精品解析：2025年广东省深圳市光明区中考数学二模试题

2025年初三学业水平调研测试 数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）． A. B. C. D. 2. 下图是小张在完成劳动课作业“为家人做一餐饭”时用到的电饭煲，该电饭煲的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 深度求索（）公司独立开发的智能助手，理论上可支持每秒1万亿次以上的浮点运算，1万亿用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 某次演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为．这组得分的众数是（ ）． A. 和 B. C. D. 5. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（ ）．（结果精确到） A. 4.9 B. 5.2 C. 6.5 D. 19.2 6. 已知二次函数为，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 10. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为______． 11. 如图，已知，，，则的度数为______度． 12. 如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为______． 13. 如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）计算：； （2）解方程： 15. 某校举办了跑操比赛，进入决赛的班级有一班，二班，三班，评委将从服装统一，口号响亮，跑操整齐三个方面进行打分，每项满分10分． （1）比赛开始前，三个班的学生代表用抽签确定比赛顺序，抽取后不放回，已知每个签除号码外其他都相同，那么三班第二个进场的概率为______； （2）三个班级的得分如下表．若将服装统一、口号响亮、跑操整齐这三项得分依次按，，的比例计算各班比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？写出必要的过程． 项目 得分 一班 二班 三班 服装统一 9.5 8 8.5 口号响亮 9 7 7 跑操整齐 7 9 8 16. 王老师准备购买A、B两种型号的圆珠笔．已知A型圆珠笔单价是B型圆珠笔单价的1.5倍．用60元钱单独购买B型圆珠笔可比单独购买A型圆珠笔多买5支． （1）求A、B两种型号的圆珠笔单价各是多少； （2）王老师想购买A、B两种型号的圆珠笔共计15支，要求A、B两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过80元．求A型圆珠笔最多可购买多少支？ 17. 如图，在中，，过的中点C． （1）求证：为的切线； （2）若的直径为，，求的长． 18. 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． （1）以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． （2）如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 19. 希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下． 1．如图1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合； 2．绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； 3．以P为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M； 5．连接，得到，这时． 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P，R，M为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点Q与O，M共线后，即可推导出．请你根据以上思路帮助小明完成证明过程． 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，Q（______），于是直线的解析式为______， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ，， 又， ，______， ． 【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明． 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合，另一边与函数交于点A，以A为圆心，为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段中点，连接，其中，，那么______． 20. 四边形为正方形，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接线段，． （1）如图1，当旋转角时，的度数为______度； （2）如图2，当旋转角由小变大时，的度数______（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； （3）如图3，延长，过点B作的延长线于点F，连接．求线段与的数量关系，并证明你的结论； （4）如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段扫过的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三学业水平调研测试 数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解题意是解题的关键． 根据具有相反意义的量分析即可． 【详解】如果零上记作，那么零下记作． 故选：D． 2. 下图是小张在完成劳动课作业“为家人做一餐饭”时用到的电饭煲，该电饭煲的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，电饭煲的图形为： 故选：B． 3. 深度求索（）公司独立开发的智能助手，理论上可支持每秒1万亿次以上的浮点运算，1万亿用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1． 【详解】解：1万亿， 故选：C． 4. 某次演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为．这组得分的众数是（ ）． A. 和 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数，一组数据中出现的次数最多的数是这组数据的众数． 根据众数的概念求解即可． 【详解】解：这组得分出现次数最多的数是和， 这组得分的众数是和， 故选：A． 5. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（ ）．（结果精确到） A. 4.9 B. 5.2 C. 6.5 D. 19.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦的定义，设梯子的长度为L，根据正弦的定义得出，即可得出当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：设梯子的长度为L， 根据正弦的定义得出：， 随着α的增大，增大，L减小， 故当时，L取得最小值为：， 故选：B 6. 已知二次函数为，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 7. 已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，先设设小的实数为，大的实数为，结合题意得，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】解：依题意，设小的实数为，大的实数为， ∵用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”， ∴ ． 故选：D． 8. 如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．画出示意图（见解析），利用解直角三角形分别求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图1，连接装置，连接装置与水平方向的夹角，， ∴每一层打开前的高度为， 如图2，连接装置，连接装置与水平方向的夹角（锐角），， ∴每一层打开后的高度为， ∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加了 ， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 10. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的两根为，，据此解答即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得，即则方程的另一个根为 故答案为： 11. 如图，已知，，，则的度数为______度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由，得，再结合三角形内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 12. 如图，矩形护栏中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接交第一根钢条于点，连接并延长交于点，若，则的长度为______． 【答案】15 【解析】 【分析】此题主要考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，首先利用矩形性质可以证明，，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，矩形护栏中，， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 13. 如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，设，利用勾股定理得到，代入数据解出 的值，解得到，，得出，由，得到四点共圆，记圆心为，且为的直径，利用外接圆的性质得到，分析可得当时，有最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，， ， 四点共圆，记圆心为，且为的直径， 如图，作于点，连接、， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时有最小值， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数的混合运算及实数的运算，解二元一次方程组，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． （1）分别根据二次根式的性质，绝对值的定义，特殊角的三角函数值以及零指数幂的定义计算即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 解：可得 将代入①，得 所以原方程组的解是． 15. 某校举办了跑操比赛，进入决赛的班级有一班，二班，三班，评委将从服装统一，口号响亮，跑操整齐三个方面进行打分，每项满分10分． （1）比赛开始前，三个班的学生代表用抽签确定比赛顺序，抽取后不放回，已知每个签除号码外其他都相同，那么三班第二个进场的概率为______； （2）三个班级的得分如下表．若将服装统一、口号响亮、跑操整齐这三项得分依次按，，的比例计算各班比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？写出必要的过程． 项目 得分 一班 二班 三班 服装统一 9.5 8 8.5 口号响亮 9 7 7 跑操整齐 7 9 8 【答案】（1） （2）二班得分最高 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，加权平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据不放回且只有三个班，故得三班第二个进场的概率为 （2）运用加权平均数分别算出每个班级的平均数，再比较大小，即可作答． 【小问1详解】 解：∵三个班的学生代表用抽签确定比赛顺序，抽取后不放回，已知每个签除号码外其他都相同， 那么三班进场的等可能结果有三种，分别是：第一个进场、第二个进场、第三个进场， ∴三班第二个进场的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：二班得分较高． 理由如下：一班得分为：， 二班得分为：， 三班得分为：， ， ∴二班得分最高． 16. 王老师准备购买A、B两种型号的圆珠笔．已知A型圆珠笔单价是B型圆珠笔单价的1.5倍．用60元钱单独购买B型圆珠笔可比单独购买A型圆珠笔多买5支． （1）求A、B两种型号的圆珠笔单价各是多少； （2）王老师想购买A、B两种型号的圆珠笔共计15支，要求A、B两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过80元．求A型圆珠笔最多可购买多少支？ 【答案】（1）A型圆珠笔单价为6元/支，B型圆珠笔单价为4元/支 （2）A型圆珠笔最多可购买10支 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设B型圆珠笔单价为x元/支，则A型圆珠笔单价为1.5x元/支，根据题意列出关于x的分式方程求解即可得出答案． （2）设A型圆珠笔购买a支，则B型圆珠笔可购买支，根据题意列出关于a的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设B型圆珠笔单价为x元/支，则A型圆珠笔单价为1.5x元/支， 根据题意可得： 解得： 经检验：是原方程的解． 则 答：A型圆珠笔单价为6元/支，B型圆珠笔单价为4元/支． 【小问2详解】 解：设A型圆珠笔购买a支，则B型圆珠笔可购买支 根据题意可得： 解得： 答：A型圆珠笔最多可购买10支． 17. 如图，在中，，过的中点C． （1）求证：为的切线； （2）若的直径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，点是的中点， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆的切线的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得，，再求出，然后利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，点是的中点，， ∴，， 又∵过的中点，的直径为， ∴， ∴在中，． 18. 在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． （1）以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． （2）如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】（1） 解：，， ， ， 解得：，（舍去）； （2） 如图所示：点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下． 1．如图1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合； 2．绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； 3．以P为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线交于点M； 5．连接，得到，这时． 【探究】小明在探究该方法时发现，先以P，R，M为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点Q与O，M共线后，即可推导出．请你根据以上思路帮助小明完成证明过程． 证明：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，Q（______），于是直线的解析式为______， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ，， 又， ，______， ． 【拓展】小明进一步发现也可以将任意锐角三等分，请证明． 【应用】如图2，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，角的一边与x轴正方向重合，另一边与函数交于点A，以A为圆心，为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段中点，连接，其中，，那么______． 【答案】[探究]，，； [拓展]证明：如图2，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ， ， 又， ， ， ； [应用]8 【解析】 【分析】[探究]根据小明的探究思路完成填空即可； [拓展]类似[探究]方法进行证明即可； [应用] 根据等边对等角和三角形内角和定理，可求出，由[拓展]可求：，则，过A作于M，于N，根据三线合一的性质求出，在中，根据余弦的定义可求出，在中，根据正弦的定义可求出，根据余弦的定义可求出，则求出点A的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】[探究]解：如图1，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线交于点Q， ，，， ∴四边形为矩形． 设点，，则，， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ， 点Q在直线上； 连接交于点N，则N为和的中点， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：，，； [拓展]略 [应用]解：P为中点，， ， 又， ， 由[拓展]知： ， ， 过A作于M，于N， ，， ， 在中，， 在中，，， ， 函数经过点A， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，明确题意，运用类比的方法求解是解题的关键． 20. 四边形为正方形，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接线段，． （1）如图1，当旋转角时，的度数为______度； （2）如图2，当旋转角由小变大时，的度数______（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； （3）如图3，延长，过点B作的延长线于点F，连接．求线段与的数量关系，并证明你的结论； （4）如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段扫过的面积． 【答案】（1）135 （2） 的度数不变，理由如下： 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：不变． （3） ， 证明：如图，连接，取的中点为点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由上已证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，即， ∴点在以点为圆心、长为直径的圆上， ∵， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得，求出，由此即可得； （3）连接，取的中点为点，先根据正方形的性质可得，，从而可得，再证出点都在上，根据圆周角定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得； （4）连接，，取的中点为点，先得出当旋转角从旋转到，线段扫过的面积为弓形的面积，等于扇形的面积减去的面积，再利用正方形的性质、勾股定理求出，然后利用扇形和三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：135． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，连接，，取的中点为点， 由（3）已得：点在以点为圆心、长为直径的圆上， ∴当旋转角从旋转到，线段扫过的面积为弓形的面积，等于扇形的面积减去的面积， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∴线段扫过的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握旋转的性质和圆周角定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $