精品解析：四川省乐至中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

乐至中学高2027届第二学期第二次月考 数学试题 一.选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】，. 故选：C 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由坐标判断象限即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限. 故选：B 3. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断. 【详解】A选项，的最小正周期为， 且当时，，故图象关于直线对称，A正确； B选项，的最小正周期为，B错误； C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误； D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误. 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得的值，再由二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故选：C 5. 在中，，为线段的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及共线定理可得参数值，进而可得解. 【详解】 由已知，则， 又为线段的中点， 所以， 所以， 即，， 所以， 故选：C. 6. 在中，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】由余弦定理得， 且，所以， 所以． 故选：B 7. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 8. 已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据模长关系可得，设，分类讨论点与直线的位置关系，结合圆的性质即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为， 即，则， 可得，且，所以， 设， 则， 由题意可知：， 若位于直线两侧，且，可知四点共圆， 且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点， 则的最大值即为圆的直径； 若位于直线同侧，且，可知四点共圆， 且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，此时； 综上所述： 的最大值为2 故选：A. 二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.） 9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果． 【详解】先平移后伸缩： 函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得； 先伸缩后平移： 函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度，得，即． 故AD符合题意. 故选：AD． 10. 下列结论中，错误的是（ ） A. 表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B. 若，则，不是共线向量； C. 若，则四边形是平行四边形； D. 与同向，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确； 对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误； 对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误； 对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误. 故选：BCD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，即， 则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由，得，则是的最大内角， 又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确； 对于C，由，及余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，则，即，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若复数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用复数除法的几何意义及模长求法求结果. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量定义结合向量坐标运算即可计算求解. 【详解】由题在上的投影向量为. 故答案为： 14. 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为__________米；三个区域的总面积为_____________________平方米. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用圆的周长公式和扇形的弧长公式即可求解；第二空：利用圆的面积及扇形的面积公式即可求解. 【详解】为大圆的内接等腰直角三角形，为大圆的直径， 大圆的半径为1米，米， ，， 区域Ⅲ的周长为； 根据月牙定理可知，区域Ⅰ、Ⅱ的面积之和为， 区域Ⅲ的面积为， 三个区域的总面积为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5道小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面内给定三个向量，，. （1）求； （2）若，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算求，即可得模长； （2）根据向量的坐标运算求，，再结合向量垂直的坐标表示分析求解. 【小问1详解】 因为，，则， 所以. 【小问2详解】 因为，则，， 又因为， 则，解得. 16. 如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°． （1）求AC的长； （2）若CD＝5，求AD的长． 【答案】（1）3，（2）7 【解析】 【分析】（1）在△ABC中直接利用正弦定理求解即可； （2）先求出，然后在中利用余弦定理求解即可 【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，, 则， （2）因为∠ACB＝60°，所以, 在中，由余弦定理得， 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题 17. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【小问1详解】 由，可得， . 【小问2详解】 由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 18. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先应用两角和正弦公式结合辅助角公式化简，再根据正弦函数的增区间计算； （2）先根据已知求出角，再应用余弦定理结合基本不等式计算求解. 【小问1详解】 由，得：，， 函数在上的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由得：， ，，，， 由余弦定理知， （当且仅当时等号成立）， 又，，. 19. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高（用表示）； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1） （2） （3），最小值为 【解析】 【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解； （2）分别在与中由正弦定理化简即可得解； （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值. 【小问1详解】 当时，， 所以， 又 所以是等边三角形，所以， 所以在中，，即， 所以； 【小问2详解】 ，，， 在中，由正弦定理得， 所以 所以 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，所以； 【小问3详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，取最小值， 故关于的函数表达式为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐至中学高2027届第二学期第二次月考 数学试题 一.选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的.） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，为线段的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.） 9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 10. 下列结论中，错误的是（ ） A. 表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B. 若，则，不是共线向量； C. 若，则四边形是平行四边形； D. 与同向，且，则 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若复数满足，则__________. 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____. 14. 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为__________米；三个区域的总面积为_____________________平方米. 四、解答题（本题共5道小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面内给定三个向量，，. （1）求； （2）若，求实数. 16. 如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°． （1）求AC的长； （2）若CD＝5，求AD的长． 17. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围. 19. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高（用表示）； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $