4.3 第2课时 利用两角一边（ASA或AAS）判定三角形全等 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 第2课时 利用两角一边（ASA或AAS）判定三角形全等 【知识点1】【教材重现】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”（教材P101） 【数学素养】在和中， ， ∴（ASA） 【★数学技巧】在书写两个三角形全等时，一定要把夹边写在中间，以突出边角的位置及对应关系 【知识点2】【教材重现】尺规作三角形（已知三角形的两角及其夹边）（教材P101-102） 已知，线段c，用尺规作，使. 作法 示范 1. 作 2. 在射线上截取线段 3. 以B为顶点，以为一边，作，交于点C 就是所要作的三角形 【知识点3】【教材重现】两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”（教材P102） 【数学素养】在和中， ， ∴（AAS） 【★数学技巧】用“AAS”判定两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边 【例1】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或AAS） 【典例】如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 【变式1】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【变式3】如下是作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：．求作，使得． (1)根据作图痕迹补全作法； ①作_______；②在射线_______上截取_______； ③以_______为顶点，以_______为一边，作_______，_______交射线于点F，则即为所求作的三角形． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______． 【例2】尺规作图：已知三角形的两角及其夹边作三角形 【典例】如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【变式1】小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 【变式2】如图，在中， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交AB边于点M，延长线段CA，并在其延长线上截取线段AN，使得，连接MN（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中所作的图形中，若，证明：． 【变式3】如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，并延长交的延长线于点，试求线段与的数量关系，并给出证明． 【例3】【★温故知新】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或AAS） 【典例】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点E、F在上，且，求证： 【变式2】已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】在中，是上一点，连接，过点作于点交于点是上一点，且满足，过点作于点，连接．若，，则的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 第2课时 利用两角一边（ASA或AAS）判定三角形全等 【知识点1】【教材重现】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”（教材P101） 【数学素养】在和中， ， ∴（ASA） 【★数学技巧】在书写两个三角形全等时，一定要把夹边写在中间，以突出边角的位置及对应关系 【知识点2】【教材重现】尺规作三角形（已知三角形的两角及其夹边）（教材P101-102） 已知，线段c，用尺规作，使. 作法 示范 1. 作 2. 在射线上截取线段 3. 以B为顶点，以为一边，作，交于点C 就是所要作的三角形 【知识点3】【教材重现】两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”（教材P102） 【数学素养】在和中， ， ∴（AAS） 【★数学技巧】用“AAS”判定两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边 【例1】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或AAS） 【典例】如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【详解】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形； 综上分析可知，①和②可以， 故答案为：①②． 【变式1】如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 【详解】解：， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 【变式2】如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如下是作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：．求作，使得． (1)根据作图痕迹补全作法； ①作_______；②在射线_______上截取_______； ③以_______为顶点，以_______为一边，作_______，_______交射线于点F，则即为所求作的三角形． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______． 【答案】(1)①A；②，，③E，，B， (2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据作图痕迹补全即可； （2）根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：①作； ②在射线上截取； ③以为顶点，以为一边，作，交射线于点F，则即为所求作的三角形； （2）解：由作图可得： 在和中， ， ∴， 故这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是． 【例2】尺规作图：已知三角形的两角及其夹边作三角形 【典例】如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 【答案】(1)作图见详解 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行四边形边的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据题意可证，再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴①， 在和中， ， ∴， ∴③，， ∵为的中点， ∴， ∴④， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤， ∴． 【变式2】如图，在中， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交AB边于点M，延长线段CA，并在其延长线上截取线段AN，使得，连接MN（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中所作的图形中，若，证明：． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）作角的平分线，以点为圆心，任意长为半径，作弧与，交于，两点，分别以，两点为圆心大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，与交于点，再以点为圆心长为半径，作弧与延长线交于点，连接，作图为所求； （2）根据，，可以退出，再利用角平分线得到相等的角，之后证明，则结论可以得证． 【详解】（1）作图如下： 证明：（2）由（1）可得， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中 ∴ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的作法，等腰三角形的等边对等角，其中利用角平分线推出三角形全等是解题关键． 【变式3】如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，并延长交的延长线于点，试求线段与的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【难度】0.65 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据已知条件证明△ACD≌△DFE，即可得AC＝DF； （3）根据（2）证明△EBF为等腰直角三角形，△BCG为等腰直角三角形，即可得到CG＝AC． 【详解】解：（1） 依题意补全图形； （2）证明：∵， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，   又∵，   ∴≌，   ∴；   （3）线段与的数量关系是：． ∵≌， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴ ∴△BCG为等腰直角三角形， ∴BC=CG， ∴CG=AC． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是利用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质． 【例3】【★温故知新】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或AAS） 【典例】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，则 【详解】解：∵，， ∴， 在与中： ， ． ∴A，B两点的距离是． 故选：B． 【变式1】如图，点E、F在上，且，求证： 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得，利用证，再利用全等三角形性质得，，继续利用全等三角形的判定得出，即可得出结论． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ∵， ， ∴． 【变式2】已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先导角证明，再证明，可得，则D选项结论正确；根据现有条件无法证明A、B、C三个选项中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论， 故选：D． 【变式3】在中，是上一点，连接，过点作于点交于点是上一点，且满足，过点作于点，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，如图，延长，过点作交的延长线于点．证明，得出，再证明，得出，即可得，结合，，即可求出，根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长，过点作交的延长线于点．则， ∵， ， ， 在和中：，， ， ∴， ∵， ， ， ， ，， ， 在和中， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$