知条件，使得．你添加的条件是： （只填写一个序号），并写出证明过程． 【答案】①，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行证明即可． 【详解】证明：当添加的条件是①， ∵， ∴，即， ∵，， ∴； 当添加的条件是②， 在和中， ， ∴； 当添加的条件是③， 在和中， ， ∴； 故答案为：①． 【变式3】生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】(1)稳定 (2)见详解 【分析】本题考查了三角形的稳定性，三全等三角形的判定和性质，线段中点的定义，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； （2）是的中点， ， ， ， ． 【子模型2】中心对称 【典例】已知：如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是求得．由可求得，根据得出，利用可求证，根据全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵ ∴ 在与中， ， ∴， ∴． 【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，再根据线段的转化即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ， ， ． 【变式2】已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是利用已知条件，依据全等三角形判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形性质和角的关系证明平行． （1）根据已知边相等的条件，利用“边边边（）”判定定理证明． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ∴（）； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知，下列结论中正确的个数是（　　） ；；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：， ，故正确； ，即，故正确； ， ， ，即，故正确； ， ， ，故正确； ， ，故正确； 与不一定相等，故错误； 故选：C． 【题型3】“手拉手”模型 【典例】如图，在四边形中，点E在上，连接，，，，．猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】先证明，得到，再结合代换证明即可．本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：． 理由：， ． 在与中， ， ， ， ． 【变式1】如图，，，则下列添加的条件中不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角全等的判定定理，解题的关键是根据三角形全等的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A．条件，，，符合三角形判定定理，能推出，不符合题意； B．条件，，，符合三角形判定定理，能推出，不符合题意； C．条件，，，符合三角形判定定理，能推出，不符合题意； D．条件，，，不符合三角形判定定理，不能推出，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，点、、在同一直线上，在等腰中有，在等腰中有，连接和，且交于点，交于点，连接，延长至点使得，连接，交于点，交于点，且有，以下的结论中：①；②；③；④平分．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，即可判断①正确；根据证明，即可判定②正确；根据全等三角形的性质可以证明，但，即，即可判定③错误；与不一定全等，，点C到、的距离不一定相等，即可判断④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴， ∴， ∴与不一定全等， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ∵与不一定全等，， ∴点C到、的距离不一定相等， ∴不一定平分，故④不正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 【变式3】如图，在中，，，点 为 上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：； (3)如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并会通过一边一角相等构造全等是解题的关键． （1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明； （2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明； （3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时由，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵中点是， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作，并且使，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折知， 可知是定值， 由中，，，是定值， 则斜边是定值， 由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【题型4】一线三等角模型 【子模型1】三垂直 【典例】公路上、两车站相距5千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米．现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【答案】报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，再证明，得出千米，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴千米，， ∴千米， ∴千米， ∴报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 【变式1】已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵是边上的中线， ， ， ． 【变式2】在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由、，得到两角互余，等量代换得到，再由两个三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及互余定义、直角三角形两锐角互余、垂直定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 【变式3】利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为． 【子模型2】弦图（毕达哥拉斯弦图与赵爽弦图） 【典例】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【答案】520米 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴（米）． 答：两个排污口之间的水平距离为520米． 【变式1】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．依题意得 ，则然后再根据即可得出答案． 【详解】如图所示的“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 【变式2】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为12，小正方形地砖面积为4，虚线依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，先证明，再根据正方形的对称性可得，据此证明，得到，则大正方形的面积，由此可得答案。 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形的面积， ∴正方形的面积 ． 故答案为：16． 【变式3】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为．连接AC，交于点P，交于点Q，连接．则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】16 【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ， ∵正方形的面积为， ∴即， ∴， ∴阴影部分的面积之和为16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解． 【子模型3】K字型 【典例】如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意得，，由余角性质得，进而可得，即得，，再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】已知，D、A、E三点均在直线上，且． (1)如图1，若，，，则线段的长为 ； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【答案】(1)9 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 【变式3】（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 【例5】半角模型 【典例】如图，四边形中，，，．若E，F分别在，上，且时，小王的探究方法是：延长至，使，连接，先证明 ；再证明，他得出的线段，，之间的关系是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，运用截长补短的思想，通过截取一条线段等于已知线段构造全等三角形是解题的关键．如图求证，于是 ，，进一步可证，求证，于是，所以． 【详解】解：如图，在和中， ∴ ∴， 四边形中， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ 而 ∴． 故答案为：，． 【变式1】如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 【变式2】（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点M，使，连接，可判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点M，使，连接，先判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论； （3）在延长线上取一点，使，连接，先判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论． 【详解】解：（1）延长到点M，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），证明： 如图所示，延长到点M，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图所示，在延长线上取一点，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$