精品解析：河南省商丘市豫东名校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六～七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 4i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的减法及复数的有关概念求解. 【详解】依题意，，其虚部为. 故选：A 2. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以. 故选：D. 4. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，所以，即，判断的形状． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 5. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 则，所以， 所以. 故选：C. 6. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 7. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及和（差）角公式计算可得. 【详解】 ． 故选：B． 8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可的，再利用正弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基底的定义，逐项分析判断. 【详解】对于A，，A不可以； 对于B，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，B可以； 对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以； 对于D，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，D可以. 故选：BCD 10. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为实数 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断AD；设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义及复数模的运算求解判断BC. 【详解】对于A，取，满足，而虚数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，，B正确； 对于C，设，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：BC 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等列式求解. 【详解】设，则， 由，得，则，解得， 所以. 故选： 13. 已知角满足，若，则的值为__________． 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】由同角三角函数的商数关系，结合两角和与差的正弦公式，有，代入已知数据计算即可. 【详解】，又， 所以. 故答案为： 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及余弦定理，得 ，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知复数，且为纯虚数． （1）求m的值和； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算和纯虚数的定义求出，再根据复数的模的计算公式求出即可； （2）先根据复数的乘法运算求出，再根据复数的几何意义即可得解. 【小问1详解】 , 因为为纯虚数， 所以，解得， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出； （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值； （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 由，则， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由题可得，设与垂直的向量， 则，取，得，则， 所以，与向量共线的单位向量为， 因此，与垂直的单位向量的坐标或. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，定点即可求的解析式，进而求出单调递减区间； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的最值求解即可； 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 令， 解得， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 当时，， 所以． 若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以解得， 所以的取值范围是． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解. （2）由已知求出，再在中由余弦定理列式求出. （3）由已知结合正切函数的性质求出的范围，再用正弦定理求出的范围，进而用含的表达式表示并求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由点D是边BC上的一点，且，得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 在中，点E为AB的中点，， 由余弦定理得， 所以CE的取值范围是. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）若向量，满足，，求证：； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）3； （2）由，得， 则， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出夹角余弦，再利用新定义求解. （2）利用向量的夹角公式及新定义推理得证. （3）利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，，，得， 解得，，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，而，， 于是，， ，当且仅当，即时取等号； 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六～七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 4i 2. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为实数 C. D. 若，则 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则__________． 13. 已知角满足，若，则的值为__________． 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知复数，且为纯虚数． （1）求m的值和； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围． 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）若向量，满足，，求证：； （3）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $