精品解析：2025年山西省晋中市平遥县中考一模数学试卷

平遥县2025年四月学业水平质量监测试题 九年级数学 （满分：120分时间：120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在太阳光线直射下，中国天宫空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下．若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，解题关键是正确理解正负数的意义．正负数是一对具有相反意义的量，若零上用“”表示，那么零下就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：零上记作， 零下记作． 故选：A． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，同底数幂的乘法和幂的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据多项式除以单项式运算法则，同底数幂的乘法和幂的乘方计算公式，以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 4. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 5. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 为进一步推动书香校园建设，不断提升学生的人文素养，营造“以书育人”的良好氛围，育才中学举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 请根据这30名同学阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是（　　） A. 样本为30名同学 B. 众数是12本 C. 中位数是9本 D. 平均数是8.5本 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了众数、中位数、平均数，根据众数、中位数、平均数的定义求解即可． 【详解】解：A．样本为本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，故A选项不符合题意； B．样本数据的众数为9，故B选项不符合题意； C．样本数据的中位数是，故C选项符合题意； D．平均数为（本），故D选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 8. 2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（ ） A. 220元 B. 260元 C. 300元 D. 320元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键． 设该服装每件标价是x元，根据题意，得，求解即可． 【详解】解：设该服装每件标价是x元，根据题意，得 ， 解得， 故选C． 9. 如图，一次函数的图象经过平面直角坐标系中四个点：，，，中的任意两个．则符合条件的k的最大值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本图考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，根据题意，当经过两点时，最大，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】解：当，越大，则直线与轴的夹角越大， ∴当经过两点时，最大， 将，，代入 解得： 故选：B． 10. 如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点的对应点恰好在的中点处，与交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积公式、三角函数及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式、三角函数及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，， ∴， 由平移可知：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 二、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】（2a＋3b）（y﹣z） 【解析】 【分析】先调整符号，然后提公因式即可． 【详解】解：， =， =． 故答案为． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键． 12. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 【答案】100 【解析】 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 在中，，，，点D是斜边的中点，过点B作交的延长线点E，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，交延长线于点G，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质求出，易证是等边三角形，得到，求出，，求出，进而求出，证明，推出，求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作，交延长线于点G， ∵在中，，，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，共75分） 16. （1） （2）解方程： 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】（1）根据有理数乘方，开平方，零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则化简各项，再合并各项，即可解题； （2）根据解分式方程步骤求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 检验：把代入，即是原方程的增根， 原方程无解． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解分式方程，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 17. 如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】作∠BMT＝∠A，射线MT交AC于点P，点P即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 18. 某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 （1）分别求出表中、、的值； （2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 【答案】（1），20， （2）估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、树状图法求概率及简单概率公式等知识，熟练掌握条形统计图相关知识及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． （1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案； （2）根据及格的人数，补全条形统计图；再由不及格人数占比估计总体即可得到答案； （3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：这次调查的人数为：（人）， ，，， 故答案为：，20，； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如下： 则（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人； 【小问3详解】 解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙共6种， ∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为． 19. 为响应《2025年中国低碳环保发展行动计划》，某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如下表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 （1）设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； （2）若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 【答案】（1） （2）商场购进A型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1520元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键． （1）由商场购进A型台灯x盏，则购进B型台灯为盏，然后根据题意列出函数解析式即可； （2）根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 【小问1详解】 解：商场购进A型台灯x盏，则购进B型台灯为盏， 由题意可得：， 所以y与之间的函数关系式：； 【小问2详解】 解：型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值为（元），此时． 答：商场购进A型台灯16盏，型台灯64盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1520元． 20. 为了加强学校之间区域教学交流，通过课堂实录进行线上教研探讨，如图1，是学校购进的某款线上教学设备，其由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角改善拍摄效果． （1）当悬臂与桌面l平行时，__________； （2）已知悬臂与连杆的夹角的度数约为时，拍摄效果较好，请你探究此时摄像头点D到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键； （1）作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点C作于F，过点 B作于N，过点作于M，过D作于E，设与交于点，则，，，，，根据三角函数的定义分别求出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作， ，， ， ， ， ，悬臂与桌面l平行时， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于F，过点 B作于N，过点作于M，过D作于E，设与交于点，则，，，，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 摄像头点到桌面的距离为． 21. 阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角； 任务二： 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：3 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：略 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 22. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 23. 综合与实践 同学们学习了矩形的有关性质和判定定理，在课后数学实践活动中，李老师引导学生利用图形变换进行了进一步的探究． 【独立思考】：（1）如图1：四边形是矩形，且，对角线、交于点，求证：是等边三角形． 【操作探究】：（2）智慧小组进行了以下探究活动：如图2，点E为AB的中点，点F为射线上的一动点，连接EF，如图所示在EF上方构建矩形EFGH，使，和相交于点，连接、，当点F运动到点上方且时，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】：（3）创新小组进行操作时，发现了一些结论：如图3，若点P为的中点，点为矩形EFGH的对角线的交点，点O为矩形ABCD的对角线的交点，连接EK、KP、EP、OE、OF，在点F运动的过程中，发现的比值是一个定值，请你直接写出的比值． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）结论：四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识点，解题关键是点作，垂足为，证明． （1）根据矩形性质可得，由边长比利用三角函数求出即可证明结论． （2）由可得，从而证明，又由中位线定理可得，，进而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论； （3）点作，垂足为，连接，，可得，进而可得，再证明，可得，由此即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，垂足为，连接，， 由（2）可知：四边形为矩形； ，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 连接， ∵点K为矩形EFGH的对角线的交点， ∴、、三点共线，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平遥县2025年四月学业水平质量监测试题 九年级数学 （满分：120分时间：120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在太阳光线直射下，中国天宫空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下．若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A. B. C. D. 6. 为进一步推动书香校园建设，不断提升学生的人文素养，营造“以书育人”的良好氛围，育才中学举行了“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 请根据这30名同学阅读课外书的数量，判断下列说法正确的是（　　） A. 样本为30名同学 B. 众数是12本 C. 中位数是9本 D. 平均数是8.5本 7. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（ ） A. 220元 B. 260元 C. 300元 D. 320元 9. 如图，一次函数的图象经过平面直角坐标系中四个点：，，，中的任意两个．则符合条件的k的最大值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 10. 如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点的对应点恰好在的中点处，与交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 15. 在中，，，，点D是斜边的中点，过点B作交的延长线点E，连接，则__________． 三、解答题：（本大题8个小题，共75分） 16. （1） （2）解方程： 17. 如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 （1）分别求出表中、、的值； （2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 19. 为响应《2025年中国低碳环保发展行动计划》，某商场计划购进A、B两种新型节能灯共80盏，这两种灯的进价、售价如下表： 类型 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 （1）设商场购进A型灯x盏，销售完这批灯总利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； （2）若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元？ 20. 为了加强学校之间区域教学交流，通过课堂实录进行线上教研探讨，如图1，是学校购进的某款线上教学设备，其由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角改善拍摄效果． （1）当悬臂与桌面l平行时，__________； （2）已知悬臂与连杆的夹角的度数约为时，拍摄效果较好，请你探究此时摄像头点D到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：，，） 21. 阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 22. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 23. 综合与实践 同学们学习了矩形的有关性质和判定定理，在课后数学实践活动中，李老师引导学生利用图形变换进行了进一步的探究． 【独立思考】：（1）如图1：四边形是矩形，且，对角线、交于点，求证：是等边三角形． 【操作探究】：（2）智慧小组进行了以下探究活动：如图2，点E为AB的中点，点F为射线上的一动点，连接EF，如图所示在EF上方构建矩形EFGH，使，和相交于点，连接、，当点F运动到点上方且时，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题解决】：（3）创新小组进行操作时，发现了一些结论：如图3，若点P为的中点，点为矩形EFGH的对角线的交点，点O为矩形ABCD的对角线的交点，连接EK、KP、EP、OE、OF，在点F运动的过程中，发现的比值是一个定值，请你直接写出的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $