精品解析：江苏省镇江市句容市2024-2025学年七年级下学期期中测试数学试题

七年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如下图），他们用的铁丝材料（ ）     A. 一样多 B. 小明多 C. 小芳多 D. 不能确定 3. 若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 4. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 9. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，在正方形中，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若长方形纸片的面积与周长分别是和，则值的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算： _______． 12. 若，则_________． 13. 已知是二元一次方程的一个解，则m的值是____． 14. 如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 _____． 15. 如图，将绕点逆时针旋转相同的角度两次得到．若，，则每次旋转的角度是____°． 16. 通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算与化简 （1）； （2）； （3）． 18. 利用乘法公式计算： （1）； （2）． 19. 解方程组： （1） （2） 20. 若，求代数式的值． 21. （1）如图1，在网格中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，网格中的每个小正方形的边长都是1．①利用网格作关于直线l对称的；② 的面积为 ； （2）如图2，折叠矩形（长方形）纸片，使点与点重合，折痕为．请用直尺和圆规作出折痕，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到． （1）如图1，当点C的对应点E恰好落在上时，若，求的长； （2）如图2，，若，，求的度数． 23. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值． 24. 如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． （1）将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． （2）如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． （3）利用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 25. 【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则 ． （2）若满足，求和x的值． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，求出正方形和正方形的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟悉掌握图形特点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的特征逐一判断即可． 【详解】解：A：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误； B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确； C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误； 故选：B． 2. 小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如下图），他们用的铁丝材料（ ）     A. 一样多 B. 小明多 C. 小芳多 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的应用，考生通过观察、分析识别图形的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定右侧与上侧各边的长相等．首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可． 【详解】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等， 即两个图形都可以利用平移的方法变为长为，宽为的长方形， 所以两个图形的周长都为， 所以他们用的周长一样长． 故选：A． 3. 若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 运用运算法则直接运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算，根据结果不含项，得出，即可求解． 【详解】解： ； ∵计算的结果不含项， ∴， 解得：， 故选：D． 5. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，使点恰好落在边上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，则有，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：D． 7. 若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 化简得到，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 8. 在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键． 分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：①左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ②左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ③左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ④左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，不符合题意； ∴能够验证平方差公式的有图①②③， 故选：C． 9. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：C． 10. 如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，在正方形中，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若长方形纸片的面积与周长分别是和，则值的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握长方形面积公式是解题的关键． 根据长方形纸片的面积与周长求出和的值，设正方形的边长为，再根据面积求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意可得： 解得：， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则，准确进行计算．根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知是二元一次方程的一个解，则m的值是____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把代入，然后解关于m的方程即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查了平移的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平移中连接各组对应点的线段平行且相等． 根据平移的性质可得，然后利用线段的和差关系即可得出答案， 【详解】 解：由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将绕点逆时针旋转相同的角度两次得到．若，，则每次旋转的角度是____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟悉掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质和旋转角的关系运算求解即可． 【详解】解：根据旋转定义可得，选作为参照边，旋转两次后到处，即是两倍的旋转角， ∵ ∴ ∴旋转角 故答案为： 16. 通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算与化简 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，平方差公式，单项式与单项式的除法运算，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键． （1）从左到右依次计算即可； （2）从左到右依次计算即可； （3）先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 利用乘法公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 代入①到②得，， 解得：， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 得，， 得，， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 原方程组的解为． 20. 若，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，求代数式的值，先根据乘法公式计算，再合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 21. （1）如图1，在网格中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，网格中的每个小正方形的边长都是1．①利用网格作关于直线l对称的；② 的面积为 ； （2）如图2，折叠矩形（长方形）纸片，使点与点重合，折痕为．请用直尺和圆规作出折痕，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①解：如图所示：即为所求； ②； （2）如图所示即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，轴对称作图，熟悉掌握作图原理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，利用割补法运算面积即可； （2）根据垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）的面积为：． （2）略 22. 如图，将绕点B逆时针旋转得到． （1）如图1，当点C的对应点E恰好落在上时，若，求的长； （2）如图2，，若，，求的度数． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【小问1详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：3； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 23. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的运算，积的乘方逆用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简后，把整体代入运算即可； （2）化简后，把，，代入运算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入可得：， ∴， 解得：． 24. 如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． （1）将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． （2）如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． （3）利用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【答案】（1） （2） （3） 解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以由图知． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【小问1详解】 解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 25. 【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则 ． （2）若满足，求和x的值． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，求出正方形和正方形的面积和． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题为整式的混合运算综合题，涉及比较多完全平方公式，熟悉掌运算法则是解题的关键． （1）设，，结合题意列式运算即可； （2）设，，结合题意列式运算即可； （3）利用面积公式列式运算即可． 【详解】（1）解：设，，则，， ∴， ∴； （2）解：设，， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∴，，即或， ∴ 或； （3）解：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $