4.3 第1课时 利用三边（SSS）判定三角形全等 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 第1课时 利用三边（SSS）判定三角形全等 【知识点1】【教材重现】三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.（教材P98） 【数学素养】在和中， ， ∴（SSS） 【★易错点】周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。例如，在下图中，点D为边的重点，连接，和的面积相等，但两个三角形不全等. 【例1】用SSS证明三角形全等（SSS） 【典例】如图，D是上一点，，，．求证：． 【变式1】如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【变式2】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式3】如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 【知识点2】【教材重现】尺规作三角形（教材P99） 已知线段，用尺规作，使. 作法 示范 1. 作一条线段， 2. 分别以点B，C为圆心，以c, b的长为半径作弧，两弧交于点A 3. 连接，就是所要作的三角形 【例2】尺规作图——作三角形 【典例】已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角，腰为，求作这个等腰三角形． 【变式1】用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是 ． 【变式2】已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【变式3】（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【例3】全等的性质与SSS综合（SSS） 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 【变式1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，连接点与角尺的顶点，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四位同学用不同的方法得到一个与相等的角，其中正确的（   ） 图①奇奇利用尺规得到     图②思思利用尺规得到 图③妙妙借助时，得到 图④想想借助时，得到 A．只有奇奇，思思 B．只有奇奇，妙妙 C．只有奇奇，妙妙，想想 D．有奇奇，思思，妙妙，想想 【变式3】下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 【知识点3】【教材重现】三角形的稳定性：当三角形的长度确定后，其形状、大小也随之确定，这是三角形具有稳定性的原因（教材P99） 【例4】三角形的稳定性及其应用 【典例】安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【变式1】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A．B．C． D． 【变式3】如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 第1课时 利用三边（SSS）判定三角形全等 【知识点1】【教材重现】三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.（教材P98） 【数学素养】在和中， ， ∴（SSS） 【★易错点】周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。例如，在下图中，点D为边的重点，连接，和的面积相等，但两个三角形不全等. 【例1】用SSS证明三角形全等（SSS） 【典例】如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 【变式1】如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．先由得出，结合，，可通过证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 【详解】证明：∵， ∴，即 ， 在和中， ， ∴． 【变式3】如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 故选B． 【知识点2】【教材重现】尺规作三角形（教材P99） 已知线段，用尺规作，使. 作法 示范 1. 作一条线段， 2. 分别以点B，C为圆心，以c, b的长为半径作弧，两弧交于点A 3. 连接，就是所要作的三角形 【例2】尺规作图——作三角形 【典例】已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角，腰为，求作这个等腰三角形． 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据题意底角为锐角，腰为，即可得到等腰三角形． 【详解】解：如图所示， 即为所求，，， 【变式1】用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【详解】解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【变式2】已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到． 【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 【变式3】（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①与平行，证明见解析 ② 【分析】本题主要考查尺规作图—作平行线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）以为圆心，以适当长为半径画弧交与，交与，再以为圆心，以同样长为半径画弧交的延长线与，最后以为圆心，的长为半径，与弧交于，则直线即为所求； （2）①根据平行线的性质得出，再由等量代换及平行线的判定即可证明； ②根据垂直的定义得出，再由角平分线及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：（1）如图：; 理由：由作图可知， ，根据同位角相等，两直线平行，所以 。 （2）①． 证明：∵， ， ， ， ， ②， DF平分， ， ， ． 【例3】全等的性质与SSS综合（SSS） 【典例】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角．根据作图可知，利用可以得到，得到对应角相等，即可说理． 【详解】解：由作图可知：， ∴（）， ∴，即 故选：B． 【变式1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，连接点与角尺的顶点，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选：A． 【变式2】如图，四位同学用不同的方法得到一个与相等的角，其中正确的（   ） 图①奇奇利用尺规得到     图②思思利用尺规得到 图③妙妙借助时，得到 图④想想借助时，得到 A．只有奇奇，思思 B．只有奇奇，妙妙 C．只有奇奇，妙妙，想想 D．有奇奇，思思，妙妙，想想 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等以及对顶角相等，正确理解题意是解题的关键． 分别利用尺规作图，作一个角等于已知角，同角的余角相等以及对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：奇奇：连接， 由作法可知，，， ∴， ∴，故正确； 思思： 同奇奇作法可证，故正确； 妙妙：根据同角的余角相等可知，故正确； 想想：根据对顶角相等可知，故正确， 故选：D． 【变式3】下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 【答案】(1)见详解 (2)，，全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解题的关键． （1）根据题意用直尺和圆规完成作图； （2）连接，先证，再根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）证明：连接， 由作图可知，， 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：，，全等三角形的对应角相等． 【知识点3】【教材重现】三角形的稳定性：当三角形的长度确定后，其形状、大小也随之确定，这是三角形具有稳定性的原因（教材P99） 【例4】三角形的稳定性及其应用 【典例】安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（  ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，三角形的稳定性及应用等知识点，熟练掌握三角形的稳定性及应用是解题的关键． 【变式1】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定， ∴不容易变形的是：B， 故选：B 【变式2】下列五边形具有稳定性的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也具有稳定性．根据三角形具有稳定性，进行解答即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由三角形构成． 故选：D． 【变式3】如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可得结论． 【详解】根据三角形的稳定性可得：至少要再钉上1根木条（过四边形的对角线钉上1根木条）． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$