精品解析：2025年浙江省杭州市拱墅区中考一模数学试卷

2025年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级． 3．答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某同学家的冰箱有冷藏室、零度保鲜室和冷冻室三层，分别设置温度为，和．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据温差定义高温减去低温，列式计算即可． 本题考查了温差的计算，熟练掌握有理数的减法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 2. 近年来，人工智能大模型的参数量飞速增长．某大模型的参数量约为175000000000个，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 3. 若分式的值为0，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据 且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故 且， 解得 ， 故选：A． 4. 若是锐角三角形，且，则可能的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵ 是锐角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 5. 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可求得答案． 【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 6. 如图， 是的直径，弦 与 交于点E，连接 ，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 ，根据 是的直径，得到，结合圆周角定理，得到，于是，解答即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接 ， ∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质解答即可． 【详解】解：A. 若，时，则 ，选项变形错误，故本选项不符合题意； B. 若，则，正确，故本选项符合题意； C. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； D. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理，得，根据线段的垂直平分线性质解答即可． 本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1，根据勾股定理，得， ， 故是 的垂直平分线，也是等腰三角形的对称轴， ，不在 的垂直平分线上， 同理可证，，都不在 的垂直平分线上， 故选：C． 9. 反比例函数的图象上有，，三点，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，计算如下：，，，于是，结合性质和m的符号分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，得：，，， 故， 当或时，无法比较； 当时，，得根据分子相同，分母大的反而小， 得； 当时，，根据分子相同，分母大的反而小， 得， 故 故； 故选：D． 10. 如图，矩形 的对角线交于点 ，线段不经过点 ，且，分别与边交于点G，H，，连接 ．若，，点 在线段 的垂直平分线上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．求得，判断点共圆，利用圆周角定理证明，据此求解即可． 【详解】解：连接，作直线于点 ， ∵矩形 ， ∴，直线 垂直平分， ∵， ∴四边形是矩形，直线 垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点 在线段 的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 12. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据合并同类项的基本计算解答即可． 本题考查了合并同类项，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米），他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米，若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择_______（填“甲”“乙”“丙”中的一个）． 成绩（米） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80 乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84 丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查方差．根据方差的定义解答即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小． 【详解】解：∵甲的成绩在2.80至2.95之间波动，乙的成绩在2.83至2.88之间波动，丙的成绩在2.70至2.90之间波动， ∴乙的方差最小，成绩最稳定， ∴应选择乙． 故答案为：乙． 14. 若一次函数的图象过点，，其中，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征．先把两个点的坐标代入解析式可求出 ． 【详解】解：把，，其中，代入得， ， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，， 是的角平分线，点E在 上，过点E作，交 于点F．若，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识．作于点H，则，可根据证明，得，求得，则，由于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H，则， ∵ 是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点E， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在直角坐标系中，设二次函数（m，n为实数），若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点，点都在函数y的图象上，得到的表达式，作差解答即可． 本题考查了函数的性质，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，点都在函数y的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据计算解答即可． 本题考查了有理数的乘方，绝对值，算术平方根，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：． 18. 解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】 ， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 去分母得， 移项合并得， 解得． 19. 如图，在中，， ， 分别是边 上的高线和中线． （1）若，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵ 是边 上的中线， ∴． ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，高线，中线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得，，结合解答即可． （2）根据 是边 上的中线，得到．于是，代换解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 略 20. 某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟． 某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表 组别（分钟） 频数 0~20 32 20~40 48 40~60 60 60~80 80~100 20 （1）求a的值，并补全频数直方图． （2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由． 【答案】（1） ， 补全的频数分布直方图如下所示， （2） 这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组． 理由：∵，，位于中间两个数是第100与101两个数， ∴这200位居民每日平均锻炼时间的中位数在40～60这一组． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a的值，然后将频数分布直方图补充完整即可； （2）先写出中位数所在的组别，然后根据频数分布表中的数据，通过计算说明即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 21. 如图，直线，连接 ，作的平分线，交 于点C． （1）求证：． （2）圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法． 【答案】（1） 证明：∵, ∴， ∵的平分线是， ∴， ∴， ∴． （2） 圆圆的做法，不能唯一确定四边形，故无法证明. 正确的做法如下：作的平分线 ，交 于点E，交于点D． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义，证明即可． （2）不能证明是菱形，正确做法是：作的平分线 ，交于点D． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：圆圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明. 正确的做法如下：作的平分线 ，交 于点E，交于点D． 证明：∵, ∴， ∵的平分线与的平分线相交于E， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴直线垂直平分线线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，菱形的判定，熟练掌握性质是解题的关键． 22. 某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（）的函数关系如图所示．已知投放纸张超过后，奖励积分为25分/． （1）求投放塑料的奖励积分． （2）求a的值． （3）若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值． 【答案】（1）投放塑料的奖励积分为220分； （2）； （3）m的值为或． 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，理解题意、从图象中获得必要的数学信息是解题的关键． （1）求出投放塑料超过后每千克的奖励积分，从而计算投放塑料的奖励积分即可； （2）根据题意列关于a的方程并求解即可； （3）按照m不同的取值范围，根据题意列关于m的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：投放塑料超过后，奖励积分为（分/）， （分）． 答：投放塑料的奖励积分为220分； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问3详解】 解：投放纸张不超过，奖励积分为（分）， 投放塑料不超过，奖励积分为（分）， 当时，得， 解得（舍去）， 当时，得， 解得， 当时，得， 解得， ∴m的值为或． 23. 在直角坐标系中，设二次函数，记为M，为N． （1）若 ，， ①求函数y的图象的对称轴； ②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值． （2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】（1）（1）①；②， （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据 ，，对称轴为直线，解答即可； ②函数图象顶点横坐标为对称轴的值即时，，． （2）根若M，N的值互为相反数，得到，解得或． 【小问1详解】 ①解：根据 ，， 故对称轴为直线； ②函数图象顶点横坐标为对称轴的值即时， ， ． 【小问2详解】 解：根若M，N的值互为相反数， 得到， 解得或． 【点睛】本题考查了求抛物线的对称轴，求代数式的值，互为相反数的应用，解方程，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 24. 如图，点 和点分别是正方形 和正方形对角线的交点，边且过点 ，与边交于点E，与边交于点F，连接．已知，． （1）求证：重叠部分的四边形是矩形． （2）若，求a的值． （3）若正方形 和正方形分别绕点O和点顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形边长． 【答案】（1） 证明：∵正方形 和正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是矩形； （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）证明 ，即可得到四边形是矩形； （2）作 于点 ，证明，求得，证明 ，求得 ，再利用三角函数的定义即可求解； （3）重叠部分的四边形恰好为正方形，则正方形 和正方形的对角线重合，得到点共线，结合（2）的结论，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、、，作 于点 ， ∵点 是正方形 对角线的交点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形对角线的交点， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作 于点 ， 由（2）知 ， ∵， ∴ ， ∵点是正方形对角线的交点， ∴正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴，， ∵重叠部分的四边形恰好为正方形， ∴正方形 和正方形的对角线重合， ∴点共线， 如图，重叠部分的四边形的对角线为， ∴， ∴， ∴重叠部分的四边形的边长． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级． 3．答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某同学家的冰箱有冷藏室、零度保鲜室和冷冻室三层，分别设置温度为，和．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，人工智能大模型的参数量飞速增长．某大模型的参数量约为175000000000个，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 若 是锐角三角形，且，则可能的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是 的直径，弦 与 交于点E，连接 ， ．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上， 的对称轴经过格点（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数的图象上有，，三点，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，矩形 的对角线交于点 ，线段不经过点 ，且，分别与边交于点G，H，，连接 ．若，，点 在线段 的垂直平分线上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：_____． 12. 化简：_______． 13. 下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米），他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米，若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择_______（填“甲”“乙”“丙”中的一个）． 成绩（米） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80 乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84 丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85 14. 若一次函数的图象过点，，其中，则_______． 15. 如图，在 中，， 是 的角平分线，点E在 上，过点E作，交 于点F．若，，，则_______． 16. 在直角坐标系中，设二次函数（m，n为实数），若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是_______． 三、解答题：本题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 19. 如图，在 中，， ， 分别是边 上的高线和中线． （1）若，求的度数． （2）求证：． 20. 某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟． 某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表 组别（分钟） 频数 0~20 32 20~40 48 40~60 60 60~80 80~100 20 （1）求a的值，并补全频数直方图． （2）写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由． 21. 如图，直线，连接 ，作的平分线，交 于点C． （1）求证：． （2）圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法． 22. 某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（）的函数关系如图所示．已知投放纸张超过后，奖励积分为25分/． （1）求投放塑料的奖励积分． （2）求a的值． （3）若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值． 23. 在直角坐标系中，设二次函数，记为M，为N． （1）若 ，， ①求函数y的图象的对称轴； ②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值． （2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）． 24. 如图，点 和点分别是正方形 和正方形对角线的交点，边且过点 ，与边交于点E，与边交于点F，连接．已知，． （1）求证：重叠部分的四边形是矩形． （2）若，求a的值． （3）若正方形 和正方形分别绕点O和点顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $