精品解析：北京市八一学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

北京市八一学校教育集团2024-2025学年第二学期期中练习 八年级数学2025.04 注意事项 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） （下列每题的四个选项中，只有一个正确的选项） 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1；1；1 B. 2；3；4 C. 1；；2 D. ；3；5 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 7. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图象与轴交于点，且随自变量的增大而减小，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m 10. 已知正方形轨道的边长为小明站在正方形轨道边的中点处，操控一辆无人驾驶小汽车，小汽车沿着折线以每秒的速度向点(终点)移动，如果将小汽车到小明的距离设为将小汽车运动的时间设为那么与之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共17分，11-15每小题3分，16题2分） 11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. ______． 13. 如图，为测量池塘边上两点A，B之间距离，小明在池塘的一侧选取一点O，取OA，OB的中点D，E，测出DE=12米，那么A，B间的距离是（ ） 14. 若A（2，），B（3， ）是一次函数y= -3x+1的图像上的两个点，则与的大小关系是___________.（填“>”，“=”或“＜”） 15. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 16. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 三、解答题（本题共53分，第18题4分，17，19-24题每小题5分，第25、26题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形； 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A． 求作：直线AD，使得AD// l． 作法：如图2， ①在直线l 上任取两点B，C，连接AB； ②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D； ③作直线AD． 直线AD 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ AB ＝________，BC ＝________， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）． ∴ AD// l． 20. 已知一次函数图象经过点： （1）求的值． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）若点是轴上一点，且的面积是6，直接写出点的坐标． 21. 已知：如图，矩形中，对角线、相交于点，过，两点分别作，的平行线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 22. 已知小明家、公园、文具店在同一条直线上．小明从家去公园，在公园锻炼了一段时间后又到文具店买文具，然后再回家．右图反映了这个过程中，小明离家距离与时间之间的对应关系．根据图像信息填空． （1）小明家距离公园______米；小明从家到公园过程中，离家的距离与时间间的函数关系式是______； （2）公园距离文具店______米； （3）小明在文具店买文具花了______分钟； （4）小明从文具店回家的平均速度为______米/分． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作边垂线，垂足为，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点： （1）求函数的解析式； （2）已知一次函数，当时，对于的每一个值，都有函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 25. 在正方形和正方形中，为上一动点（不与重合），在延长线上， （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由． （2）如图2连接交于点，连接，判断与的数量关系，并说明理由． （3）如图3连接交于点，连接，若点在运动过程中，当平分时，过点做于点，直接写出与的数量关系． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，且，则称线段是点的“相关线段”，称菱形APMN边上的所有点都是点的相关点． （1）已知点的坐标是，点与原点重合； ①在图1中画出点“—相关线段” ，并直接写出点和点的坐标； ②若点的“相关线段”所在直线经过点，求的值； （2）已知点的坐标为，点是中点，若存在使得直线上有点的“相关点”直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市八一学校教育集团2024-2025学年第二学期期中练习 八年级数学2025.04 注意事项 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） （下列每题的四个选项中，只有一个正确的选项） 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用算术平方根的意义和平方的意义即可得出结论． 【详解】解：∵3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和算术平方根的意义是解题的关键． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1；1；1 B. 2；3；4 C. 1；；2 D. ；3；5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边最长及勾股定理逆定理逐项分析即可求解 【详解】A.，不符题意； B. ，不符题意； C.，符合题意； D. ，不符题意 故选 C 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，根据平行四边形对角相等，结合条件裂方程求解即可得到答案．熟记平行四边形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，且， ， 解得， 故选：A． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 5. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】解：， ∴ 是公路的中点， ， ，两点间的距离为； 故选：B 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，涉及函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，根据一次函数图象的平移法则直接求解即可得到答案．熟记函数图象的平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：将函数的图象向上平移3个单位长度可得到函数的图象， 故选：C． 7. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 8. 已知一次函数的图象与轴交于点，且随自变量的增大而减小，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数随自变量的增大而减小，再根据一次函数与不等式的关系即可求解. 【详解】随自变量的增大而减小， 当时，， 即关于的不等式的解集是． 故选． 【点睛】此题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟知一次函数的图像. 9. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， ∴旗杆的高度为12m． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 10. 已知正方形轨道的边长为小明站在正方形轨道边的中点处，操控一辆无人驾驶小汽车，小汽车沿着折线以每秒的速度向点(终点)移动，如果将小汽车到小明的距离设为将小汽车运动的时间设为那么与之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出小汽车在AB、BC上运动时，MQ的表达式即可求解． 【详解】解：设小汽车所在的点为点Q， ①当点Q在AB上运动时，AQ=t， 则MQ2=MA2+AQ2=1+t2， 即MQ2为开口向上的抛物线，则MQ为曲线， ②当点Q在BC上运动时， 同理可得：MQ2=22+（1-t+2）2=4+（3-t）2， MQ为曲线； 故选：D． 【点睛】本题考查了动点图象问题，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二、填空题（本题共17分，11-15每小题3分，16题2分） 11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，涉及平方差公式，由平方差公式化简后计算即可得到答案．熟记平方差公式及二次根式乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，取OA，OB的中点D，E，测出DE=12米，那么A，B间的距离是（ ） 【答案】24米 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理可得到AB=2DE，可求得答案． 【详解】∵D、E分别为OA、OB的中点， ∴DE为△OAB的中位线， ∴AB=2DE=24米， 故答案为24米 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 14. 若A（2，），B（3， ）是一次函数y= -3x+1的图像上的两个点，则与的大小关系是___________.（填“>”，“=”或“＜”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】因为A（2，），B（3， ）是一次函数y= -3x+1的图像上的两个点， 且k=-3＜0时， 所以y随x的增大而减小， 因为2＜3， 所以＞， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 15. 如图，数轴上点表示的数为3，，，以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，从而得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，在中，，，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径作弧，与数轴交于一点， ， 则点表示的数为， 故答案为：． 16. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 【答案】②④． 【解析】 【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①如图1， ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项①正确； ②如图2， 四边形AECF不是矩形，故选项②错误． ③如图3， 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确． ④如 图4 ， 如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 三、解答题（本题共53分，第18题4分，17，19-24题每小题5分，第25、26题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、利用二次根式性质化简、计算二次根式除法、负整数指数幂，最后再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、二次根式性质化简、二次根式除法、负整数指数幂及二次根式加减运算等知识，熟练掌握二次根式性质及相应运算法则是解决问题的关键． 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．连接，设与交于点．利用平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接，设与交于点．如图所示： 四边形是平行四边形， ，， 又， ． 四边形是平行四边形． 19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A． 求作：直线AD，使得AD// l． 作法：如图2， ①在直线l 上任取两点B，C，连接AB； ②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D； ③作直线AD． 直线AD 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD． ∵ AB ＝________，BC ＝________， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）． ∴ AD// l． 【答案】（1）见解析；（2），，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作法画出图形即可； （2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可． 【详解】（1）如图所示， （2）证明：连接CD． ∵ AB ＝CD，BC ＝AD， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）． ∴ AD// l． 故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定． 20. 已知一次函数图象经过点： （1）求的值． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）若点是轴上一点，且面积是6，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）作图见解析 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、一次函数图象与性质、求一次函数图象与坐标轴交点、描点法作一次函数图象、平面直角坐标系中求三角形的面积、含绝对值的方程等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）中求出的一次函数表达式，求出直线与坐标轴的交点坐标，采用描点法作出一次函数图象即可得到答案； （3）根据题意，作出图形，数形结合表示出的面积，建立方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数图象经过点， 将代入得到， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数， 当时，，即一次函数图象与轴交于； 当时，，即一次函数图象与轴交于； 由描点法作一次函数的图象，如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： ，点是轴上一点，且的面积是6， 设， 则， 即，解得或， 点的坐标为或． 21. 已知：如图，矩形中，对角线、相交于点，过，两点分别作，的平行线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由两个平行条件可得四边形BFCO是平行四边形，再由矩形的对角线的性质即可得四边形BFCO是菱形； （2）由矩形的性质及已知AB、BC，可求得AC的长，从而得OC的长，再由（1）的结论即可求得四边形BFCO的周长． 【小问1详解】 ∵BF∥AC，CF∥BD， ∴BF∥OC，CF∥OB， ∴四边形BFCO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC， ∴四边形BFCO是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD矩形， ∴∠ABC=90°， 由勾股定理得：， ∴， 由（1）知，四边形BFCO是菱形， ∴BF=FC=OC=OB， ∴四边形BFCO的周长为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，证明四边形BFCO是菱形是关键． 22. 已知小明家、公园、文具店在同一条直线上．小明从家去公园，在公园锻炼了一段时间后又到文具店买文具，然后再回家．右图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图像信息填空． （1）小明家距离公园______米；小明从家到公园过程中，离家的距离与时间间的函数关系式是______； （2）公园距离文具店______米； （3）小明在文具店买文具花了______分钟； （4）小明从文具店回家的平均速度为______米/分． 【答案】（1）；； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）数形结合，根据题意和函数图象中的数据即可得到答案； （2）数形结合，根据题意和函数图象中的数据即可得到答案； （3）数形结合，根据题意和函数图象中的数据即可得到答案； （4）数形结合，根据题意和函数图象中的数据即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，小明家距离公园米； 由图可知，小明从家到公园过程中，设离家的距离与时间间的函数关系式是， 将代入可得， 小明从家到公园过程中，离家的距离与时间间的函数关系式是； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由图可知，小明在公园锻炼了一段时间后又到文具店买文具，则公园距离文具店米， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可知，小明在文具店买文具花了分钟， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由图可知，小明从文具店回家的平均速度为米/分， 故答案为：． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点，过点作边垂线，垂足为，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形性质得到，再由平行四边形的判定，结合即可得证； （2）由菱形性质，在中，由勾股定理得到，再由菱形面积公式列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ． 又， ， ． ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ，，． 在中，，． ． ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及菱形性质、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、菱形面积公式及等面积法求线段长等知识．熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点： （1）求函数的解析式； （2）已知一次函数，当时，对于的每一个值，都有函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），且 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法确定一次函数解析式、一次函数与不等式的关系等知识，熟记一次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将代入解方程组即可得到答案； （2）由题意可知，一次函数恒过定点，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， 将代入得， 解得， 一次函数解析式为； 小问2详解】 解：一次函数恒过定点， 当时，对于的每一个值，都有函数的值小于函数的值， 当时，，如图所示： 当时，如图所示，对于的每一个值，都有函数的值小于函数的值； 当一次函数过时，，解得，如图所示，对于的每一个值，都有函数的值小于函数的值； 综上所述，的取值范围是，且． 25. 在正方形和正方形中，为上一动点（不与重合），在延长线上， （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由． （2）如图2连接交于点，连接，判断与的数量关系，并说明理由． （3）如图3连接交于点，连接，若点在运动的过程中，当平分时，过点做于点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，由两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）过点作，交延长线于，如图所示，由（1）中全等得到，再进一步利用两个三角形全等的判定定理得到，即可得到，即点是线段的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰直角三角形性质即可得证； （3）由（2）可知，在中，是直角三角形斜边上的中线，则，进而可知，过点作于，则，先证，进而证得，得，即可求解，则，在上截取，则，，得，则，得，由可得结论． 【小问1详解】 解：， 理由如下： 在正方形中，；在正方形中，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 过点作，交延长线于，如图所示： 由（1）可知，， ，， ， ，， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，即点是线段的中点， 在中，是直角三角形斜边上的中线，则， 在正方形中，是正方形的对角线，则是等腰直角三角形， ， ，即， ，则； 【小问3详解】 ，理由如下： 由（2）可知，在中，是直角三角形斜边上的中线，则， ∵， ∴， 过点作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵，则， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴，则， 在上截取，则，， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、正方形的性质、直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，属于几何综合题，难度较大．解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，如果点，，，按逆时针方向排列构成菱形，且，则称线段是点的“相关线段”，称菱形APMN边上的所有点都是点的相关点． （1）已知点的坐标是，点与原点重合； ①在图1中画出点的“—相关线段” ，并直接写出点和点的坐标； ②若点的“相关线段”所在直线经过点，求的值； （2）已知点的坐标为，点是中点，若存在使得直线上有点的“相关点”直接写出的取值范围． 【答案】（1）①点M的坐标是，点N的坐标是；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①依题意可得点和点在第一象限，结合菱形的性质作图即可，延长交轴于点，推出，，得到，进而求出，即可求解；②由点的“相关线段”所在直线经过点，可得点必在直线上，记直线与轴交于点，可得，分两种情况：当点在轴上方时，当点在轴下方时，分别求解即可； （2）求得直线与轴、轴的交点分别为，，则，当点在直线上，且直线时，最小，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质求出的坐标，即可求出此时的值，当直线过原点时，即可求解． 【小问1详解】 ①如图，即为所求， 延长交轴于点， 四边形是菱形，，点的坐标是， ，， ，， ， ， ， 点M的坐标是，点N的坐标是； ②点的“相关线段”所在直线经过点， 点必在直线上， 记直线与轴交于点， ，， ， ， 分两种情况： 当点在轴上方时，符合题意，此时； 当点在轴下方时，也符合题意，此时； 或； 【小问2详解】 在直线中，令，则，令，则， 直线与轴、轴的交点分别为，， ， ， 当点在直线上，且直线时，最小，则， ， 过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 将代入直线得： ， ； 当直线过原点时，； 综上所述，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$