精品解析：2025年河北省沧州市孟村回族自治县中考模拟考试数学试题

2025年孟村回族自治县中考模拟考试 数学模拟试卷 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 比2（　　） A. 小2 B. 大2 C. 小4 D. 大4 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个小正方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 《孙子算经》卷上说：“十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛．”说明“合、升、斗、斛”均为十进制，则二十斛等于（ ） A. 勺 B. 勺 C. 勺 D. 勺 5. 图2是图1的侧面展开图．一只昆虫沿着圆柱的侧面，从点沿最短的路线爬到点，则昆虫爬行的路线是图2中的（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（ ） A. 车辆数量不变 B. 乘车的总人数不变 C. 每辆车乘车的人数不变 D. 剩余的车辆数不变 7. 如图，在四边形中，，，．老师让同学们利用没有刻度直尺和圆规在四边形上找一点，使得四边形是平行四边形．甲、乙两同学的作法如下所示，下列判断正确的是（ ） 甲：在上截取，使，连接； 乙：以点圆心，长为半径画弧，与交于点，连接 A. 甲、乙的作法都一定可行 B. 甲、乙的作法都不一定可行 C. 只有甲的作法不一定可行 D. 只有乙的作法不一定可行 8. 小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学，该厂的日薪计算方式：一天内组装玩具不超过80个时，固定工资120元，组装超过80个玩具时，除了固定工资120元，超过的部分，每个再另给2元．下列能表示该厂日薪（元）与一天内组装的玩具数量（个）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 某校九（1）班全体43名学生身高的平均数与中位数都是，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，将登记成，经重新计算后，正确的平均数是，中位数是，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若（，，都是正整数），则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 12. 如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（ ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A. 结论都正确 B. 结论都不正确 C. 只有结论正确 D. 只有结论正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为________． 14. 当为正整数时，写出一个一定能整除，并且大于整数：________． 15. 如图，在网格图中，四边形的顶点在边长为1的小正方形的顶点上，，与交于点．以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．直线与交于点，连接，则的长为________． 16. 定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，点在点的左侧，，两点间的距离为4，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值． 18. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个白球，每个球除颜色外其余都相同． （1）从中任意摸出1个球，摸出________球的可能性较大； （2）从该袋中拿走5个球后，从袋子中任意摸出1个球，摸出红球和白球的可能性大小相等． ①求拿走红球、白球各多少个； ②从拿走球后的袋中一次性随机摸出2个球，利用画树状图求摸出的两个球颜色相同的概率． 19. 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 20. 在水平地面上，小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，图10-1是起始位置，此时，，小车向右行驶后，停止位置如图10-2所示，此时（直线与地面平行，图1、图2中所有点在同一平面内），定滑轮看成点，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） （1）求图1中的长度； （2）若图1中，小车向右行驶后，当点的对应点在直线的上方时才方便工人移动该物体．当小车停在点处时，通过计算判断是否方便工人移动该物体． 21. 在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（阴影部分，且大、小圆的圆心都是点）面积的方法． （1）小组甲同学说：“我只用一根木条和一个卷尺就可求环形花坛的面积，做法：将木条与小圆相切于点，与大圆交于点，，如图所示．”若测量出，求环形花坛的面积的过程如下所示，请补全； 解：如图，连接，． ∵与小圆相切于点，∴，∴________，． ________________． （2）在（）的基础上，点在上，且是的中点，向上平移木条，直到点，均在大圆上时停止，此时木条与小圆交于点，，如图所示．将木条绕点逆时针旋转得到，与大圆交于点，点的对应点为点． 当大圆的半径为，时，求的长度； 小组乙同学说：“只要测出图中和的长度，也可求出环形花坛的面积．”你认为乙同学的说法正确吗？若正确，请用含，的式子表示环形花坛的面积；若不正确，请说明理由； 连接，．已知大圆的半径为，．在木条旋转过程中，当的度数最大时，请直接写出的度数． 22. 现有若干盆盆栽，每个盆栽里均种植了，两种植物，某生物小组研究这些盆栽在相同环境下，两种植物的生长情况，发现施用某种药物时，会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验观察，得到如下信息： 下表为一周内植物的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 1 2 5 9 10 一周内植物生长高度 8.3 8.6 9.5 10.7 11 如图为一周内植物的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段）． （1）一周内植物的生长高度与药物施用量的关系可近似的看成一次函数，求这个函数的解析式（不用写自变量的取值范围）； （2）该小组继续研究发现，植物，按题干中的生长规律继续生长，当药物施用量超过（且为整数）时，对植物的抑制作用更明显，药物施用量在的基础上，每增加，植物一周内的生长高度减少． ①当时，用含的式子表示与之间的关系式； ②小组记录了5株植物的实验数据，当药物施用量分别为，，，和时，这5株植物一周内的生长高度和为．当同一盆栽里，两种植物一周内的生长高度的差不超过时，二者的生长会处于一种平衡状态，直接写出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 23. 如图，是一个直角三角形零件，其中，，，零件两个顶点，分别安装在正方形框架的边，上，点从点开始，在边上滑动，滑动到点时停止，点带动点在边上滑动． （1）当平分时，求证：； （2）在点从点滑动到点的过程中，求点，之间的距离的取值范围； （3）过点分别作于点，于点，连接，试判断与的长度能否相等？若能，请说明理由；若不能，请求出的最小值； （4）当点到的距离为时，请直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，经过点的抛物线与轴交于点． （1）写出，之间满足的数量关系； （2）条件Ⅰ：点在抛物线上，且轴； 条件Ⅱ：关于的方程有两个实数根，，且． 请从条件Ⅰ、Ⅱ中任选一个，求抛物线的解析式； （3）在（2）的基础上，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点． ①定义：对于点，，若点的坐标为，则点为线段的特殊点．已知点，是抛物线上的两个动点，连接，为线段的特殊点．当点在轴的下方时，求点纵坐标的取值范围； ②已知直线与抛物线交于，两点（线段在线段的下方），连接，，直线与直线交于点．如图，当时，点的横坐标是定值，请你直接写出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年孟村回族自治县中考模拟考试 数学模拟试卷 本试卷共8页．总分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 比2（　　） A. 小2 B. 大2 C. 小4 D. 大4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行解答即可． 【详解】解：， ∴比2小4， 故选：C． 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 3. 如图是由7个小正方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．从左边看得到的每列正方形的个数是解决本题的关键． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看得到的图形是： ， 故选：C． 4. 《孙子算经》卷上说：“十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛．”说明“合、升、斗、斛”均为十进制，则二十斛等于（ ） A. 勺 B. 勺 C. 勺 D. 勺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了乘方的运算和科学记数法，熟练掌握乘方的运算和科学记数法是解题的关键．根据“合、升、斗、斛”均为十进制，将二十斛进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每相邻单位之间是十进制， 1斛等于10斗，1斗等于10升，1升等于10合，1合等于10勺， 1斛勺勺， 20斛勺．   故选：D ． 5. 图2是图1的侧面展开图．一只昆虫沿着圆柱的侧面，从点沿最短的路线爬到点，则昆虫爬行的路线是图2中的（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查圆柱的特征，灵活运用“两点之间线段最短”，是解答本题的关键．要求小昆虫爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：从A点沿最短的距离爬到B点，则昆虫爬行的路线是图2中的②位置． 故选：B． 6. 《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（ ） A. 车辆数量不变 B. 乘车的总人数不变 C. 每辆车乘车的人数不变 D. 剩余的车辆数不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设有辆车，根据乘车的总人数不变，可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有辆车， 根据“若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车”可得乘车的总人数为； 根据“若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘”可得乘车的总人数为． 再根据乘车的总人数不变列出方程． 故选：B． 7. 如图，在四边形中，，，．老师让同学们利用没有刻度的直尺和圆规在四边形上找一点，使得四边形是平行四边形．甲、乙两同学的作法如下所示，下列判断正确的是（ ） 甲：在上截取，使，连接； 乙：以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接 A. 甲、乙的作法都一定可行 B. 甲、乙的作法都不一定可行 C. 只有甲的作法不一定可行 D. 只有乙的作法不一定可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对两种方法进行判断． 【详解】解：甲：由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以甲的做法可行； 乙：由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以乙的做法不一定可行． 故选：D． 8. 小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学，该厂的日薪计算方式：一天内组装玩具不超过80个时，固定工资120元，组装超过80个玩具时，除了固定工资120元，超过的部分，每个再另给2元．下列能表示该厂日薪（元）与一天内组装的玩具数量（个）之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟悉掌握函数图象的作法是解题的关键． 根据题意列出函数表达式，再作出图象对比即可． 【详解】解：由题意可得： 整理可得： 作图可得： 故选：C． 9. 某校九（1）班全体43名学生身高的平均数与中位数都是，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，将登记成，经重新计算后，正确的平均数是，中位数是，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和求平均数，登记错误的数据，实际数据大于登记数据，那么实际平均数大于登记的平均数，即，而登记错误的数据和正确数据都大于中位数，故错误或者正确数据都不影响中位数，则． 【详解】解：∵，原来的平均数和中位数都是， ∴正确的平均数应该大于，登记错误的同学身高并不影响中位数， ∴，， 故选：D． 10. 若（，，都是正整数），则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 化简，得到，整理出，由取值范围得出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小整数解为，此时； 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称变化，坐标与图形．根据轴对称变化求出点，，分别求出点在上时，点在点C时，n的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于直线对称得到“第一对应点”， 关于直线对称得到“第二对应点”， 点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”． ∴当点在上时，，解得， 当点在点C时，，解得， ∵线段与的边有公共点， ∴， ∴整数n的值为1，2，3． 故选：C 12. 如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（ ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A. 结论都正确 B. 结论都不正确 C. 只有结论正确 D. 只有结论正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，当时，由旋转性质可知，由正六边形中可得，证明，则，同理，所以，从而判判断，同上理可得，，故有，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， 由旋转性质可知，， 由正六边形可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴阴影部分的边数为，即正十二边形，故正确； 如图， 同上理可得：，， ∴，故正确； 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ． 故答案为： ． 14. 当为正整数时，写出一个一定能整除，并且大于的整数：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与因式分解，熟悉掌握公式是解题的关键． 利用公式展开化简分析即可． 【详解】解：， ∴一定能被整除， ∴此数可以为； 故答案为：． 15. 如图，在网格图中，四边形的顶点在边长为1的小正方形的顶点上，，与交于点．以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．直线与交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定和性质．设于F，连接，交于，交于．求出四边形是菱形，可得出和的长，证明，求出的长，由，可求出，即为的长． 【详解】解：如图， 由图可得 ，，． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ． ， ，解得． ． ， ，． ． ． 以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．直线与交于点， ，，． 四边形是菱形． ． ． ． ． 16. 定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 【详解】解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，点在点的左侧，，两点间的距离为4，． （1）当时，求值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解分式方程，掌握数轴上两点间的距离公式及解分式方程的步骤是解题关键； （1）由数轴上两点间距离求得，然后代入求值； （2）由数轴上两点间距离可得，然后列分式方程进行计算，注意结果要进行检验． 【小问1详解】 解：∵，点在点的左侧，点与点之间的距离为4， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在点的左侧，点与点之间的距离为4， ∴， ∴， 解得． 经检验，当时，， ∴是方程的解，即的值为． 18. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个白球，每个球除颜色外其余都相同． （1）从中任意摸出1个球，摸出________球的可能性较大； （2）从该袋中拿走5个球后，从袋子中任意摸出1个球，摸出红球和白球的可能性大小相等． ①求拿走红球、白球各多少个； ②从拿走球后的袋中一次性随机摸出2个球，利用画树状图求摸出的两个球颜色相同的概率． 【答案】（1）白 （2）①拿走红球1个，白球4个；② 【解析】 【分析】本题考查概率计算、可能性大小的判断，熟记概率公式，会根据概率判断可能性大小是解答的关键． （1）分别求摸出两种颜色球的概率，即可做出判断； （2）①设拿走红球个，则拿走白球个，要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需红球和黄球个数相等即可，从而列方程求解； ②拿走球后的袋中现有2个红球，4个白球，利用画树状图法求概率，注意此题是不放回型问题． 【小问1详解】 解：共9种等可能结果，从中任意摸出1个球，其中摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， ∴摸到白球的概率大， 故答案为：白； 【小问2详解】 解：①设拿走红球个，则拿走白球个． 根据题意可得，解得， ∴， 即拿走红球1个，白球4个； ②拿走球后的袋中现有2个红球，2个白球， 树状图如图所示， 共有12种等可能的结果，其中颜色相同的结果有4种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为． 19. 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 【答案】探究一：；探究二：（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，整式混合运算应用，因式分解的应用，解题的关键熟练掌握勾股数定义． 探究一：根据勾股定理求出勾的平方，然后求出勾的值即可； 探究二：（1）根据勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯得出一般规律即可得出答案； （2）根据完全平方公式，进行证明即可． 【详解】解：探究一： ， ∴勾可以表示为； 探究二：（1）∵4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ ∴用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为：； （2）证明：∵， ∴，，是一组勾股数． 20. 在水平地面上，小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，图10-1是起始位置，此时，，小车向右行驶后，停止位置如图10-2所示，此时（直线与地面平行，图1、图2中所有点在同一平面内），定滑轮看成点，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） （1）求图1中的长度； （2）若图1中，小车向右行驶后，当点的对应点在直线的上方时才方便工人移动该物体．当小车停在点处时，通过计算判断是否方便工人移动该物体． 【答案】（1）的长度为； （2）方便工人移动该物体 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的比值关系，含直角三角形，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）利用三角函数的比值关系运算求解即可； （2）利用含直角三角形的定义求解即可． 【小问1详解】 在中，， 即的长度为； 【小问2详解】 在中，， ∵， ∴， 滑轮下方的绳子长为， ∴点在直线的上方， ∴方便工人移动该物体． 21. 在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（阴影部分，且大、小圆的圆心都是点）面积的方法． （1）小组甲同学说：“我只用一根木条和一个卷尺就可求环形花坛的面积，做法：将木条与小圆相切于点，与大圆交于点，，如图所示．”若测量出，求环形花坛的面积的过程如下所示，请补全； 解：如图，连接，． ∵与小圆相切于点，∴，∴________，． ________________． （2）在（）的基础上，点在上，且是的中点，向上平移木条，直到点，均在大圆上时停止，此时木条与小圆交于点，，如图所示．将木条绕点逆时针旋转得到，与大圆交于点，点的对应点为点． 当大圆的半径为，时，求的长度； 小组乙同学说：“只要测出图中和的长度，也可求出环形花坛的面积．”你认为乙同学的说法正确吗？若正确，请用含，的式子表示环形花坛的面积；若不正确，请说明理由； 连接，．已知大圆的半径为，．在木条旋转过程中，当的度数最大时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；；； （2）；正确，见解析；． 【解析】 【分析】（）连接，，由切线性质可得，再通过垂径定理得出，，最后通过公式即可求解； （）连接，，由圆周角定理可得，再通过弧长公式即可求解； 连接，，，再通过垂径定理得，，最后通过公式即可求解； 连接，点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧，当与相切时，的度数最大，最后通过三角函数即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵与小圆相切于点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 连接，， ∵， ∴， ∴的长为； 正确，理由， 连接，，， 由（）可得， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 如图，连接，点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧， 当与相切时，的度数最大， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 现有若干盆盆栽，每个盆栽里均种植了，两种植物，某生物小组研究这些盆栽在相同环境下，两种植物的生长情况，发现施用某种药物时，会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验观察，得到如下信息： 下表为一周内植物的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 1 2 5 9 10 一周内植物生长高度 8.3 8.6 9.5 10.7 11 如图为一周内植物的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段）． （1）一周内植物的生长高度与药物施用量的关系可近似的看成一次函数，求这个函数的解析式（不用写自变量的取值范围）； （2）该小组继续研究发现，植物，按题干中的生长规律继续生长，当药物施用量超过（且为整数）时，对植物的抑制作用更明显，药物施用量在的基础上，每增加，植物一周内的生长高度减少． ①当时，用含的式子表示与之间的关系式； ②小组记录了5株植物的实验数据，当药物施用量分别为，，，和时，这5株植物一周内的生长高度和为．当同一盆栽里，两种植物一周内的生长高度的差不超过时，二者的生长会处于一种平衡状态，直接写出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 【答案】（1）； （2）①当时，．当时，；② 【解析】 【分析】（1）先设一周内植物的生长高度与药物施用量的函数解析式，再将两点坐标代入，求出待定系数，再写出解析式； （2）①当时，先设一周内植物的生长高度与药物施用量的函数解析式为，再将两点坐标代入，求出待定系数，再写出解析式，然后求出当时的函数值即可； ②根据小组记录了5株植物的实验数据，求出该药物施用量的取值范围． 【小问1详解】 解：设一周内植物的生长高度与药物施用量的函数解析式为． 将点和代入， 解得：． ∴； 【小问2详解】 （2）①当时， 设一周内植物的生长高度与药物施用量的函数解析式为． 将点和代入， 解得：． ∴． 当时，． 当时，； ②根据题意，可得：， 解得； ， 解得． ∴满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，待定系数法求一次函数的解析式，求函数自变量的取值范围等知识，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式． 23. 如图，是一个直角三角形零件，其中，，，零件的两个顶点，分别安装在正方形框架的边，上，点从点开始，在边上滑动，滑动到点时停止，点带动点在边上滑动． （1）当平分时，求证：； （2）在点从点滑动到点的过程中，求点，之间的距离的取值范围； （3）过点分别作于点，于点，连接，试判断与的长度能否相等？若能，请说明理由；若不能，请求出的最小值； （4）当点到的距离为时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）不能；的最小值是4，； （4）的值为或． 【解析】 【分析】（1）先证，得到，即可求证； （2）取的中点，连接，，，分情况讨论动点对的影响，先利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半”求出、，继而得到求出最大值，当点与点重合时，得的最小值，即可求解； （3）延长交于点，利用垂直关系证明矩形和，继而得到，设，则，由勾股定理求出，利用二次函数的性质分析出的最小值是4，即可求解； （4）作垂线和，证明矩形和，利用对应边成比例得到，分情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形正方形， ， ． 平分， ， 又， ， ； 【小问2详解】 如图1，取的中点，连接，，， 在和中，，， ． 当点与点重合时，最小，此时， ∴点，之间的距离的取值范围是； 【小问3详解】 不能，理由如下： 如图2，延长交于点， 在中，，， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，最小，最小值16， 的最小值是4，； 【小问4详解】 的值为或 如图3，如图4，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， 在图3中，， ， 在图4中，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形、相似三角形和矩形的性质和判定，直角三角形的性质，二次函数求最值，勾股定理等知识，懂得添加辅助线、分类讨论和将几何问题转化为二次函数求最值是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，经过点的抛物线与轴交于点． （1）写出，之间满足的数量关系； （2）条件Ⅰ：点在抛物线上，且轴； 条件Ⅱ：关于的方程有两个实数根，，且． 请从条件Ⅰ、Ⅱ中任选一个，求抛物线的解析式； （3）在（2）的基础上，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点． ①定义：对于点，，若点的坐标为，则点为线段的特殊点．已知点，是抛物线上的两个动点，连接，为线段的特殊点．当点在轴的下方时，求点纵坐标的取值范围； ②已知直线与抛物线交于，两点（线段在线段的下方），连接，，直线与直线交于点．如图，当时，点的横坐标是定值，请你直接写出该定值． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②点的横坐标为定值 【解析】 【分析】（1）把代入即可； （2）选Ⅰ利用对称轴的表达式运算求解；选Ⅱ利用韦达定理列式运算即可； （3）①先平移二次函数的图象得到，即可表达出和的坐标，根据特殊点的运算方式表达出即可得到的表达式，分析求解即可； ②求出直线的解析式，得到直线的值，设点的坐标为，点的坐标为，求出直线和直线的解析式，联立这条直接解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得到； 【小问2详解】 解：选条件Ⅰ： ∵轴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 选条件Ⅱ： 由题意可得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 ①抛物线的解析式为， 由题意可得抛物线的解析式为， ∴，， ∴点的纵坐标， 当时，解得，， ∵点在轴的下方， ∴， ∵，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，， ∴； ②点的横坐标是3． 由①可得，． 当时，， ∴，可得直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为 ∵∥，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以表示为， 设直线的解析式为，将，代入，解得，， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线与交于点， ∴， 整理得， ∵线段在线段的下方， ∴， ∴，即点的横坐标为定值3． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式等知识点，熟悉掌握函数的图象性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$