4.3 第3课时 利用两边及夹角（SAS）判定三角形全等 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3探索三角形全等的条件 第3课时 利用两边及夹角（SAS）判定三角形全等 【知识点1】【教材重现】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”（教材P103） 【数学素养】在和中， ， ∴（SAS） 【★易错点】两边及其一边的对角分别相等时，两个三角形不一定全等，即不存在“边边角”（SSA）。如下图，和不全等 【★数学技巧】判定三角形全等的基本思路 已知条件 寻找的条件 选择判定的方法 两角 任一边 ASA或AAS 一角及其对边 任一角 AAS 一边及其邻边 角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角 SAS或ASA或AAS 两边 夹角或另一边 SAS或SSS 【★数学技巧】寻找三角形全等的条件的方法 要结合图形，挖掘题目中所隐含的条件，如公共边、对顶角、中点、角平分线和高带来的相等关系，以及等线段加（或减）同线段或等线段的和（或差）相等。 【知识点2】【教材重现】尺规作三角形（已知三角形的两边及其夹角）（教材P103） 已知线段，，用尺规作，使. 作法 示范 1. 作一条线段 2. 以点B为顶点，以为一边，作 3. 在射线上截取线段 4. 连接 就是所要作的三角形 【例1】用SAS证明三角形全等（SAS） 【典例】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，．求证：． 【变式2】如图，已知点，在上，，，．求证：； 【变式3】如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【例2】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【典例】如图所示，，，．求证：． 【变式1】如图，，且．求证：． 【变式2】如图，与均为等腰直角三角形，．求证：． 【变式3】已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． （1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，． ①当时，求的度数． ②当为何值时是直角三角形？ （2）如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由． 【例3】尺规作图：已知三角形的两边及其夹角作三角形 【典例】综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与 （1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 已知：． 求作：，使得． 作法：如下图． （1）作； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法． 由作图可知，在和中，， 所以_______； (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）． ①②③④ 【例4】全等的性质和SAS综合（SAS） 【典例】如图，已知：，，，且、、三点在同一直线上．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ______________________． ______________________． 在和中， （___________）． （___________）． 【变式1】如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E． （1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由； （2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离． 【变式2】如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【变式3】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个图形：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行了如下探究： 如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)活动探究一：如图，将绕点旋转的过程中，探究和的数量关系为__________． (2)活动探究二：如图，将绕点转动至如图所示位置时，连接、，探究与面积的数量关系，并说明理由． (3)活动探究三：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，若，的面积为，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3探索三角形全等的条件 第3课时 利用两边及夹角（SAS）判定三角形全等 【知识点1】【教材重现】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”（教材P103） 【数学素养】在和中， ， ∴（SAS） 【★易错点】两边及其一边的对角分别相等时，两个三角形不一定全等，即不存在“边边角”（SSA）。如下图，和不全等 【★数学技巧】判定三角形全等的基本思路 已知条件 寻找的条件 选择判定的方法 两角 任一边 ASA或AAS 一角及其对边 任一角 AAS 一边及其邻边 角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角 SAS或ASA或AAS 两边 夹角或另一边 SAS或SSS 【★数学技巧】寻找三角形全等的条件的方法 要结合图形，挖掘题目中所隐含的条件，如公共边、对顶角、中点、角平分线和高带来的相等关系，以及等线段加（或减）同线段或等线段的和（或差）相等。 【知识点2】【教材重现】尺规作三角形（已知三角形的两边及其夹角）（教材P103） 已知线段，，用尺规作，使. 作法 示范 1. 作一条线段 2. 以点B为顶点，以为一边，作 3. 在射线上截取线段 4. 连接 就是所要作的三角形 【例1】用SAS证明三角形全等（SAS） 【典例】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 【变式1】如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用证全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，已知点，在上，，，．求证：； 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，最后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ 【变式3】如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)与全等，理由见解析； (3)． 【难度】0.65 【分析】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据时间和速度表示的长； （）根据“”证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，，得，，解出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 故答案为：； （2）解：与全等，理由是： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 【例2】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【典例】如图所示，，，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【变式1】如图，，且．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，再根据证明即可． 【详解】证明：， ． 在和中， ． 【变式2】如图，与均为等腰直角三角形，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题的关键； 根据等腰直角三角形的性质得，，再证证，根据，即得结论． 【详解】证明：∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 即． 在与中， ∴． 【变式3】已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． （1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，． ①当时，求的度数． ②当为何值时是直角三角形？ （2）如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①30°；②或；（2），见解析. 【难度】0.4 【分析】(1)利用等边三角形的判定，性质，互余原理计算即可； (2)利用分类思想，分两种情形求解；(3)过点Q作AC的平行线，利用全等三角形，等边三角形的性质计算即可. 【详解】（1）①根据题意得， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴； （2）由题意知，， 当时， ∵， ∴，得： ， 解得； 当时， ∵， ∴， 得， 解得； ∴当秒或秒时，为直角三角形； （2），理由如下： 如图所示，过点作，交于， 则是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形，数学分类思想，直角三角形的性质，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键. 【例3】尺规作图：已知三角形的两边及其夹角作三角形 【典例】综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，全等三角形的判判定，根据作图得到，，利用得到，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：，， ∴； 故选B． 【变式1】综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与 （1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】由作图可得，，， ∴ ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是． 故选：B． 【变式2】如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据判断三角形全等即可． 【详解】解：已知， 由作图可知，， ∴， 故选：A． 【变式3】 已知：． 求作：，使得． 作法：如下图． （1）作； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法． 由作图可知，在和中，， 所以_______； (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）． ①②③④ 【答案】(1)，，； (2)． 【难度】0.65 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）由（1）中证明，可得结论． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：． 【例4】全等的性质和SAS综合（SAS） 【典例】如图，已知：，，，且、、三点在同一直线上．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ______________________． ______________________． 在和中， （___________）． （___________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由得出，再证明即可得解． 【详解】证明：， ． ． 在和中， ， （全等三角形对应角相等）． 【变式1】如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E． （1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由； （2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离． 【答案】（1）△DFG≌△DBC，理由见详解；（2）2 【分析】（1）由平行线的性质得到∠F＝∠FBC，直接利用AAS即可判定△DFG≌△DBC； （2）由（1）得DF＝DB，由垂直的定义得出∠EDF＝∠EDB＝90°，即可根据SAS判定△DEF≌△DEB，即可得到∠F＝∠EBD，再由平行线的性质及角平分线的定义即得出BD平分∠ABC，再根据角平分线的性质即可得解． 【详解】解：（1）△DFG≌△DBC，理由如下： ∵FG∥BC， ∴∠F＝∠FBC， 在△DFG和△DBC中， ∵， ∴△DFG≌△DBC（AAS）． （2）如图，过点D作DM⊥AB于点M，连结DE， 由（1）得△DFG≌△DBC， ∴DF＝DB， ∵DE⊥BD， ∴∠EDF＝∠EDB＝90°， 在△DEF和△DEB中， ∵， ∴△DEF≌△DEB（SAS）， ∴∠F＝∠EBD， ∵FG∥BC， ∴∠F＝∠FBC， ∴∠EBD＝∠FBC， ∴BD平分∠ABC， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵DM⊥AB，CD＝2， ∴DM＝CD＝2，即点D到AB边的距离为2． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明△DFG≌△DBC和△DEF≌△DEB是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个图形：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行了如下探究： 如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)活动探究一：如图，将绕点旋转的过程中，探究和的数量关系为__________． (2)活动探究二：如图，将绕点转动至如图所示位置时，连接、，探究与面积的数量关系，并说明理由． (3)活动探究三：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，若，的面积为，求的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【分析】（）证明即可求解； （）作于点，的延长线于点，可证明，即得，进而由即可求解； （）过点作的延长线于点，可证明，得，，即得，进而可证，得到，即得，再根据得，即可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于点，的延长线于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$