精品解析：山东省烟台市莱州市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2025年春适应性检测 九年级数学试题 注意事项： 1. 本试卷分试题卷和答题卷，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2. 答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列各数中，最小的有理数是（ ） A. B. C. 的相反数 D. 的倒数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，立方根、相反数和倒数的定义，利用以上知识点求出各选项中的数，再根据有理数的定义判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，的相反数是，的倒数是， ∴最小的有理数是， 故选：． 2. 将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判断解决即可． 【详解】解：根据俯视图投影的规律，可知图（2）几何体的俯视图，应该为一个大的直角三角形，且直角三角形内部有一条线段连接直角三角形的两直角边.，该线段可以从上面看到，故为实线.俯视图如图所示： 故本题答案为：A． 【点睛】本题考查了俯视图的投影规律，解决本题的关键是正确理解题意，要有空间想象力，明白俯视图是从上面观察得到的图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断． 【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误； 2a3+3a3=5a3，故选项B错误； 6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确； （-2x2）3=-8x6，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法． 4. 由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据作图痕迹判断是否符合题意即可． 【详解】解：①根据作图得，故，符合题意； ②根据作图得，不符合题意； ③根据作图得 平分，， ∴， ∴， ∴， 因此③符合题意； ④根据作图得，不符合题意， ∴符合题意的有①③， 故选：C． 5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： ； 故选C． 6. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 8. 已知，关于x的分式方程有增根，且，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式方程，用含有字母m的式子表示x，再根据方程有增根求出m的值，然后将m的值代入得出关于a，b的等式，再配方根据完全平方公式的非负性求出a和b的值，即可得出答案． 【详解】， 解得． ∵分式方程有增根， ∴x-4=0， 即x=4， ∴6-m=4， 解得m=2． 当m=2时，， 即， 解得a=-1，b=3． 则a+b=-1+3=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，根据完全平方公式的非负性求字母的值，求出m的值是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 10. 如图（如图1所示）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，沿斜边AB的中线CD把这个三角形剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将△AC1D1沿直线D2B方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，平移停止．设平移距离D1D2为x，△AC1D1和△BC2D2的重叠部分面积为y，在y与x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图3，当0≤x≤4时， ∵D2D1=x ∴D1E=BD1=D2F=AD2=4﹣x， ∴C2F=C1E=x． ∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4， ∴∠B=60°， 过C作CH⊥AB于H， ∴CH=2， ∵在△ABC中，sin∠CDB=， ∴sin∠ED1B==． 设△BED1的BD1边上的高为h， ∴h=， ∴S△BD1E=×BD1×h=（4﹣x）2． ∵∠C1+∠C2=90°， ∴∠FPC2=90°． ∵∠C2=∠B， ∴sin∠B=，cos∠B=， ∴PC2=x，PF=x， ∴S△FC2P=PC2•PF=x2 ∴y=S△D2C2B﹣S△BD1E﹣S△FC2P=（4﹣x）﹣（4﹣x）2﹣x2=﹣x2+x ∴y=﹣x2+x． ∴y与x的函数图象大致是C选项， 故选C． 点睛：本题考查了图形平移的性质，锐角三角函数，割补法求图形的面积，二次函数的图像与性质.平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用三角形的面积公式求出y与x的二次函数解析式. 二、填空题（本题共6个小题） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分解因式，主要步骤为提取公因式及套乘法公式．提取公因式中，既要提取相同的因数、相同字母及其最低次数，也要提取相同的因式，且须注意与可提取相同因式．套乘法公式时须注意系数． 12. 2025年1月20日，正式发布模型，中国在人工智能领域研究取得重大突破，是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，截至2025年2月4日，的日活跃用户数已突破2000万，达到2215万．将2215万用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查用科学记数法表示绝对值较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：2215万． 故答案为：． 13. 已知，且，则化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律型问题，等边三角形的性质等知识点，观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解答本题的关键． 【详解】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数， ， 点在x轴上方， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 同理可知，点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形性质及中点条件，证明，得出．根据三角函数关系及已知，求出、、、、的长度．由得到，利用相似三角形对应边成比例求出的长度． 【详解】∵四边形是正方形，、分别为边、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键是利用正方形性质证明三角形全等与相似，结合相关性质和线段长度关系逐步推导． 16. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是__________个． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系．根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，结合点的位置，判断抛物线的开口方向，进行判断的符号，对称轴判断的符号，进而判断①，特殊点判断②和③，图象法判断方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为， ∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∵抛物线与y轴的交点C在点之间， ∴，抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ∵抛物线过点和， 对于直线， 当时，，当时，， ∴直线过点和，如图， ∴由图可知：方程的两个根的范围为：；故④错误； 综上，只有③正确； 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 利用课本上的计算器计算x的值，按键顺序如下：，若x是其显示结果的算术平方根， 先化简 ，再求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了计算器的使用方法，算术平方根，分式的化简求值，分母有理化，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 由题意得计算器计算的结果为，则， 当时，原式＝． 18. 排球垫球是体育中考的项目之一，下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员甲测试成绩表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 （1）运动员甲测试成绩的众数为________；运动员乙测试成绩的中位数为________；运动员丙测试成绩的平均数为________； （2）经计算三人成绩的方差分别为，，，如果在他们三人中选择一位垫球成绩较为稳定的接球能手作为自由人，则运动员________更合适； （3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（明树状图或列表法解答） 【答案】（1）7；7；6.3；（2）乙；（3） 【解析】 【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数，观察拆线统计图可得运动员乙测试成绩的中位数，运用加权平均数计算公式可求出丙的平均数； （2）易知，，，根据题意不难判断； （3）画出树状图，即可解决问题； 【详解】解：（1）甲运动员测试成绩中7出现最多，故甲的众数为7分； 从拆线图可得乙的测试成绩按大小顺序排列为：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8， 所以，乙运动员测试成绩的中位数为（分）． 运动员丙测试成绩的平均数为：=6.3（分） 故答案是：7；7；6.3； （2）∵甲、乙、丙三人的众数为7；7；6 甲、乙、丙三人的中位数为7；7；6 甲、乙、丙三人的平均数为7；7；6.3 ∴甲、乙较丙优秀一些， ∵s甲2＞s乙2 ∴选乙运动员更合适． （3）树状图如图所示， 第三轮结束时球回到甲手中的概率是P=． 【点睛】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键． 19. 中国集装箱船的制造能力位居全球前列．某校“综合实践”小组想了解大型集装箱船的相关内容，收集得到如下记录表： 探究大型集装箱船的相关数据 素材1 图1是一艘大型集装箱船实物图与示意图，靠近船尾的塔台与甲板垂直．在驾驶舱|A处观测船头C的俯角为，已知米，． 素材2 我们把船体在水面以下的高度叫做吃水深度．如图2，当集装箱船满载时，船体吃水深度为15米．此时在驾驶舱A处观测船头障碍点M的视线与水面l交于点P，俯角为．已知，船头夹角，集装箱船总高为66米（塔台顶端A至船底距离）． 素材3 如图2，根据相关安全规定，点P与点Q的距离不能超过500米． 图示 图1 图2 问题解决 任务（1） 求驾驶塔台的高度； 任务（2） 请通过计算说明，满载时该船是否符合相关安全规定？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务（1）米；任务（2）满载时该船符合相关安全规定． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用任务． （1）由题意得，代入数据，计算即可求解； 任务（2）延长交水面l于点，作于点，先求得米，米，在中，求得的长，在中，求得和的长，据此求解即可判断． 【详解】解：任务（1） 由题意得， ∵，米， ∴米； 任务（2）满载时该船符合相关安全规定．理由如下： 延长交水面l于点，作于点， 则四边形是矩形， 由题意得米，米，， 在中，，， ∴米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴， ∴满载时该船符合相关安全规定． 20. 直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． 【小问2详解】 解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 21. “低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车月份投放了辆，月份投放了辆． （1）若该品牌共享自行车前个月的投放量的月平均增长率相同，则月份投放了多少辆？ （2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产型车的成本价为元辆，售价为元辆，生产型车的成本价为元辆，售价为元辆．根据定制要求，型车的数量超过辆，且型车的数量不少于型车的倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）月份投放了辆 （2）生产型车辆，型车辆，生产商有最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设生产型车辆，则生产型车辆，根据题列出不等式，求得，或，设自行车生产厂商获得的利润为，由题意得：，根据一次函数的性质求得最大利润，即可求解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为，由题意得： ， 解得：(舍去)， 月份投放了=(辆)， 月份投放了辆； 【小问2详解】 设生产型车辆，则生产型车辆，由题意得： ， 解得：， 为正整数， ，或， 设自行车生产厂商获得的利润为，由题意得： ， ， 随的增大而减小， 当时，， (辆)． 生产型车辆，型车辆，生产商有最大利润为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程、不等式以及函数关系式是解题的关键． 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， ①的长度为______． ②求证：， （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①； ②证明：如图1，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， 平分 又，， 由旋转可知，， ，， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得 【小问1详解】 解：由旋转的性质知，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：； ②略 【小问3详解】 解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， 同理为等边三角形． 如图2，令与的交点为， ，， ， ， 如图3，同理可得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点. (1)求的值; (2)若，求的值， (3)如图2，在(2)的条件下，设动点对应的位置是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值. 【答案】（1 a= ；（2）m=3；（3）AP2+BP2的最小值为 ． 【解析】 【分析】（1）把A点坐标代入可得到关于a的方程，可求得a的值； （2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值； （3）在y轴上取一点Q，使 ，可证得△P2OB∽△QOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2化为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时有最小值，则可求得答案． 【详解】解：（1）∵A（4，0）在抛物线上， ∴0=16a+4（a+2）+2，解得a= ； （2）由（1）可知抛物线解析式为y=x2+x+2，令x=0可得y=2， ∴OB=2， ∵OP=m， ∴AP=4-m， ∵PM⊥x轴， ∴△OAB∽△PAN， ∴，即 ， ∴PN=（4-m）， ∵M在抛物线上， ∴PM=m2+m+2， ∵PN：MN=1：3， ∴PN：PM=1：4， ∴m2+m+2=4×（4-m）， 解得m=3或m=4（舍去）； （3）在y轴上取一点Q，使 ，如图， 由（2）可知P1（3，0），且OB=2， ∴ ，且∠P2OB=∠QOP2， ∴△P2OB∽△QOP2， ∴ ， ∴当Q（0， ）时QP2=BP2， ∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ， ∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值， ∵A（4，0），Q（0，）， ∴AQ= ，即AP2+BP2的最小值为 ． 故答案为（1 a= ；（2）m=3；（3）AP2+BP2的最小值为 ． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形三边关系等知识．在（2）中用m分别表示出PN和PM是解题的关键，在（3）确定出取得最小值时的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（3）中构造三角形相似，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春适应性检测 九年级数学试题 注意事项： 1. 本试卷分试题卷和答题卷，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2. 答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列各数中，最小的有理数是（ ） A. B. C. 的相反数 D. 的倒数 2. 将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体的俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 5. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ） A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 8. 已知，关于x的分式方程有增根，且，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 如图（如图1所示）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，沿斜边AB的中线CD把这个三角形剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将△AC1D1沿直线D2B方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，平移停止．设平移距离D1D2为x，△AC1D1和△BC2D2的重叠部分面积为y，在y与x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题） 11. 分解因式：______． 12. 2025年1月20日，正式发布模型，中国在人工智能领域研究取得重大突破，是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，截至2025年2月4日，的日活跃用户数已突破2000万，达到2215万．将2215万用科学记数法表示为__________． 13. 已知，且，则化简_____． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为______． 15. 如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为__________． 16. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是__________个． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 利用课本上的计算器计算x的值，按键顺序如下：，若x是其显示结果的算术平方根， 先化简 ，再求值． 18. 排球垫球是体育中考的项目之一，下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员甲测试成绩表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 （1）运动员甲测试成绩的众数为________；运动员乙测试成绩的中位数为________；运动员丙测试成绩的平均数为________； （2）经计算三人成绩的方差分别为，，，如果在他们三人中选择一位垫球成绩较为稳定的接球能手作为自由人，则运动员________更合适； （3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（明树状图或列表法解答） 19. 中国集装箱船的制造能力位居全球前列．某校“综合实践”小组想了解大型集装箱船的相关内容，收集得到如下记录表： 探究大型集装箱船的相关数据 素材1 图1是一艘大型集装箱船实物图与示意图，靠近船尾的塔台与甲板垂直．在驾驶舱|A处观测船头C的俯角为，已知米，． 素材2 我们把船体在水面以下的高度叫做吃水深度．如图2，当集装箱船满载时，船体吃水深度为15米．此时在驾驶舱A处观测船头障碍点M的视线与水面l交于点P，俯角为．已知，船头夹角，集装箱船总高为66米（塔台顶端A至船底距离）． 素材3 如图2，根据相关安全规定，点P与点Q的距离不能超过500米． 图示 图1 图2 问题解决 任务（1） 求驾驶塔台的高度； 任务（2） 请通过计算说明，满载时该船是否符合相关安全规定？ （结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，，，，） 20. 直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 21. “低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车月份投放了辆，月份投放了辆． （1）若该品牌共享自行车前个月的投放量的月平均增长率相同，则月份投放了多少辆？ （2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产型车的成本价为元辆，售价为元辆，生产型车的成本价为元辆，售价为元辆．根据定制要求，型车的数量超过辆，且型车的数量不少于型车的倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， ①的长度为______． ②求证：， （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点. (1)求的值; (2)若，求的值， (3)如图2，在(2)的条件下，设动点对应的位置是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $