精品解析：广东省江门市台山市2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题

2025年初中毕业生学业水平质量监测 数 学 说明： 1．全卷共6页，满分120分．测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、准考证号、姓名、考场号、座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选选项． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较，熟练掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．根据比较有理数大小法则比较即可得出答案． 【详解】解：， ∴这几个数，最小， 故选：A． 2. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：11040000用科学记数法可表示为， 故选：D． 3. 已知，与互为余角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键． 根据余角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵，与互为余角， ∴． 故选B． 4. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解： 代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 5. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）． A. a＋c＞b＋c； B. c－a＞c－b； C. ac＞bc； D. ． 【答案】A 【解析】 【详解】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案． 解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确； B，∵a＞b， ∴-a＜-b， ∴-a+c＜-b+c， 故此选项错误； C，∵a＞b，c＜0， ∴ac＜bc， 故此选项错误； D，∵a＞b，c＜0， ∴， 故此选项错误； 故选A． 6. 如图，是 的直径，点 在 上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及平角定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平角等定义求出的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：C． 7. 定义：．已知，，则（ ） A. B. 8 C. D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 8. 如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边 上一点，当 时，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得 ，结合 得到，推出，即可求解． 【详解】解： 在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ， 故选：B． 9. 某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 这次随机抽样调查一共抽取了200份样本； B. 全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人； C. 被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人； D. 扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体；从统计图获取信息，运用篮球人数除以占比得出这次调查的样本容量为 ，再运算出最喜欢排球的人数，结合样本估计总体来代入数值计算，分析判断，即可求解． 【详解】解：， 这次调查的样本容量为 ，故A选项不符合题意； 最喜欢羽毛球的有（人）， 最喜欢排球的有（人）， （人）， 全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人，故B选项不符合题意； ， 扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是，故D选项符合题意； （人）， 被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人，故C选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查有理数的除法运算，直接根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 12. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件______，使得 和全等（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键．结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 添加一个条件为， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，为 的直径．平分，与 交于点，．若，则 的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆周角定理的推论，求得，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，然后利用角平分线的意义求得，接着利用3含有30度角的直角三角形的性质求得AB，再利用勾股定理求得AC，然后利用角平分线的性质及三角形面积公式求解，得到关于的方程求解，再求出 的面积． 【详解】解：∵为 的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∴平分， 设点到的距离为， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴，解得：， ∴ 的面积为．   故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，角平分线的意义，直角三角形的两个锐角互余，求三角形的面积，含有30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定等知识，解题的关键是利用直角三角形的两个锐角互余，根据已知角求出另一个锐角的度数． 14. 如图，的顶点 在反比例函数的图象上，点在轴上，点 ，在 轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 轴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵点 在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值进行计算即可． 【详解】解： 16. 某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价 （元/件）存在 （1）确定值； （2）为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？ 【答案】（1）， （2）24元 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）写出利润与售价x的函数关系式，当利润是1920元时，就得到关于x的方程，从而求解． 【小问1详解】 解： 每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为， ∴根据题意得： ， 解得； 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知：每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系式为：， ∵每月获利为1920元， ∴， 解得：． 答：为了获得1920元的利润，商品价格每件应定为24元． 17. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解 ；比较了解；了解；非常了解）．整理得到如下信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 部分八、九年级被抽取学生的得分统计表、统计图（不完整）： 八年级被抽取学生的统计图 八、九年级被抽取学生的得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 b 82 九年级 79.8 79 c 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述图表中， ______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（答案不唯一，写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名． 【答案】（1）20；82；78 （2） 解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高．（写出一条理由即可） 理由：①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）620名 【解析】 【分析】（1）由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89， 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有， 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有， ∴八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数为 ， ∴， ∴ ； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， ∴中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有620名． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 如图，开口向下的抛物线与 轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求该拋物线所对应的函数解析式； （2）连接 ，，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求出， ，，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 将代入，得， 点的坐标为， 抛物线与 轴交于点，，与轴交于点， ， ，， ， 四边形的面积为8． 19. 如图，在中，点O是上（异于点A、B）的一点，恰好经过点B、C， ，垂足为点D，且平分 ． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 与 相切， 理由如下：连接， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵是 的半径， ∴ 与 相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 ，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵ ， ∴ ∽， ∴， ∴， ∴， ∴ 的半径长为． 20. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形 ． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）见解析 （2）李伯应将销售单价定为80元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形和菱形的性质，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求； （2）设黄芪的销售单价定为 元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求作． 【小问2详解】 设黄芪的销售单价定为 元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤． 根据题意，得． 整理，得． 所以． 解得（不符合题意，舍去）， ． 答：李伯应将销售单价定为80元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 21. 如图1，过点 作直线于点 ，过点 作轴交直线于点．线段 的长度称为点 到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点 到直线的竖直距离即为 的长度，则 _____．（用含的代数式表示） ②当直线与 轴不平行时，点 到直线的垂直距离与点 到直线的竖直距离 存在一定的数量关系，若此时直线，则_____ ． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？ 【答案】探索：①；②；应用：；拓展：4 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，理解题意，数形结合是解题的关键． 探索：①由题意即可求解； ②设直线l和x轴的夹角为β，由直线l的表达式知，，则，即可求解； 应用：设N横坐标为a，由，即可求解； 拓展：过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，即可求解． 【详解】解：探索： ①由题意得：； 故答案为：； ②设直线l和x轴的夹角为， 由直线l的表达式知：， 则， 即， 故答案为：； 应用： ∵草坪倾斜角为， ∴解析式为：， 设N横坐标为a， 则， 当时，最大，； ∵， ∴此时最大，； 拓展： ∵圆弧与y轴相切， ∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M， 此时最大，即最大，， 则， 则． 22. （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆 （请你在图1上画圆），则点C，D必在 上，是 的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段 长的最小值． 解∶ ∵， ∴ ． ∵， ∴． ∴ ．（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的 上．易求得的最小值为 ． （2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足 ．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②；4； （2）4； （3）①， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②点的运动路径长为． 【解析】 【分析】本题主要考查圆的定义、圆周角定理、弧长公式、全等三角形的判定与性质等周四点，熟练掌握圆的定义、构造辅助圆的基本方法是解题的关键． （1）①根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可； （2）根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可解答； （3）根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质、弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1， ∴． 故答案为：28． ②∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以（定弦）为直径的 上， 如图2，连接交 于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴ ， 在中，， ∴， ∴． ∴最小值为4． 故答案为：90°，4． （2）如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段 上时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为 ． 故答案为：4； （3）①略 ②如图4，连接 交于点O， ∵点P在运动中保持 ， ∴点P的运动路径是以 为直径的圆的 ∴点P的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生学业水平质量监测 数 学 说明： 1．全卷共6页，满分120分．测试用时为120分钟． 2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、准考证号、姓名、考场号、座位号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选选项． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 已知，与互为余角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）． A. a＋c＞b＋c； B. c－a＞c－b； C. ac＞bc； D. ． 6. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：．已知，，则（ ） A. B. 8 C. D. 32 8. 如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当 时，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 这次随机抽样调查一共抽取了200份样本； B. 全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人； C. 被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人； D. 扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 计算：________． 11. 因式分解：______． 12. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件______，使得 和全等（写出一个即可）． 13. 如图，为的直径．平分，与交于点，．若，则的面积为______． 14. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 15. 计算：． 16. 某店购进一批单价16元的商品，一段时间后，发现若按20元/件销售时，每月能卖360件；若按每件25元销售时，每月能卖210件，若每月销售件数（件）与单价（元/件）存在 （1）确定值； （2）为使每月获利为1920元，商品应定价为每件多少元？ 17. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解 ；比较了解；了解；非常了解）．整理得到如下信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 部分八、九年级被抽取学生的得分统计表、统计图（不完整）： 八年级被抽取学生的统计图 八、九年级被抽取学生的得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 b 82 九年级 79.8 79 c 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述图表中， ______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（答案不唯一，写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求该拋物线所对应的函数解析式； （2）连接，，，求四边形的面积． 19. 如图，在中，点O是上（异于点A、B）的一点，恰好经过点B、C， ，垂足为点D，且平分 ． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的半径长． 20. 项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形 ． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： （1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； （2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 21. 如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则 _____．（用含的代数式表示） ②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 ），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树 （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 的最大值是多少？ 22. （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”．如图1，在中，，D是外一点，且， 求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆 （请你在图1上画圆），则点C，D必在 上，是 的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”．如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段 长的最小值． 解∶ ∵， ∴ ． ∵， ∴． ∴ ．（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上．易求得的最小值为 ． （2）【问题解决】如图3，在矩形 中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】如图4，在正方形 中，，动点E，F分别在边上移动，且满足 ．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $