精品解析：广东省茂名市电白区2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、试室号、班别、学校等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题：本大题10大题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2. 的倒数是（ ） A. 4 B. -4 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答． 详解：∵-×(-4)=1, ∴的倒数是-4. 故选B． 点睛：此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法．注意：负数的倒数还是负数． 3. 如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果． 【详解】 故选：C 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可． 【详解】解：由x﹣2≥0，得x≥2， 由x+1＜0，得x＜﹣1， 所以不等式组无解， 故选B． 【点睛】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 5. 点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，先根据判断函数的增减性，再比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵， ∴在第一象限y随x的增大而减小， 又∵点和点都在直线上，且， ∴． 故选：A． 6. 如图，菱形中，对角线、交于点O，菱形周长为24，点P是边的中点，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，先求解，利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的周长为24， ∴，点O为的中点， ∵P是的中点，且, ∴． 故选A． 7. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人有人，银有两，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设客人有人，银有两， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（ ）m A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意，在中，米，为，利用三角函数求解． 【详解】解：在中， 米，为， （米）． 故选C． 9. 如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． 10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点； ∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意； B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意； C、D选项均不符合该种情况； 当时，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D ． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键； 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：， 故答案为： 13. 计算______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负指数幂的运算法则． 利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂都等于1，因此 ； 根据负整数指数幂法则，，因此； 所以原式． 故答案为． 14. 如图，在中，，是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N作直线，分别交于点E，F，连接，若的周长为，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图画的是垂直平分线，因此可得线段相等，证明四边形是菱形，然后求出对应底边和高即可求出面积． 【详解】由题可知，是线段的垂直平分线， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∵ ， ， ∴， 设，则， ∴在中， 即，， ． 故答案为： 【点睛】此题考查菱形和勾股定理，解题关键是先证明四边形是菱形，求面积即求出底和高即可，通过勾股定理列方程进行计算即可． 15. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：两边同时乘以得， 当时，， 所以原方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先化简分式，再把代入到化简后的结果计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ， 当时， 原式． 18. 如图1所示，西安灞河元朔大桥是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥，其设计理念以“千古一舟”为主题，寓意“舟行古今、跨越时代”．数学实践小组想用所学知识测量元朔大桥中一座桥塔的高度．组员走走设计了如下方案：如图2，点C 是桥面与桥塔的交点，走走在桥面上点D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，桥塔底部A 的俯角（）为，走走沿方向退至点E，测得桥塔顶部B的仰角（）为．经测量得米 ，．请帮走走求桥塔的高度． （结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【答案】64米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在中，，设，则，求出，再得出，得出，进而求出，再根据求出答案． 【详解】解：在中，， 设，则， 又∵， ∴， 在中，， 则， ∴， 解得， 在中，， ∴， ∴， 答：桥塔的高度约为64米． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 我市某中学为了充分提高学生参与“大课间”活动的积极性，校体育组针对“你愿意参加哪一种‘大课间’活动（从跳绳、呼啦圈、篮球、排球四项中选一项）”进行了抽样调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？ （2）补全频数分布折线统计图． （3）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （4）针对该校“大课间”活动，谈谈你的想法和建议． 【答案】（1）100名 （2） 补全频数分布折线统计图如下： （3） （4）根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场 【解析】 【分析】本题考查对折线统计图和扇形统计图的识图能力，从上面获取信息，扇形统计图表现的是部分占整体的多少，折线统计图提供每一种类型的具体数据从而求得解． （1）从图1可知喜欢呼啦圈的有20人，从图2知呼啦圈占20%，可求出总人数； （2）分别求出四种体育运动的人数，画出折线统计图就行； （3）先求出排球所占的百分比，然后360°×排球所占的百分比就是圆心角的度数； （4）根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场． 【小问1详解】 （名）， 答：一共调查了100名学生； 【小问2详解】 喜欢篮球人数为：（人）， 喜欢排球人数为（人）， 【小问3详解】 ， 答：喜欢排球所占的圆心角的度数是； 【小问4详解】 根据调查的情况发现喜欢篮球的人数最多，因此要多修建一些篮球场． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 21. 如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）． （1）求直线与双曲线的解析式． （2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标． 【答案】（1）y=﹣2x+1；（2）点P的坐标为（﹣，0）或（，0）． 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0)，根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2）， ∴m=﹣1． ∴双曲线的表达式为y=﹣． ∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上， ∴点B的坐标为（1，﹣1）． ∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1）， ∴，解得 ∴直线的表达式为y=﹣2x+1； （2）当y=﹣2x+1=0时，x=， ∴点C（，0）． 设点P的坐标为（x，0）， ∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1）， ∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2， 解得：x1=﹣，x2=． ∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ABP=3，得出． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）如图，连接OC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵∠BCD=∠BAC， ∴∠BCD=∠OCA， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90° ∴∠OCD=90° ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线 （2）阴影部分面积为 【解析】 【详解】【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积. （1）略 （2）设⊙O的半径为r， ∴AB=2r， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴OD=2r，∠COB=60° ∴r+2=2r， ∴r=2，∠AOC=120° ∴BC=2， ∴由勾股定理可知：AC=2， 易求S△AOC=×2×1= S扇形OAC=， ∴阴影部分面积为. 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 23. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的解析式． （2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标． （3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P(，)；（3）Q1(0，0)，Q2(9，0)，Q3(0，)． 【解析】 【分析】（1）先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值； （2）连接AD，交BC相交，交点即为所求点P，点满足到四点距离之和最小，先求出A、D点坐标，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标； （3）先根据坐标求出、、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后分为和三种情况求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ． 把代入得：， ， 将、代入得：，解得，． 抛物线的解析式为． （2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P， ∵，， ∴ 当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小． ∵点D是抛物线的顶点， ∴对称轴为，点D为， ∵点A、B抛物线与x轴交点， ∴点A为， 设的解析式为，则，解得：，． 的解析式为． 联立解析式得： 解得：， 点的坐标为． （3）又，3，， ，，． ， ． ，， ，．， ． 又， ． 当的坐标为时，． 如图所示：连接，过点作，交轴与点． 为直角三角形，， ． 又， ． ，即，解得：． ． 如图所示：连接，过点A作，交轴与点． 为直角三角形，， ． 又， ． ，即，解得：． ∴ ． 综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，分类讨论对以点为顶点的三角形与相似的对应关系进行分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中考试九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、试室号、班别、学校等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题：本大题10大题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”从环月轨道传回第一张月面照片时距地球公里．将公里用科学记数法表示应为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 2. 的倒数是（ ） A. 4 B. -4 C. D. 16 3. 如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，对角线、交于点O，菱形周长为24，点P是边的中点，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 7. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（ ）m A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. D. 8 10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____ 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为_____． 13. 计算______ 14. 如图，在中，，是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N作直线，分别交于点E，F，连接，若的周长为，则四边形的面积为______． 15. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图1所示，西安灞河元朔大桥是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥，其设计理念以“千古一舟”为主题，寓意“舟行古今、跨越时代”．数学实践小组想用所学知识测量元朔大桥中一座桥塔的高度．组员走走设计了如下方案：如图2，点C 是桥面与桥塔的交点，走走在桥面上点D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，桥塔底部A 的俯角（）为，走走沿方向退至点E，测得桥塔顶部B的仰角（）为．经测量得米 ，．请帮走走求桥塔的高度． （结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 我市某中学为了充分提高学生参与“大课间”活动的积极性，校体育组针对“你愿意参加哪一种‘大课间’活动（从跳绳、呼啦圈、篮球、排球四项中选一项）”进行了抽样调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？ （2）补全频数分布折线统计图． （3）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （4）针对该校“大课间”活动，谈谈你的想法和建议． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）． （1）求直线与双曲线的解析式． （2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积． 23. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的解析式． （2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标． （3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $