精品解析：2025年安徽省阜阳市第十五中学初中学业水平考试数学一模试卷

2025年安徽省初中学业水平考试 数学冲刺（一） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数是负数的为（ ） A. B. C. D. 2. 全光省际骨干网是一种超高速光纤通信传输技术，承担着连接国家数据中心枢纽的作用，是“东数西算”的大动脉，也是算力数据流通的“超级运输系统”．光纤通信信号传播公里，仅需大约秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 据中国汽车工业协会统计分析，2024年1月份我国乘用车销量为212万辆，2月份乘用车销量较1月份下降了，假设下降率不变，3月份的销量为万辆，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人进行为期一周的篮球投篮训练，每天都进行投篮测试，下表是甲、乙在每天10次投篮测试中投中的次数，则下列说法正确的是（ ） 一 二 三 四 五 甲 3 6 7 6 8 乙 2 2 7 9 10 A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数比乙的平均数大 D. 甲方差比乙的方差小 9. 菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边与等腰直角三角形的斜边在同一条直线上，此时点B与点E重合，现向右平移正方形，设平移的距离为x，它们重合部分的面积为y，已知， ，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是____． 12. 如图，以的顶点为圆心，为半径作，与边相切于点，与边，分别相交于点，，若，分别为，的中点，则的度数是____．  13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于B，C两点，分别与y轴、x轴相交于A、D两点，已知点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3，则____．  14. 如图，在四边形中，，，，E，F分别是，的中点，连接，，，，P为边上一点，过点P作，交于点Q． （1）的度数为____°．  （2）若，则的长为____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16 《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，请画出． （2）以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出． 18. 【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）．  【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是中国空间站材料舱外暴露实验装置，自年月日出舱至今，已在轨实验满一年．年月日，装置及装置中安装首批余个材料样品圆满完成舱外暴露实验，成功返回中国空间站内．图是制作实验装置的某块原材料示意图，已知，，，米，求四边形原材料的面积．（参考数据：，，） 20. 已知为直径，为一点，过点作的切线交的延长线于点，为上一点，连接，，，． （1）如图1，若，求的大小． （2）如图2，连接，若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，某校倡导学生从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．该学校为了解学生周末家务劳动时间（单位：小时）的大致情况，随机调查了部分学生，并用得到的数据绘制了两幅统计图（不完整），请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生周末家务劳动时间的众数是 ，中位数是 ，并将条形统计图补充完整． （2）求本次抽查的学生周末家务劳动的平均时间． （3）学校准备举办家务劳动大赛，安排了A，B，C，D四个比赛项目，A为“做饭炒菜”，B为“叠被子”，C为“整理物品”，D为“种植养护”，参赛者只能选择一个比赛项目，请用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学选到同一个项目概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形中，垂直对角线于点E，交于点F，M是的中点，连接并延长，交于点N，于点H，连接． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）如图2，若F是的中点，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线：的顶点在x轴上． （1）求c的值． （2）将抛物线：先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上，且，，试判定，的大小，并说明理由． （3）设抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，向上平移直线，分别与相交于点N，Q（点N在点Q的左边），与相交于点M，P（点M在点P的左边），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽省初中学业水平考试 数学冲刺（一） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为 150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列实数是负数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数、相反数、绝对值，根据既不是正数也不是负数，可知A选项不符合题意；根据在一个数前面添加负号表示求这个数的相反数，可知，所以B选项不符合题意；根据绝对值的定义可知，所以可知表示的是负数，所以C选项符合题意；因为，所以是正数，所以D选项不符合题意． 【详解】解：A选项：既不是正数也不是负数，故A选项不符合题意； B选项：，， 正数，故B选项不符合题意； C选项：，， 是负数，故C选项符合题意； D选项：， 是正数，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 全光省际骨干网是一种超高速光纤通信传输技术，承担着连接国家数据中心枢纽的作用，是“东数西算”的大动脉，也是算力数据流通的“超级运输系统”．光纤通信信号传播公里，仅需大约秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较小的数，用科学记数法表示一个较小的数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的方向和位数有关，本题中需要把小数点向右移动位，所以的指数是. 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，几何体的三视图是从几何体的正面、侧面、上面看取的平面图形，俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，俯视图的形状与几何体的底面、侧面的形状有关． 【详解】解：由图可知，这是一个四棱台，上面的正方形小，下面的正方形大，个侧面是个等腰梯形， 该几何体俯视图如下图所示， 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理，首先根据平行线的性质可知，根据垂直的定义可知，根据三角形内角和定理可得：． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， ． 故选：A． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握常见的因式分解法和定义成为解题的关键． 根据因式分解的定义、提公因式法、公式法、十字相乘法进行因式分解并判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． 不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：A． 7. 据中国汽车工业协会统计分析，2024年1月份我国乘用车销量为212万辆，2月份乘用车销量较1月份下降了，假设下降率不变，3月份的销量为万辆，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．根据题意列方程得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：C． 8. 甲、乙两人进行为期一周的篮球投篮训练，每天都进行投篮测试，下表是甲、乙在每天10次投篮测试中投中的次数，则下列说法正确的是（ ） 一 二 三 四 五 甲 3 6 7 6 8 乙 2 2 7 9 10 A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数比乙的平均数大 D. 甲的方差比乙的方差小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差定义和求法，根据平均数、中位数、众数、方差的定义及求法，即可一一判定． 【详解】解：．甲的众数为6，乙的众数为2，故该选项不符合题意； ．甲的中位数为6，乙的中位数为7 ，故该选项不符合题意； ．甲的平均数为：，乙的平均数为：．甲乙的平均数一样，故该选项不符合题意； ．甲的波动性比乙的波动性小，则甲的方差比乙的方差小，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质得到是线段的垂直平分线，结合四个选项，逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 添加，不能判定， ∴不能得到四边形为菱形，故选项A错误，符合题意； ∵四边形菱形， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， 添加， ∴， ∴， ∴， ∴能得到四边形为菱形，故选项B正确，不符合题意； 添加， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项C正确，不符合题意； 添加， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，正方形的边与等腰直角三角形的斜边在同一条直线上，此时点B与点E重合，现向右平移正方形，设平移的距离为x，它们重合部分的面积为y，已知， ，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，以及三角形的面积，关键是掌握 二次函数的性质，解题是数形结合，分类讨论．结合图形，分四种情况分别求解即可判定出对应的图象． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ，． ①如图1，当时，则， 正方形中，， ， ， ． ②如图2，当时，则． ， 同①可证明，， ． ③如图3，当时，则， 同①可证明，， ； ④如图4，当时， 同①可证明， ． 综上所述，四种情况y均为x的二次函数． 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去分母再移项，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，以的顶点为圆心，为半径作，与边相切于点，与边，分别相交于点，，若，分别为，的中点，则的度数是____．  【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，解直角三角形，三角形内角和定理，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．连接，可得，进而可得，，根据解直角三角形可得，根据三角形内角和定理即可解得． 【详解】解：连接， 与边相切于点， ， 以的顶点为圆心，为半径作，与边，分别相交于点，， ， ，分别为，的中点， ，， 在中，，在中，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于B，C两点，分别与y轴、x轴相交于A、D两点，已知点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3，则____．  【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理等知识．先利用反比例函数求出，，再用待定系数法求出一次函数为，再求出，，利用两点间距离公式进行解答即即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于B，C两点，点B的纵坐标为6，点C的横坐标为3， ∴，解得， ∴，， 把，代入得到 ， 解得， ∴一次函数为， 当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 14. 如图，在四边形中，，，，E，F分别是，的中点，连接，，，，P为边上一点，过点P作，交于点Q． （1）的度数为____°．  （2）若，则的长为____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形得到，结合即可得到答空1答案，根据勾股定理先求出，再结合中点得出，根据平行得到相似，结合面积比即可得到相似比即可得到答空2答案． 【详解】解：（1）∵， ， ∴， ∵， ∴， 故答空1答案为：， （2）∵， ， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为1， 故答空2答案为1． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，中位线，相似三角形判定及性质． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，涉及零指数幂、二次根式的乘法、去括号等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设绳子x尺，长木y尺． 由题意可得 解得 答：长木为6.5尺． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，请画出． （2）以点O为位似中心，在平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移变换和位似变换，掌握确定关键对应对点的位置成为解题的关键． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点的坐标，然后顺次连接即可解答； （2）如图：延长到使，延长到使，延长到使，然后顺次连接即可解答； 【小问1详解】 解：如图：为所求． 【小问2详解】 解：如图：为所求． 18. 【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）．  【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明． 【答案】（1）；（2）；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解，正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出图1中第个三角形数为，图2中第个正方形数为，据此可得答案； （2）根据题意列出等式并应用因式分解，即得证明． 【详解】解：（1）由题意知在图1中，第个三角形数为， 第个三角形数为， 图2中，第个正方形数为 故答案为：，； （2） 证明：左边 右边， ∴等式成立． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是中国空间站材料舱外暴露实验装置，自年月日出舱至今，已在轨实验满一年．年月日，装置及装置中安装的首批余个材料样品圆满完成舱外暴露实验，成功返回中国空间站内．图是制作实验装置的某块原材料示意图，已知，，，米，求四边形原材料的面积．（参考数据：，，） 【答案】四边形原材料的面积为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、三角形内角和定理，首先根据勾股定理可求，根据三角形内角和定理可得，利用锐角三角函数可求，分别求出和的面积，两个三角形的面积之和即为四边形的面积． 【详解】解：如下图所示，连接， ，米， 米，， ， ， 在中，， （平方米），（平方米）， （平方米）, 答：四边形原材料ABCD的面积为1平方米． 20. 已知为的直径，为一点，过点作的切线交的延长线于点，为上一点，连接，，，． （1）如图1，若，求的大小． （2）如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得，而，则，而，再根据圆内接四边形对角互补的性质可得答案； （2）设交于点，由，得，则垂直平，得，，则，由勾股定理得，求解即可． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 即的大小为； 【小问2详解】 如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴的半径长是． 【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等知识，证明及垂直平分是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，某校倡导学生从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．该学校为了解学生周末家务劳动时间（单位：小时）的大致情况，随机调查了部分学生，并用得到的数据绘制了两幅统计图（不完整），请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生周末家务劳动时间的众数是 ，中位数是 ，并将条形统计图补充完整． （2）求本次抽查的学生周末家务劳动的平均时间． （3）学校准备举办家务劳动大赛，安排了A，B，C，D四个比赛项目，A为“做饭炒菜”，B为“叠被子”，C为“整理物品”，D为“种植养护”，参赛者只能选择一个比赛项目，请用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学选到同一个项目的概率． 【答案】（1）1；1，见解析 （2）小时 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图、中位数、众数、运用列表法求概率等知识点，灵活运用相关知识解决实际问题成为解题的关键． （1）用读书时间小时的学生数除以其所占的百分比求得调查的样本容量，进而求得读书小时的学生数，然后根据众数、中位数的定义即可求解；最后补全条形统计图即可； （2）根据平均数的定义列式计算即可； （3）先根据题意列表确定所有等可能结果数以及甲、乙两位同学选到同一个项目的结果，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为：人， 则读书小时的学生数为， 由读书小时的学生数最多，即众数为1， 由于样本容量为50，则中位数为读书时间从小到大排列的第25和26个数据的平均数，即都在读书小时这一组，即中位数为1． 补全条形统计图如下： 故答案为：1，1． 【小问2详解】 解：小时． 答：本次抽查的学生周末家务劳动的平均时间为1.18小时． 【小问3详解】 解：根据题意列表如下： 甲乙 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由表可知共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选到同一个项目的结果有4种， 所以甲、乙两位同学选到同一个项目的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形中，垂直对角线于点E，交于点F，M是的中点，连接并延长，交于点N，于点H，连接． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）如图2，若F是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出，进而可得出． （2）设，，则，，由全等三角形的性质得出，再得出，再根据正切的定义得出，进而可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值． （3）延长，相交于点G，设．由矩形的性质得出，由全等三角形的性质得出，．再证明，由全等三角形的性质得出，求出b的值，再根据勾股定理得出，再根据等面积法求出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴M是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，，则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， 解得：，（舍去） ∴ 【小问3详解】 解：如图，延长，相交于点G，设． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴在中， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线：的顶点在x轴上． （1）求c的值． （2）将抛物线：先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上，且，，试判定，的大小，并说明理由． （3）设抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，向上平移直线，分别与相交于点N，Q（点N在点Q的左边），与相交于点M，P（点M在点P的左边），求证：． 【答案】（1） （2） ，理由见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）本题考查抛物线与x轴交点问题，根据顶点在x轴上，直接求解即可得到答案； （2）本题考查二次函数的平移及二次函数的性质先根据平移得到，结合二次函数性质求出，的取值范围，再比较即可得到答案； （3）本题考查抛物线与直线交点距离问题，先求出交点，从而求出直线解析式，再求出平移后的解析式，联立二次函数求出交点坐标从而求出线段证明即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知，：， 整理得：，对称轴为直线， 故当时，y取最小值，最小值为0， 当时，， 当时，， ∴当时，， 平移后得，对称轴为y轴， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 证明：由：，可知， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线的解析式为， 设平移后直线的解析式为， 与抛物线：，联立，得：， 整理得， 设两根为，，则，， ∴， 平移后的解析式与联立， 得，整理得， 设两根为，，则，， ∴， 如图，分别过点P，M作轴，轴，相交于点C，分别过点Q，N作轴，轴，相交于点D， ∵直线与x轴的夹角（锐角）为， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$