精品解析：湖南省湘潭县第一中学等多校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2025年4月高一期中联考 数学 班级：_____姓名：_____准考证号：_____ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C D. 3. 在中，若，，，则（ ） A B. C. 或 D. 或 4. 已知，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 52 8. 已知函数，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B. 设，，为非零向量，则 C. 设，为非零向量，若，则 D. 若点为的重心，则 10. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若有两个零点，则 D. 若的定义域为，且，且与图象的交点为，，，，则必为奇数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____ 13. 的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____． 14. 在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为． （1）若与所成角为锐角，求实数的取值范围； （2）若向量为在上的投影向量，求． 16. 已知向量，，函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求证：； （2）求的取值范围． 18. 已知函数． （1）证明：曲线是中心对称图形． （2）已知，若，当且仅当时成立． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）若是的零点，，求的值． 19. 对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数． （1）已知函数，的值域为集合，求的真子集个数． （2）已知，，，，为零点，求． （3）设，，，是任意给定的个互不相等的实数．求证：存在某个正整数，使得．注：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年4月高一期中联考 数学 班级：_____姓名：_____准考证号：_____ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解. 【详解】函数， ，， ． 故选：B. 3. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 分析】由正弦定理可得，解得，可求. 【详解】在中，若，，， 由正弦定理得，所以，解得， 又且，，或． 故选：D. 4. 已知，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦型函数的图象及性质即可求解. 【详解】对，，结合的图象可知． 故选：C. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由函数是内的单调减函数，， 所以， ， 由函数是上的单调增函数，所以， 而，， 所以． 故选：A. 6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，由向量数量积的定义可得，再由投影向量的计算公式计算即可. 【详解】由题意知，，设，夹角为， ， 又，，， 所以， 向量在向量上的投影向量为． 故选：B. 7. 已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再利用互补的角的余弦值相加等于0，即可求得答案. 【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2， 由图可知，同理， ．又 ， 又由图知，， ． 所以． 故选：A. 8. 已知函数，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得，令，可得对恒成立，分或或三种情况讨论可求得的范围. 【详解】不妨设，即，则有， 即， 令，，则对恒成立． 又， ①若，则，得； ②若，则，得； ③若，则符合题意． 综上，． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B. 设，，为非零向量，则 C. 设，为非零向量，若，则 D. 若点为的重心，则 【答案】CD 【解析】 【分析】由，可得，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于0计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A选项，若，则，， 与平行或与夹角为锐角，所以A错误； 对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量， 而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误； 对于C选项，因为，所以， ，所以C正确； 对于D选项，为的重心， 则点，，分别为，，的中点， 且，，， 则，所以D正确． 故选：CD． 10. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和真数大于0可得，即可判断ABC；利用的单调性即可判断D. 【详解】A选项，由题意可知，即，则， 因，，则， 因在单调递减，则，故A正确； B选项，易知，因在上单调递减，则，故B错误； C选项，由，得，，则，故C正确； D选项，因单调递增，在单调递减， 则在单调递增， 则，即，故D正确． 故选：ACD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若有两个零点，则 D. 若的定义域为，且，且与图象的交点为，，，，则必为奇数 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项，判断出在上单调性，即可判断；对于B选项，设，利用单调性可得，即可判断；对于C选项，画出的图象，结合图象可得m的范围，即可判断；对于D选项，由已知可求函数的对称中心，结合函数的对称性即可求解. 【详解】对于A选项，， 因为在上在上单调递增，则在上单调递减， 当时，故A错误； 对于B选项，不妨设， ， 又在上单调递减，则，，故B正确； 对于C选项，，则可知的图象如图所示， 要使存在两个不同的根，则，故C错误； 对于D选项，因为，所以关于（0，1）对称， 又由B中知为奇函数，所以关于（0，1）对称， 在上存在个根，， 由对称性可知在上也存在个根， 则与共存在个交点，，所以一定为奇数，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数函数值的计算求解即可. 【详解】，所以． 故答案为：. 13. 的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知点求出的值，再根据余弦函数的单调性列出关于的不等式求解即可. 【详解】因为的图象经过点，所以， 又因为，所以， 当时，， 因为在区间上单调递增， 则，，知， 又因为，且，， 所以，即． 故答案为：. 14. 在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】由，结合同角关系求出，，根据求出，由求出结果. 【详解】因为，所以，， 又，， 所以，解得， 所以，，所以， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为． （1）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围； （2）若向量为在上的投影向量，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，先求出m，根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数m的取值范围； （2）求出，则可求出，即可求得． 【小问1详解】 因为单位向量，，夹角为，，， 则， 又，， 所以，解得， 所以，， 则由题可知，解得． 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 由（1）知，， 向量为在上的投影向量， 则，且， 则， 所以． 16. 已知向量，，函数． （1）求单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案； （2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域. 【小问1详解】 因为向量，，函数， 所以 ， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知， 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位， 则， 当时，，， 则． 所以在的值域为. 17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求证：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知和余弦定理，可得，再由正弦定理及正弦的两角和与差公式可得，即可得到； （2）利用正弦定理即二倍角公式，由为锐角三角形，得到，可得，则得到取值范围． 【小问1详解】 在锐角中，，由余弦定理得，则， 由正弦定理得，即， ，又在中，， ，． 【小问2详解】 由（1）知，， 由正弦定理 ， 又为锐角三角形， ，，， ， 即的取值范围为. 18. 已知函数． （1）证明：曲线是中心对称图形． （2）已知，若，当且仅当时成立． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）若是的零点，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由已知，得，即可证明； （2）（ⅰ）由（1）知关于（9，9b）对称，计算即可求解； （ⅱ）由（i），根据零点的概念可得，根据对数的运算性质和换元法可得，（令），进而与都是的零点，结合零点的存在性定理和的单调性可得，即可求解. 【小问1详解】 ， ，． 即关于对称． 综上，曲线是中心对称图形． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，则的定义域为， 对于，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，则函数在上单调递增， 又，函数是增函数，所以函数在上单调递增， 由（1）知关于对称． 当且仅当时成立， 当时，． ，即， 所以． （ⅱ）因为是的零点， 所以 ，， 又，， 则， 令，则， ，即，都是方程的解， 与都是的零点，又由（ⅰ）知在上单调递增， ，即． 19. 对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数． （1）已知函数，的值域为集合，求的真子集个数． （2）已知，，，，为的零点，求． （3）设，，，是任意给定的个互不相等的实数．求证：存在某个正整数，使得．注：． 【答案】（1）7个 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性结合真子集的个数公式计算求解； （2）应用零点定义及等差数列求和公式计算求解； （3）应用新定义结合求和公式计算证明不等式. 【小问1详解】 ， 在上单调递增． ，，即的真子集个数为个， 综上，的真子集个数为7个． 【小问2详解】 由，得． 又，得，． 由题意知为整数，只能取，，，，． 当时，． 从而，即只能取值，，，． ． 综上，． 【小问3详解】 证明：设． 对任意的正整数， 当时，或1．即． 当时，． ． 即在，，，中至少有一个数不大于． 不妨设，所以存在正整数， 使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$