精品解析：2025年安徽省阜阳市重点中学二模数学试题

2025年安徽省第二次联考试卷 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 绝对值是（ ） A B. C. 1.4 D. 2. 六通鲁班锁是广泛流传于中国民间的智力玩具，图1是其中的一种，图2是拆解后的六通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 水是由氢、氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．把亿个水分子排成一列，长度约为．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有两个相等的实数根 B. 必有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 必有实数根 6. 如图，在菱形中，点在的延长线上，连接交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为4的等边的中心与半径为6的的圆心重合，点，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，且为两个连续的正整数，则_____． 12. 五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游戏的人有人，商场发放泰迪熊玩具个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相同，则的值为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，轴于点，点为轴正半轴上一点，反比例函数的图象经过的中点，交于点．若四边形的面积为，则的值为_____． 14. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点． （1）若，则_____°． （2）若，则的值是_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． （1）在网格中，画出将以点为位似中心，位似比为2的，并直接写出点的坐标：_____； （2）利用所给的网格图，求的值，画出所构造的图形；其中_____． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买两种型号的配套器材．已知型器材的单价比型器材的单价多500元，用8000元购买型器材和用6000元购买型器材的数量相同．求两种型号器材的单价． 18. 阅读与思考： 站队问题 问题提出：即将离开生活了3年母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？ 问题探究：我们采取一般问题特殊化策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当只有、两人时，此时站法有：、两种． 探究二： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位． 进行如下分析： 此时站法有6种． 探究三： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下的一位同学只有一种选择，故站法共有（种）． 任务： （1）探究二中问题的分析方法为_____； （2）按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法； （3）现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 20. 为倡导健康绿色出行，市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图1是该自行车的实物图，图2是主体车架结构示意图，车架座管的长为，上管与垂直，，后上叉，且，试求上管和后下叉的长（结果精确到．参考数据：；）． 六、（本题满分12分） 21. 某中学准备从七年级演唱非常好甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 0.56 乙 9 根据以上信息，解决下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____； （2）你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，． （1）如图，当点在上，与交于点时， 若点为的中点，求的长； 若与全等，求和的长； （2）如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得． （1）求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； （2）观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地? （3）同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下： 喷水管长度 1.0m 的距离 若与成二次函数关系，求： ①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大； ②最大距离为多少米? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽省第二次联考试卷 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 1.4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是1.4， 故选：C 2. 六通鲁班锁是广泛流传于中国民间的智力玩具，图1是其中的一种，图2是拆解后的六通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查主视图，根据主视图是从正面看到的图形直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，图2中木块的主视图如下： ， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，平方差公式，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； 故选：D． 4. 水是由氢、氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．把亿个水分子排成一列，长度约为．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法，当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：C ． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有两个相等的实数根 B. 必有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 必有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据判别式，直接得到没有实数根，即可求解本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 6. 如图，在菱形中，点在的延长线上，连接交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，根据四边形是菱形，得证明结合，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称，三角形的内角和定理，由反射可知，，再结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意：，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知抛物线，当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 9. 如图，边长为4的等边的中心与半径为6的的圆心重合，点，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，根据图形得到三个不规则图形面积相等，结合等边三角形性质求出面积即可得到答案． 详解】解：延长交于点， 等边的边长为4，的半径为6， ∴，， ∴， 由旋转对称知：图中阴影部分的面积， 故选D． 【点睛】本题考查圆的对称性，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是延长交于点，结合三角函数求出三角形面积． 10. 如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到即可判断B，再证明是平行四边形即可判断C，最后证明垂直平分即可判断D，即可得到答案． 【详解】解平分，平分， ，，，选项A正确，不符合题意； ，平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，选项B正确，不符合题意； ，， 四边形是平行四边形． ，， 由上面知：， ，均为等边三角形， 由三线合一易知，， 在中，由角平分线定义知，， ， 易知， ，选项C错误，符合题意； ，平分， 结合易证全等于， 易知垂直平分， ， 又， ，选项D正确，不符合题意； 综上，故选C． 【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，且为两个连续的正整数，则_____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 先估算出的取值范围，得出a，b的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∵，且a，b为两个连续的正整数， ，， ， 故答案为：11． 12. 五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游戏的人有人，商场发放泰迪熊玩具个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相同，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的公式，根据直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，轴于点，点为轴正半轴上一点，反比例函数图象经过的中点，交于点．若四边形的面积为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，分别过点，作轴，轴，垂足分别为点，．根据平行线分线段成比例定理得，推出点为的中点，继而得到是的中位线，则．证明四边形为矩形，，，，可得点，，，则有，，代入并整理后可得答案． 【详解】解：如图，分别过点，作轴，轴，垂足分别为点，， ∴，， ∴， ∵点为的中点，即， ∴， ∴，即点为的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵轴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，，， ∴点，，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形的面积为，即， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，确定反比例函数解析式，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点．确定是解题的关键． 14. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点． （1）若，则_____°． （2）若，则的值是_____． 【答案】 ①. 75 ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质得，运用外角性质列式计算，即可作答． （2）根据正方形的性质得，证明再结合，故，证明，把数值代入，即，进行化简，即可作答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 即， ． 故答案为：75； （2）如下图，过点作于点． ． 四边形为正方形， ． ， ∴与均为等腰直角三角形． ． ． 设， ． 由题意，知， ． ， ∴， ∴， ． ， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及解一元一次不等式及不等式组解决的求法，先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． （1）在网格中，画出将以点为位似中心，位似比为2的，并直接写出点的坐标：_____； （2）利用所给的网格图，求的值，画出所构造的图形；其中_____． 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， 【解析】 【分析】（1）根据位似和纵坐标都扩大位似倍数直接作图，再根据图找坐标即可得到答案； （2）根据格点及勾股定理找到直角求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， 连接，，并延长扩大两倍找到对应点，，，如图所示， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作位似图形，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作出图形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为切实落实初中信息技术新课程标准，某校准备购买两种型号的配套器材．已知型器材的单价比型器材的单价多500元，用8000元购买型器材和用6000元购买型器材的数量相同．求两种型号器材的单价． 【答案】型器材的单价为2000元，型器材的单价为1500元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设型器材的单价为元，则型器材的单价为元．根据题意列出关于x的分式方程，解分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设型器材的单价为元，则型器材的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：型器材的单价为2000元，型器材的单价为1500元． 18. 阅读与思考： 站队问题 问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？ 问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当只有、两人时，此时站法有：、两种． 探究二： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位． 进行如下分析： 此时站法有6种． 探究三： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下一位同学只有一种选择，故站法共有（种）． 任务： （1）探究二中问题的分析方法为_____； （2）按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法； （3）现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？ 【答案】（1）树状图分析法 （2）24 （3）48种 【解析】 【分析】本题主要考查了排列问题，掌握分布乘法原理是解题的关键． （1）根据题中的图即可解答； （2）根据探究三中的分布乘法原理解答即可； （3）结合第二小问，分析当女生站在第1位时和最后一位时的站法，相加即可． 【小问1详解】 解：由题意可知探究二中问题的分析方法为树状图分析法， 故答案为：树状图分析法． 【小问2详解】 解：安排第1位同学有四种选择，安排第2位同学有三种选择，安排第3位同学有2种选择，安排第4位同学有1种选择，因此共有（种）站法． 故答案为：24． 【小问3详解】 解：当女生站在第1位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法；同理当女生站在最后一位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法，因此共有（种）站法，即共有48种站法． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角及切线的判定定理即可得证； （2）证明，依据相似三角形的性质列式计算可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． ， ． ． ． ， ． 点在上， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：四边形是的内接四边形， ． ， ． ． 由（1）知：， ． 又， ，解得（负值舍去）． 20. 为倡导健康绿色出行，市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图1是该自行车的实物图，图2是主体车架结构示意图，车架座管的长为，上管与垂直，，后上叉，且，试求上管和后下叉的长（结果精确到．参考数据：；）． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，理解题意，过点作于点，设．算出，结合勾股定理得，则，代入数值得，在中，，结合，解得．则，即可作答． 【详解】解：如下图，过点作于点， 设． 在中，， ． ． ， ． 在中，， ， 即． 在中，， ． ， ， 即． ， ， 解得． ， ． 六、（本题满分12分） 21. 某中学准备从七年级演唱非常好的甲、乙两位同学中选出一位参加区教体局举办的“庆六一”晚会．为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位选手的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 0.56 乙 9 根据以上信息，解决下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____； （2）你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后，选谁更合适，请说明理由． 【答案】（1）9 ；8.8 ；0.96 （2）选甲更合适，理由见解析 （3）选乙更合适，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差，熟练掌握相关定义与意义是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数、方差定义进行计算，即可得到答案； （2）根据表格中数据，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况进行分析，即可得到答案． 【小问1详解】 解：甲得分的排序为10，9，9，8，8，故甲得分的中位数为9，即． 由统计图知∶， 【小问2详解】 解：选甲更合适，理由如下： 因为甲、乙两人平均成绩一样，中位数相同，但是甲的方差较小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲． 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，选乙更合适，理由如下： 因为去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，中位数为9， 而乙的平均数为9，中位数为9，且方差为0． 故选乙更合适． 七、（本题满分12分） 22. 已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，． （1）如图，当点在上，与交于点时， 若点为的中点，求的长； 若与全等，求和的长； （2）如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）；，； （2）． 【解析】 【分析】（）由折叠性质可知，，，设，则，，再由勾股定理得，即，求出的值即可； 由四边形是矩形，得，所以，则与全等的情况只能为，设，则，，由勾股定理，得，即，求出的值即可，再证明，所以，即，求出，再由折叠性质即可求解； （）连接，，，由点，关于直线对称，则，证明，，设，则，在中，，在中，，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由折叠性质可知，，， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得 ∴的长为； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴与全等的情况只能为， ∴，， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得或（舍去）， ∴的长为， ∴，，． ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， 【小问2详解】 如图，连接，，， ∵点，关于直线对称， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，轴对称性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．如图2，以喷水管所在直线为轴，地面为轴，喷水管的底部为原点建立平面直角坐标系，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，轴上的点为水柱的最外落水点．经测量：以点为喷水口，水管高度，喷水管底部点与点的距离为，，在点用标杆测得． （1）求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； （2）观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过，且喷出的水可渗透到外，这个喷头最多可灌溉多少平方米土地? （3）同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点与点的距离也不同，测量数据如下： 喷水管长度 1.0m 的距离 若与成二次函数关系，求： ①当喷水管长度为_____时，水柱的最外落水点与点的距离最大； ②最大距离为多少米? 【答案】（1） （2） （3）①0.8；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过交y轴于0.6m，可设抛物线的表达式为，再将B、D两点的坐标代入，求出抛物线的表达式； （2）根据这个喷灌系统最多可灌溉的半径和扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解； （3）①根据测量数据，得到的一对对称点，求出对称轴； ②设与的关系式为，将测量数据的三对值代入与的关系式中，得到关于待定系数的方程组求解，求出与的关系式． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，，． ∴设抛物线的表达式为． 解得： 最外层水柱所在抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 ∵这个喷灌系统最多可灌溉的半径为， 这个喷灌系统最多可灌溉的面积为． 答：这个喷灌系统最多可灌溉的土地． 【小问3详解】 ①∵点，关于与所成的二次函数的图象的对称轴对称， 该二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． ②设与的关系式为，把，，代入，得 解得 与的关系式为． 当时，． 最大距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，求扇形面积等知识，解题的关键是根据题意利用待定系数法求出函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$