精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星海实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

苏州星海中学2024-2025学年第二学期期中试卷 高一数学 2025.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则它的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 3. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为（ ） A. B. C. D. 5. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 已知平面向量，满足，则在方向上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C 72 D. 76 8. 有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 10. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 设，且，则最小值为__________. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 18. 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． （1）记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； （2）求四边形面积的最小值． 19. 法国伟大军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为. （1）求角； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州星海中学2024-2025学年第二学期期中试卷 高一数学 2025.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，则它的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解． 【详解】， 复数的虚部为． 故选：B． 2. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形． 【详解】由题意知， 由正弦定理得 又 展开得， 又角A，B，C是三角形的内角 又 综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C． 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用． 4. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象平移遵循“左加右减”原则，根据已知的平移后函数和移动单位，反推原函数. 【详解】根据“左加右减”原则，那么将的图象向左平移个单位就可得到的图象. 对于，向左平移个单位，即将变为. 所以. 故选：C. 5. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角， 由锐角三角函数定义及已知得， 所以. 故选：C 6. 已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解； 【详解】由，，且， 平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C. 72 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设点，正六边形的边长为4， 所以， 所以， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取， 所以， 即的最大值为48. 故选：. 8. 有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案. 【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB. 设,则. 过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则. 在直角三角形中，,所以. 同理：. 所以. 因为（当且仅当且时等号成立）. 所以. 因为走廊的宽度与高度都是3米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为, 所以. 故选：A 【点睛】利用三角函数解应用题的解题思路： （1）画出符合题意的图形； （2）把有关条件在图形中标出； （3）建立三角关系式，利用三角函数求最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦定理得到或，分两种情况，求出答案. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为， 所以， 即， 所以，所以或． 当时，，因为，所以， 所以，，则， 当时，， 综上：值为或2. 故选：BC 10. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设，代入验证即可求得. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，取，，则，但且，所以B错误； 对于C选项，设，则，所以，C正确； 对于D选项，设，则由得， 又，， 故成立，D正确． 故选：ACD． 11. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性. 【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点， 所以，解得，故A正确； 又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点， 且，则在上，出现两次最大值， 此时函数的大致图象如图示： 即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值， 故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确； 由于当时，，， 当时，取最小值 ，由于是否取到不确定， 故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误； 当时， ， 因为，所以，， 故的值不一定小于， 所以在上不一定单调递减. 故选：AB. 【点睛】本题考查了复合型余弦函数解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 故，解得，而， 故答案为： 13. 设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值. 【详解】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求得的面积，设所求面积为，利用向量共线定理、平面向量基本定理得出即可求解. 【详解】 的面积为， 注意到， 所以 ， 因为三点共线，所以设， 而点中点，点是中点， 所以，设， 所以，因为不共线， 所以，解得， 因为， 设的面积为，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到的面积，，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 18. 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． （1）记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； （2）求四边形面积的最小值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解； （ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解； （2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 （i）由题知：，． 所以． （ii）由（i）知：， 当时，时取等号， 所以， 故当时，的最大值为． 【小问2详解】 因为． 令，所以， 令， 对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若，则在上单调递减， 所以， 综上，当时，四边形面积最小值为； 当时，四边形面积最小值为. 19. 法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，如图，的内角的对边分别为，，以为边向外作三个等边三角形，其中心分别为. （1）求角； （2）若，且的周长为9，求； （3）若的面积为，求的角平分线的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，即可求得的值； （2）由（1）知，求得，在中，由余弦定理得，再在中，由余弦定理得到，联立求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求得的值； （3）在等边中，求得，结合三角形的面积公式，化简得到，进而得到，由，利用基本不等式，求得，得到，设，得到，令，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，可得，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，由等边的周长为9，可得， 又由，，， 在中，由余弦定理，可得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即， 联立解得， 所以 . 【小问3详解】 解：由等边的面积为，可得， 又由（2）知：，即， 由，可得， 则， 因为，则， 又因为，即，解得， 所以， 设，则，则 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，所以，则 所以的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$