精品解析：陕西省榆林市多校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

榆林2024~2025学年度第二学期期中联考 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 某影城有一些电影新上映，其中有1部喜剧片、2部文艺片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 若函数在处的导数为1，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 12种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 5. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 6. 设，随机变量的分布列如下所示，那么，当在内增大时，的变化是（ ） 0 1 2 A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 7. 现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 48种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 8. 定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：，） A. 2折函数 B. 3折函数 C. 4折函数 D. 5折函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有9项 B. 展开式中的常数项是 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 10. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，．同学甲从第一次实验到第三次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，则（ ） A. B. C. D. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上单调递减，则的最大值为1 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为_____． 13. 某校共有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，请估计竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为_____人．（结果四舍五入保留整数） （参考数据：，，） 14. 用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_____个．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从甲、乙等5人中选4人参加米接力比赛． （1）求甲跑最后一棒的排法有多少种? （2）求甲、乙均参加，且不相邻的排法有多少种? 16. 已知函数在时取得极值． （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 17. 2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会． （1）若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式的统计数据如下表： 游览方式 复古三轮车 共享单车 步行 游客人数 60 120 170 经统计发现，若游客乘坐复古三轮车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为；若游客骑共享单车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为，若游客步行逛庙会，则能逛完所有区域的概率为． 以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：函数至多有一个零点． 19. 某校为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落，高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮（二分球+三分球）命中率较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）． （1）小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次小必定能评为校MVP，试通过计算判断小的想法是否准确? （2）小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏．游戏规则如下： ①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3． ②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮． ③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜． 若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题： （ⅰ）若小第一次投篮，设其获胜的概率为，请证明：当时，小获胜的概率大； （ⅱ）若小第一次投篮，，设小获胜的概率为，请通过讨论说明：小和小谁获胜的概率大? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林2024~2025学年度第二学期期中联考 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的计算公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2. 某影城有一些电影新上映，其中有1部喜剧片、2部文艺片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】从5部电影种选择一部观看，共有5种方法， 故选：A 3. 若函数在处的导数为1，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】， 故选：C 4. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ） A. 12种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】按照分组分配问题先将四个区分为三组，再分配到三组工作人员中去即可. 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：B 5. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 6. 设，随机变量的分布列如下所示，那么，当在内增大时，的变化是（ ） 0 1 2 A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】B 【解析】 【分析】先求期望，再求方差，根据函数单调性判断即可. 【详解】依题意可得， 所以 ， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 即当在内增大时，也增大. 故选：B. 7. 现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 48种 B. 64种 C. 96种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可. 【详解】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示， 先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色， 因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法， 所以共有种涂色方法． 故选：C. 8. 定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：，） A. 2折函数 B. 3折函数 C. 4折函数 D. 5折函数 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导数，函数的极值点问题，等价于的零点问题，转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题. 【详解】， 函数的极值点问题，等价于的零点问题，令，得， 所以将函数的零点个数问题，转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题． 在同一坐标系中，画出函数和的图象， 由于所以和在有一个交点， ，故当时，和的图象无交点， 因此和在上有1个交点，所以函数为2折函数. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有9项 B. 展开式中的常数项是 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解AB，利用赋值法即可求解C，根据二项式系数和公式即可求解D. 【详解】对于A,由于，故展开式共有9项，A正确， 对于B，展开式中的常数项为，故B错误， 对于C,令，则，故展开式中各项系数和为0，C正确， 对于D , 展开式中的二项式系数之和为，故D错误， 故选：AC 10. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，．同学甲从第一次实验到第三次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，则（ ） A. B. C. D. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【详解】由题意可知，,故A正确， 所以，故B错误； ，C正确， 一次实验中， 两处至少遇到一次红灯的概率为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上单调递减，则的最大值为1 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求导确定单调性即可判断；对于BC，构造函数求导，确定单调性可判断；对于D，画出得图象，由图象可判断. 【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确； 当时，，即. 设，则， 在处取得最小值，故B正确； 当时，，即. 由B选项的过程知，在时，， 在上单调递减，，故C正确； 画出的图象如图， 可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确， 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数思想，进行代入求值即可. 【详解】由题意得：，再代入得：， 解得：， 故答案为：. 13. 某校共有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，请估计竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为_____人．（结果四舍五入保留整数） （参考数据：，，） 【答案】341 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求解概率，进而可求解人数. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布，故， 故竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为， 故答案为：341 14. 用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_____个．（用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】根据个位数字，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数， 若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数， 因此一共有个符合条件的偶数， 故答案为：30 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从甲、乙等5人中选4人参加米接力比赛． （1）求甲跑最后一棒的排法有多少种? （2）求甲、乙均参加，且不相邻的排法有多少种? 【答案】（1）24 （2）36 【解析】 【分析】（1）甲跑最后一棒，从剩下的3人里选出3人排序即可； （2）不相邻问题，插空法； 【小问1详解】 甲跑最后一棒，从剩下的4人里选出3人排序即可，即； 【小问2详解】 先从剩下的3人里选出2人排好，共种情况， 排好的2个人会产生3个空，选2个空，将甲乙排进去即可，共情况， 所以总情况为： 16. 已知函数在时取得极值． （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据极值求出，再检验，再利用导数的几何意义求解； （2）比较即得解. 【小问1详解】 由题得，所以. 当时，， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 此时函数在时取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为，，， . 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17. 2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会． （1）若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式的统计数据如下表： 游览方式 复古三轮车 共享单车 步行 游客人数 60 120 170 经统计发现，若游客乘坐复古三轮车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为；若游客骑共享单车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为，若游客步行逛庙会，则能逛完所有区域的概率为． 以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率． 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问2详解】 记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件为“游客乙骑共享单车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有区域”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：函数至多有一个零点． 【答案】（1） （2） 的定义域为， ， 由于，故， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 故在处取极小值，， 因此函数至多有一个零点． 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，得函数的单调性，即可根据单调性求解函数的极小值，根据极小值大于0，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则，故， 又， 故在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 略 19. 某校为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落，高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮（二分球+三分球）命中率较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）． （1）小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次小必定能评为校MVP，试通过计算判断小的想法是否准确? （2）小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏．游戏规则如下： ①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3． ②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮． ③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜． 若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题： （ⅰ）若小第一次投篮，设其获胜的概率为，请证明：当时，小获胜的概率大； （ⅱ）若小第一次投篮，，设小获胜的概率为，请通过讨论说明：小和小谁获胜的概率大? 【答案】（1）小的想法不正确，理由如下： 由题意小总出手200次，命中120次，命中率为：， 小总出手200次，命中136次，命中率为， 故小获校，所以小的想法不正确； （2）（ⅰ）证明见解析， 若第一次投篮人物为小，， 小获胜的概率为，小获胜的概率为， ， 故当时，，小获胜概率大， （ⅱ）若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大. 故当时，若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大. 【解析】 【分析】（1）直接计算命中率即可判断； （2）（ⅰ）由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式即可求证；（ⅱ）由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式，结合指数函数单调性即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）若第一次投篮人物为小，， 小获胜的概率为，小获胜的概率为， 则 ， 其中 由指数函数的单调性可知：随着的增大而增大， 计算可得：， 所以当也就是时，， 当也就是时，， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大. 故当时，若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $