福建省福州高级中学2024-2025学年高三下学期高考适应性考试数学试题

数 学 一、选择题1-8 BABCDCCA 二、选择题9-I山AD ABC ABD 三、填空题(12-14 12.213.-114.20 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-ac=b2. (1)求B: (2)若△4BC的面积不小于√3a2,求tanA的最大值 【详解】 (1)由余弦定理可知：cosB=+c-B_1 2ac 2 因为Be0,则B-号 (2)因为S=acsin B≥V5a2,所以csin B≥2W3a,即c≥4a 由正弦定理可知：sinC≥4sinA 因为A+B+C=元，所以sinC=sin(A+B)=sin(5+A) 由此可得sn写+)≥4sm4,展开得 2cosA+2smA≥4sinA 即√3cosA≥7sinA,又因为A∈(0，π)，sinA>0,所以cosA>0 同时除以cosA,得tan4≤因 所以tanA的最大值为V5 M数学答案第1页（共7页) 16.(15分) 如图，在正四棱柱ABCD-AB,CD中，P为BD上的点，A4=2AD (1)若AP⊥BD,证明：CP⊥BD: (2)若AP∥平面ACD,求二面角P-AB-C的正切值 【详解】 (1)连接BD,在正四棱柱ABCD-AB,CD中，DD⊥平面ABCD 因为ACc平面ABCD,所以DD⊥AC. 因为BD⊥AC,又因为BD∩DD=D,BD,DDC平面BDD 所以AC⊥平面BDD.因为BDC平面BDD,所以AC⊥BD 因为AP⊥BD,AP∩AC=A,AP,ACC平面APC 所以BD⊥平面APC.因为CPc平面APC,所以CP⊥BD. (2)因为AC/1AC,4Gc平面ACD,AC丈面ACD D 所以AC∥平面A,CD.因为AP∩AC=A,AP,ACC平面ACP 01 B 所以平面ACP∥平面ACD 记四边形ABCD,AB,CD的对角线交点分别为O,O 因为平面ACP∥平面ACD,平面DDB,B∩平面APC=OP 平面DDB,B∩平面ACD=DO,所以OP∥DO 设DO与BD交于Q,则Q为DP的中点，P为BQ的中点，所以BP=二BD, 作PM⊥DB于M,MN⊥AB于N,则PM⊥平面ABCD,PN⊥AB 所以∠PWM为二面角P-AB-C的平面角. 由M=24D,aP-写D,箱PM-写D0-号4D,AN=写40 3 3 所以tan∠PWM= PM=2,即二面角P-AB-C的正切值为2， M M数学答案第2页（共7页) 17.(15分) 己知函数f(x)=og.2-x _x+ax,a>0且a1. (1)求曲线y=f(x)的对称中心： (2)证明：曲线y=f(x)在对称中心处的切线不过坐标原点： (3)讨论f(x)的单调性 参考数据：当x→0时，xlnx→0. 【详解】 (1)函数f(x)=log。x-log(2-x)+ar的定义域为(0,2) 因为f(x)+f(2-x)=log x-log.(2-x)+log.(2-x)-log。x+a(2-x)=2a 所以曲线y=f(x)的对称中心为(L,a) a因为品2a,a22 Ina 所以曲线y=f)在对称中心处的切线方程为)y=2+an0x-2 Ina Ina 因为a>0且a1,己+0.所以曲线)y=树在对称中心处的切线不过坐标原点 Ina 2》当a>1时，了)-品，之+a>0,此时树在02)上单调递猎 Ina'x 2-x 当0<a<1时，fe)=2+,)+a=anar+2anax+2 Ina'x 2-x x(2-x)Ina 引理：当0<x<1时，-2<xlnx<0 设g(x)=xnx,0<x<1,所以g'(x)=nx+1,令g'(x)=0,得x= e 所以g(x)在(0，马上单调递减，仁，)上单调递增。 因为当x→0时，xnx→0，g0=0,g白= e 所以-2<-1<xnx<0,引理得证 回到原题，分子可看成关于变量x的二次函数 该二次函数的判别式为△=4(alna)2+8alna=4alna(alna+2) 由引理可知，-2<alna<0,所以△<0，(-alna)x2+2(alna)x+2>0 因为0<a<1时，na<0,所以f'(x)<0 此时f(x)在(0,2)上单调递减 M数学答案第3页（共7页) 综上所述，当a>1时，f(x)在(0,2)上单调递增：当0<a<1时，f(x)在(0,2)上单调 递减。 18.(17分) 已知坐标原点为0，椭圆C:父+上-1的上下顶点分别为B,B,过点40，-2) 43 且斜率存在的直线I交C于P,Q两点，直线B,P与B,Q交于点R (1)设线段PQ的中点为M,证明：直线PQ与OM的斜率之积为定值： (2)若1AP|=PQ,求I的方程： (3)若BP⊥B,Q,求△PQR的面积 【详解】 (1D设P(,y),Qx,),则M(古+五，当+) 2 2 王+上=1 因为P，Q两点均在椭圆C上，所以 43 相减得上-业.当+业=-3 x-无3x+X2 4 43 即k0k,所以直线PO与OM的斜率之积为定值 1 (2)因为AP1=|PQ,则P为线段AQ的中点，从而 2 2-5 1 由(I)知：krokow-代入得2-5了 3 1 4 2 即--5+3=名，因为0在横圆C上，所以后=4 35 联立解得y2= 5,所以5=压政 4 2 2 7W55 5时，x= 当x2= 5.7W ,所以直线1的斜率为84=一 9√5 2 4’=- 8 V15V15 10 42 同理，当6=压时，5= 57 2 4 ，乃=- ，此时直线1的斜率为 10 M数学答案第4页（共7页) 综上所述，1的方程为y=士95 x-2W5 10 (3)因为直线1过点40，-2W5),则xy-y2=2V3(x-x) 所以x乃+xy2= -拉.80--6 x2乃-x2 23(x-x2) 5(+ 35.5 x2月= 从而得到 4 4 35.55 x为2= 4-4 8P的方程为y=54+v5,8Q的方程为y=占 3x-5 5.53 联立得y-54-5.4 45-5x y+V5xy+V5x33.53 4-4+5x 由此解得：y= 即R在定直线y=5上 5 2 263 设R,-5,因为BP1BQ,所以BRaR=L.-35( =29 =0 4 由对称性，不妨取：=多从而风（号受 2-5 2 由此可得直线BP的方程为y=Bx+VB,与椭圆C联立得P(一Y 5 同是，直线0的方程为y=5:-厅，与椭圆C联立得Q号骨 24_53 3 所以RP=-专@=语.从面△POR的面积为时RPH@- 130 M数学答案第5页（共7页) 19.(17分) 记(a,b)为正整数a,b的最大公约数，正整数数列{an}满足a1=an+(n+1,an) (1)求a=3时，求a2,a3: (2)当a1=3时，求所有满足a4=2k的正整数k: (3)当a,>3时，证明：不存在满足a=2k的正整数k. 【详解】 (1)当a1=3时，因为(2,3)=1 所以a2=a1+(2,a)=3+(2,3)=4=2×2，a3=a2+(3,a2)=4+(3,4)=5. (2)因为a2=a,+(2,a)=3+(2,3)=4=2×2 从而k=2满足题意， 引理1：对于正整数n≥3，有a。=n+2. 当n=3时，a=42+(3,4)=4+(3,4)=5=3+2成立. 假设当n=k≥3时，a=k+2成立： 当n=k+1时，a41=a4+(k+l,a)=a+(k+2,k+1)=a+1=(k+)+2 从而当n=k+1时也成立，即引理1得证. 所以对于正整数n≥3，有an=n+2 回到原题，由引理1知：对于正整数k≥3，a=k+2<2k. 即k≥3时，不存在满足a=2k的正整数k 综上所述，当且仅当k=2满足a=2k (3)当a1>3时，a1≥4. 若a1=4,则a2=6:若a1≥5，则a2=a1+(2,a)≥5+(2，a)≥6. 所以，若存在正整数k满足a=2k,则k≥3 假设存在正整数k满足a4=2k,记m=min{k|a4=2k,keN},则m≥3. 引理2：当1≤n≤m-1时，a>2n. M数学答案第6页（共7页) 当n=1时，a,>2成立：当n=2时，a2>4成立 假设当n=k≤m-2时，a:>2k成立： 当n=k+1时，ak1=a+(k+l,a)>2k+(k+1,as)≥2k+1 从而得到a1≥2k+2=2(k+1),考虑到m的最小性，等号不能成立. 所以a1>2(k+1),从而当n=k+1时也成立，即引理2得证. 回到原题，显然{an}是严格递增数列，因为am=2m,所以am1≤2m-1. 由引理2可知：am1>2m-2,所以am1=2m-1. 类似地，可以得到am-2=2m-2或am-2=2m-3 当am-2=2m-3时， am-1=am-2+(m-1,am-2)=2m1-3+(m-1,2m-3)=2m-3+(m-1,m-2)=2m-2 与aw1=2m-1矛盾 当am-2=2m-2时， am-1=am-2+(m-1,a.-2)=2m-2+(0m-1,2m-2)=2m-2+m-1=3m-3>2m-1 与am-1=2m-1矛盾 综上所述，不存在满足a=2k的正整数k. M数学答案第7页（共7页) 学校： 姓名： 准考证号： 2024-2025学年福州高级中学第二学期高考适应性考试 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，学生务必在本试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“学校、准考证号、姓名”与学生本人学校、准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。 3.答题结束后，学生必须将本试卷与答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 iz=z-1, 则|z|= A. C. 1 D. 2. 已知向量, 则x= A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1 3. 已知函数 的最小正周期为M, 的最小正周期为N，则下列说法正确的是 A. M =2N B. M=N C. M>2N D. M>N 4. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的表面积为 A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π 5. 已知 , 则 sin(α-β)= A. - 3m B. 3m D. m3 6. 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知.根据以上公式，则这三个数的大小关系为 A. a>c>b B. a>b>c C. c>a>b D. c>b>a 7. 已知|OA|=|OB|=1, △ABC为等腰直角三角形, 则|OC|的最大值为 A. 8. 已知 A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 若集合A与集合B满足条件： ①A∪B=U; ②α∈A, β∈B, α<β. 则称L(A,B)为集合U的划分. 下列命题正确的是 A. 若L(M,N)为集合U的划分, 则 B. 若L(M,N)为集合U的划分, 则 C. 若,则L(M,N)为R的划分 D. 若存在L(A,B)划分, n∈N⁺,则 10. 在平面直角坐标系xOy中, F₁(-1,0), F₂(1,0)为两个定点, 为动点, 且|MF₁|,|OM|, |MF₂|成等比数列，记点M 的轨迹为C，过M 作C的切线23，则下列说法正确的是 A. C是双曲线 B. 若 则l的斜率为 C. 存在点M , 使得OM⊥l D.不存在区间I，当 时， 11. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p), n≥2. 记X为偶数的概率为 an, X为奇数的概率为 bn，则下列说法正确的是 A. 当 时， 是等比数列 B.当 时， C. 当 时， D. 当 时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知A∈R, 对于任意的δ>0, 都有|A-2|≤δ, 则A= 13.在平面直角坐标系xOy中，设P是曲线 图象上的动点，过P分别向直线和y轴作垂线，垂足为A， B，则 14. 从1, 2, 3, …, 11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数a, b, c, 则 abc能被4整除的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15. (13分) 记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 (1) 求B; (2)若△ABC的面积不小于 求的最大值. 16. (15分) 如图，在正四棱柱 中, P为BD₁上的点, (1) 若AP⊥BD₁, 证明: (2) 若AP∥平面A₁C₁D, 求二面角P-AB-C的正切值. 17. (15分) 已知函数 且a≠1. (1) 求曲线的对称中心; (2)证明：曲线在对称中心处的切线不过坐标原点； (3) 讨论的单调性. 参考数据: 当x→0时, →0. 18. (17分) 已知坐标原点为O，椭圆C: 的上下顶点分别为B₁，B₂，过点. 且斜率存在的直线l交C于P，Q两点，直线B₁P与B₂Q交于点R. (1)设线段PQ的中点为M ，证明：直线PQ与OM 的斜率之积为定值； (2) 若|AP|=|PQ|, 求l的方程; (3) 若 ,求△PQR 的面积. 19. (17分) 记(a，b)为正整数a，b的最大公约数，正整数数列{an}满足 (1)求 时, 求a₂, a₃; (2)当 时，求所有满足 的正整数k； (3)当 时，证明：不存在满足 的正整数k. 学科网（北京）股份有限公司 $$