浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一下学期数学周末练8

杭州二中2024级高一数学周末练8参考答案 CCCB DCCB 9．AC 10．ACD 【详解】对于A选项，如图，由，，，为正三角形 可得为正方形，故，故A正确； 对于B选项，取中点为，在，中， 由正三角形的性质可得，，，平面平面， 平面，平面，则为二面角的平面角， 由，，得，故B错误； 对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱柱，连接，交点为正方形的中心，则平面， 即为直线与平面所成的角，由，， 得，故C正确； 对于D选项，连接，在正方形可知，， 平面，平面， ，与相交，且平面， 平面 即为三棱锥的高， 设点E到平面ABF的距离为， 由几何关系可求得，，，， 由可得，， 代入数据解得，故D正确． 11．ABD 【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF的体积， 所以四面体的体积的取值范围为，B正确； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，，所以的取值范围为，D正确. 12． 13． 【详解】点在棱长为2的正方体表面运动，且， 则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形， 分别取棱，，，，，的中点，，，，，， 则， 因此四边形均为棱长为的菱形，所以 平面， 因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图， 当点在线段上时，若点为线段中点，有 ， 于是点为线段上任意一点，， 当点在线段上时，为钝角， 则，即， 当点在线段上时，， 为钝角，则，即， 当点在线段上时，由， 边上的高为，此时， 由对称性知，当点在折线上时，， 所以线段的长的取值范围是． 14． 【详解】设的外接圆的圆心为，半径为，设的中点为， 外接球的球心为，连接，则平面，， 因为平面，故，故四点共面， 而平面，故，故， 故四边形为矩形. 而，故，故. 在中，， 故，故，故， 故， 因为平面，故为直线与平面所成的角， 当长度最小时，最大值，此时，故. 15．【详解】（1）∵，， 又平面ACD，平面ACD，平面ACD， ∵平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，， 又，， ∴，即： （2）∵，且，， ∴，∴四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，，平面BCD， 平面平面BCD＝BD，∴，∴EH，FG，BD三线共点． 16．【详解】（1）证明：因为， 所以. 因为，所以. 因为，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以//. 因为平面平面，所以//平面. （2）因为的面积， 所以几何体的积， 所以. 因为平面平面，则，又因为， 又平面， 故平面，则， 所以的面积为， 所以三棱锥的侧面积为. 17．【详解】（1）证明：连接,因,为的中点，故. ∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，因为平面， ∴， ∵，，平面，∴平面， ∴，又∵，，平面， 故平面，所以． （2）在矩形中，由（1）得，所以，故． ∵侧面底面，侧面底面， 因为底面为矩形，所以，平面， ∴平面，平面，， ∴为直线与平面所成的角， ∴=，=，， 连接，则，所以平面， ∴为四棱锥的的高， 在中，，，∴， ∴ 18．【详解】解：证明：在图中，因为，分别为矩形的边，上的点， 且， 所以，在图中，有，． 又因为直线，是平面内的两条相交直线， 所以平面． 又平面， 所以平面平面AMND． 据题设分析知， 又在图中,有，，，， 所以在图中,有，． 所以由余弦定理得， 所以， 所以 过点作，垂足为点，连接， 平面平面，平面平面， 所以平面， 则为直线与平面所成的角． 又，， 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为. 19．【详解】（1）证明：取中点G，连接FG、CG， ∵分别为的中点， ∴在三棱柱中，，且， ∴四边形FECG为平行四边形， ∴. ∵面，面， ∴面； （2）平面平面，平面平面=， 又侧面是边长为2的正方形， 则， ∴面，面， ∵面，∴. 取中点I，作于J，连接FI，IE，FJ， 则平面，， ∵平面，∴， ∵平面FIJ，∴平面FIJ， ∵平面FIJ，∴，∴为二面角的平面角的补角. ∵面，∴直线与平面的距离即为E到平面的距离， 作于，由平面平面，平面平面=， 则EK即为E到平面的距离，即直线与平面的距离. 选①，∵面，∴为直线与平面所成角，即，∴. （i）在正中，，在中，，故二面角的余弦值为； （ii） 在正中，，故直线与平面的距离为； 选②，，为的中点，∴，∵面，∴，即，又，∴，∴，解得，∴，. （i）在中，，故在中，，故二面角的余弦值为； （ii）在中，，故直线与平面的距离为1； 选③， 取AB中点H，，连接OH，则O为中点，则且，由，∴，则，又，∴，∴，. 此时条件③与条件②一致，故（i）二面角的余弦值为；（ii）直线与平面的距离为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州二中2024级高一数学周末练8 一、单选题 1．如图，用斜二测画法画出水平放置的四边形的直观图为四边形，已知，，则（    ） A． B． C． D．2 2．如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 4．在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（     ） A． B． C． D． 6．在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．棱长为的正四面体的4个顶点都在球的表面上，、分别为棱，的中点，则经过，两点的球的截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得，都垂直于； ②存在平面，使得，都平行于； ③存在直线，直线，使得； ④存在异面直线，，使得，，，． 其中，可以判定与平行的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 10．如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则（    ） A． B．平面平面FAB C．直线EA与平面ABCD所成的角为 D．点E到平面ABF的距离为 11．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是（    ） A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体的体积的取值范围为 C．平面截得球的截面面积最小值为 D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 三、填空题 12．已知四面体的四个顶点在同一个球的球面上，且，，球心恰好在棱上，该球的表面积为，则四面体的体积为 . 13．点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是 . 14．已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时， . 杭州二中2024级高一数学周末练8答题卷 班级__________姓名__________学号__________得分__________ 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、填空题 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 四、解答题 15．空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH. (1)求； (2)求证：EH，FG，BD三线共点． 16．如图，平面. （1）证明：//平面. （2）若几何体的体积为10，求三棱锥的侧面积． 17．如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，. （1）求证：； （2）若与平面所成的角为，，求四棱锥的的体积. 18．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的点，且，，现将四边形沿折起得图，使得 求证：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形， 分别为的中点. (1)证明：面 (2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题. ①直线与平面所成角的大小为；②三棱锥的体积为；③. 若选择条件___________. 求（i）求二面角的余弦值；（ii）求直线与平面的距离. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$