福建省晋江市毓英中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

晋江市毓英中学2025年春高一年期中检测卷 数学（三角函数、平面向量、解三角形和复数） “考试时间120分钟，试卷满分值150分命卷：吴拓磊 审核：李福安” 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求) 1.已知复数z满足(z+2)i=1-2i,则|z=() A.5 B.23 C.5 D.7 2.已知向量ā，满足1=1,6=(1,2)，a-引=V7,则向量à在向量6方向上的投影向量 为() A(品) .() 3.已知cos(a+B)=2 tan o tanB=-, 则cos(a-B)=() A-月 B c.- D 4.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A, B两点，测得AB=50米，在A,B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°， ∠ADB=30,则灵运塔的高度CD是() A.45米 B.50米 C.55米 D.60米 5.△A8C中，若非零向量丽与C满足（隔+）配=0，丽元=0则△ABC为() A.等腰直角三角形 B.三边均不相等的直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 6.在△ABC中，内角4BC的对边分别为a,66已b=2a0s(C-》则= () A. B.√2 3 C.5 D. 3 3 7,在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分 点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M,又CM=tCP,则t=() 试卷第1页，共4页 B月 c 8.已知函数∫(x)=sm(2x+》记方程f(,)=在xE怎，增上的根从小到大依次为 x1,x2…,xn,则x1+2x2+2x3+…+2x-1+xn的值为() A.29严 B.32元 C.34π D.3π 3 3 3 3 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若sinA>sinB,则A>B B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形 C.若sinA=cosB,则△ABC是直角三角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB 10.函数f()=Asin(or+)(A>0,w>0,lpl<爱的部分图象如图所示，下列结论 中正确的是() A.w=2 B.函数f)的图象关于点(-F,0)对称 C函数)在受引上单调递地 D.将函数f()的图象向右平移是个单位得到函数g(x)=sm(2x+)的图象 11,如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=2,DE=DC(0<1<1),则下列结论正 确的是() A.当2=}时，丽=正+正 B.当元=}时，cO5<A泥，E>= C.对任意λ∈(0,1)，A正⊥B正不成立D.若AC=xA正+yBE,则-2<<0 试卷第2页，共4页 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12,若ā=（八，4），6=(3,5)，且a与的夹角为锐角，则A的取值范围是 13.复数z满足|z=1,则2-2-的最大值为 14.在三角形ABC中，已知AB=1,BC=2,∠ABC=,D为三角形ABC外接圆上一点 (A,B,C,D按逆时针方向排列)，则四边形ABCD面积的最大值为 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设复数z1=1-ai(aeR),z2=2+1 (1)在复平面内，复数z1+z2对应的点在实轴上，求z12: (2)若兰是纯虚数，求实数a的值 Z2 16.(15分)在△ABC中，a=cc0sB+b.若c=4, (I)求△ABC面积的最大值： (2)求△ABC周长的取值范围. 17.(15分)已知向量元=(W3cosx+simx,1),元=(sinx,孕，函数f(x)=元，m (1)求f(x)的最小正周期T了 2)求函数f(x)在xe0,引的单调增区间： (3)求函数fx)在0，习的值域。 18.(I7分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且S=nA+2 sin B cos A a 2sin A (1)求角B的大小： (2)若b=2V3,D为AC边上的一点，BD=3,且，求△ABC的面积 (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答) ①BD是∠B的平分线： ②D为线段AC的中点， (3)若△ABC为锐角三角形，b=√5，求AC边上的高取值范围 试卷第3页，共4页 19.(17分)设平面内两个非零向量元，的夹角为0，定义一种运算“⑧”：m⑧n= sin0.试求解下列问题 (1)已知向量ā，满足a=(1,2),=2,a·b=4,求ā⑧的值： (2)在平面直角坐标系中，已知点A(0,-1),B(-3.0),C(-2,2),求AB⑧BC的值： 3)已知向量ā=（←o5a品），方=（品a,),a∈(0，》求a⑧的最小值 试卷第4页，共4页 《晋江市毓英中学2025年春高一年期中检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D C AD ABC 题号 11 答案 AD 1.D 【分析】根据复数运算得出z=-i-4,再应用模长公式计算求解 【详解】因为(z+2)i=1-2i,所以(z+2)i,i=(1-20i,即-(z+2)=i+2, 所以z=-i-4,所以z=√-1)+(-4乎=V7, 故选D 2.C 【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得ā，，从而根据投 影向量的定义运算得答案 【详解】因为=1,6=(1,2)，a-=√7， 所以2-2a6+=1-2a6+5=7,则a6=-》 所以向量在向量6方向上的投影狗量为一5=☒)=一六12)=（高-） 故选：C 3.B 【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值 【详解】因为tan atan B= 1 与sinasin 5 cosaco5sin asin B=cosacosB: 又cos(a+B)=→coscsB-nn=号 5 所以血anB=-立，coso=立 所以cos(a-)=cosa cos B+sinasinB= 41 123 故选：B 4.B 【分析】设CD=x米，结合已知条件得AD=x,BD=√3x,再应用余弦定理计算求解即可 【详解】设CD=x米，在△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=45,则AD=x, 在△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=30°，则BD=√3x 答案第1页，共11页 因为∠ADB=30,所以由余弦定理得：x2+3x2-2x×V3xcos30'=502,整理得：x2=502, 解得x=50(米) 故选：B 5.A 【分析】利用恶和爱都为单位向量，得到8=AC,再利用丽C=0、餐到而1配， 判断即可， 【详解】0哥和受都为单位向量，“哥+恶垂直平分配，故AB=AC, 西 QAE.AC=0,∴A丽1AC “△ABC为等腰直角三角形. 故选：A。 6.D 【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得A=二，即可求解 【i详解】由b=2acos(C-）可得sinB=2 sin Acos(C-)=-2simA(作cosC+兽simC)= sin Acos C+V3sin A sin C, 由于stnB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, sin A cos C cos A sin C sin A cos C+3 sin A sin C. cos A sinC =3 sin A sin C. 由于△ABC中，sinC≠0，故cosA=V3inA→tamA=号 Ae0A-后故之=高 3 故选：D 7.C 【分析】将CM、CP向量都用CA、CB表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求t的 取值 【详解】因为C、M、P三点共线，点Q是BC中点，所以CM=xCA+(1-x)C页=xC可+ 0-x酒 又因为P是AB上靠近点A三等分点，所以C币=C+A丽=CA+(C丽-CA=CA+CB 且因为C网=tC丽，则xC+1-x)C丽=号C+C丽， 答案第2页，共1页 x=号 x= ,消x可解得 1-)= 故选：C 8.C 【分析】由已知可得sm(2x+)=子再结合正弦函数图像及对称性求解即可 【详解】f)=sm(2x+)则f)=名即时sn(（2x+)=君 即stn(2x+)= xe,,2x+e层 令0=2x+5 则9∈長 函数y=sn6在6e后贸上的图象如下图所示， 3 7元 22元324 212 由图可知，y=sn6与y=共有5个交点， 所以： 其中01+02=3m,02+03=5元，03+04=7m,84+0s=9m 即2x1+装+2x2+2=3m,2x+号+2x+=5m,2x+2+2x+=7m,2x++2x5+ 君=9n, 解得x十名=智2+为=行为+x4=gx+5=当 所以x+22+2x+…+2x+5=(1+)+(2+x)+(6陶+x)+(化4+写)= 故选：C 9.AD 【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性，逐项分析得 出结果即可 【详解】对于A,根据正弦定理，由sinA>sinB可得a>b,大边对大角，所以A>B故A 正确： 答案第3页，共11页 对于B,根据正弦定理，由acosA=bcosB可得sinAcosA=sin B cosB,即sin2A=sin2B, 则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=艺所以△ABC是等腰三角形或直角三角形 故B错误： 对于C,sinA=cosB=sn(任-B,则A=-B或A+号-B=,即A+B=或A=B+ 所以△ABC是直角三角形域钝角三角形，故C错误： 对于D,若△ABC为锐角三角形，则0<A<0<B<A+B>三即0<-B<A< 因为函数y=stnx在(0，)上单调递增，所以sim任-B)<smA,即sinA>cosB,故D正 确 故选：AD 10.ABC 【分析】通过图像可以确定函数的周期和ω值，然后利用特定定确定P值，最后根据正弦函 数的性质和图像变换，逐项判断即可 【详解】对于选项A:由题意可得=登-号=子故T=元，则仙=是=2，故A正确： 根据图像，可得f(份）=sn(2×沿+p)=-1, 即g+p=-+2kπke2刀.解得0=-号+2km,又ol<芬即p=-号+2n=号 所以f6x)=s(2x+) 对于选项B:当x=-时，有2×()+=0， 故fx)的图象关于点(-0)对称，故B正确： 对于选项C:令t=2x+号则y=sin4, 当x[径时，t=2x+5e引 而y=sn-到单调递增，故C正确： 对于选项D:将函数∫x)的图象向由右平移品个单位得到 g)=f(x-)=sin2(x-)+到=s血(（2x+引，故D错误 故选：ABC 11.AD 答案第4页，共1页 【分析】先建立直角坐标系，再设点E的坐标分别计算向量判断A,根据数量积判断C,应 用夹角公式判断B,结合基本不等式计算判断D 【详解】 以AB,AD分别为xy轴建立直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2),设E(x,2) 又因为DE=DC(0<1<1),则(x,0)=A(4,0),所以x=4入，所以E(4以，2)， 对于A:当-2时，而=(0,2证+配=4队2+4-42)=(0,2.而=证+ 正，A选项正确： 对于B当=时，正=22.配=(-22，正.屁=2×（←2）+2×2=0，所以正1正。 所以cos征，正)=0，B选项错误： 对于C:当=时，正=(2,2)，配=-2,2)，正配=2×(-2)+2×2=0，所以E1正， C选项错误： 对于D:AC=(4,2).xAE+yBE=x(41,2)+y(41-4,2)=(4x+4y-4y,2x+2y) 所以4x+4y-4y=4,2x+2y=2,所以1-y=1,y=1-1,x=1-y=2-1 所以xy=(a-1)(2-)=-2+31-2,1∈(0,1)，f()=-2+31-2对称轴为1= AE(0,1)时f)单调递增， 所以xyE(-2,0),D选项正确： 故选：AD 2.(-9u传+国到 【分析】由题设条件，可得31+20>0且51-12≠0，解之即得 【详解】设0为0与方的夹角，则cos8=同=示' d6 31+20 因为9为旋角，所以假±没≥8解得1>-号队*号 所以以的取值范围是(-号肖U(停，+). 故答案为：（一碧u(学+网 13.5+1h+5 答案第5页，共1页 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知z一2-川表示z所对应的点到点P(21)的距离， 从而可可求出z一2-的最大值 【详解】满足z=1的复数z所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， z-2-的几何意义为z所对应的点到点P(2,1)的距离， 因为0P=√2+1下=√5， 所以z-2-的最大值为5+1 故答案为：V5+1 0 14.36 4 【分析】由余弦定理及正弦定理求出AC,将问题转化为求△ADC面积的最大值，利用余弦 定理及基本不等式求解 【详解】由余弦定理可得， AC2=BC2+AB2-2BC·AC·cos LABC=4+1-2×2×1×号=3 所以AC=厚， 所以BC2=AC2+AB,所以A= 所以LADC=-号=5SaMc=AC:AB=哥 在△ADC中， COsLADC=cos号=2≥22=1-c 3 2AD-DC 2AD-DC 3 即1-Dc≤-子所以AD:DC≤1，当且仅当AD=DC时等号成立， 所以5ac=AD:DCsm号s马 所以四边形ABCD的面积S△ABC(SAD)9 2 44 maxmax 所以当AD=DC,即D为配中点时，四边形面积最大值 4 答案第6页，共11页