精品解析：2025年浙江省杭州市西湖区九年级中考一模数学试卷

2025年初中毕业生学业水平模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 如图，一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. “杭州六小龙”—宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新．据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重，远超全国平均水平．数据“6305亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 ，延长交 于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ） A. 8株 B. 9株 C. 10株 D. 11株 7. 已知是实数，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为 人，物价为 钱，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 如图，在正方形 中，点 为 的中点，点 在以为直径的半圆上，，延长分别交 于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______；______． 12. 分解因式：x2－9＝______． 13. 有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4．从中随机抽取一张，记下编号后放回，再随机抽取一张记下编号，则两次抽到的编号都是偶数的概率等于______． 14. 如图， 的切线 与直径 的延长线交于点 ，点为切点，连接．若，则的度数为______°． 15. 已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点 的横坐标是，则点的横坐标是______． 16. 如图是一张菱形纸片 ，点E在 边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分 ，则______°，_________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以 ． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是 ． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 18. 某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 分 9分 9分 八年级 8.8分 9分 分 （1）根据以上信息填空： ， ； （2）把条形统计图补充完整； （3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由． 19. 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ，点 ， 分别为 ，的中点，连接， ，， ． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 20. 在直角坐标系中，设函数与函数（，， 是常数，）的图象交于点，． （1）求函数，的表达式． （2）当时，比较与的大小．（直接写出结果） （3）若点 在函数的图象上，将点 先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点 ，点 恰好落在函数的图象上，求点 的坐标． 21. 如图，在 中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与 边交于点E，F，，连接， ，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：． （3）若 ，，求线段 的长． 22. 综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球 的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点 ．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度 ．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，， 于点 ，用含和的代数式表示 ． 解：设，因为， 所以． 同理，因为， 所以． 因为， 解得． 即可求得 的长． 23. 设二次函数（为常数，）．已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 … … 1 … （1）若， ， ①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标； ②写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而增大； （2）当，时，求 的取值范围． 24. 如图，矩形 内接于 ， 是对角线，点 在上（不与点重合），连接分别交于点 ， ，于点 ，，连接交 于点． （1）如图1，当点 为的中点，时， ①求证：． ②求的长． （2）如图2，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生学业水平模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：， ， ∴比小的数是 ． 故选：D． 2. 如图，一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查组合体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为， 故选D． 3. “杭州六小龙”—宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新．据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重，远超全国平均水平．数据“6305亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：6305亿， 故选：C． 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：和不是同类项，不能计算，故选项A错误； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误． 故选B． 5. 如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 ，延长交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再应用平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 6. 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ） A. 8株 B. 9株 C. 10株 D. 11株 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数，先根据平均数求出5各小组植树的总数，进而求出另外一组的植树数，然后根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵5个小组参加植树活动，平均每组植树10株， ∴5各小组植树的总数为株， ∵其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株， ∴另外一组植树的数量为株， 把这5各小组植树的数量按照从小到大排序为：8株， 8株，9株，12株，13株， ∴中位数为9株， 故选：B． 7. 已知是实数，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若 ，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 8. 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行列式即可． 【详解】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱， 即， 故选A． 9. 已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求得，再根据各选项求解即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， A、若，，则，，说法正确，本选项符合题意； B、若，，则，正负无法确定，则不一定成立，本选项不符合题意； C、若，，则，则，原说法错误，本选项不符合题意； D、若，，则，正负无法确定，则不一定成立，本选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，交于点，设的中点为 ，连接，设正方形的边长为，利用全等三角形的性质证明，，再证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，，，交于点，设的中点为 ，连接，设正方形的边长为， 点为的中点， ， ， ， 是直径， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 垂直平分线段， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，三角函数解三角形，熟练掌握以上性质和定理，灵活应用是解题的关键． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______；______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，二次根式的化简以及合并同类二次根式，根据有理数的乘方，二次根式的化简以及合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：4，． 12. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 13. 有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4．从中随机抽取一张，记下编号后放回，再随机抽取一张记下编号，则两次抽到的编号都是偶数的概率等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的编号都是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 2 3 4 2 2，2 2，3 2，4 3 3，2 3，3 3，4 4 4，2 4，3 4，4 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有：2，2；2，4；4，2；4，4；共4种， ∴两次抽到的编号都是偶数的概率为． 故答案为：． 14. 如图， 的切线 与直径 的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，先根据切线的性质求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵ 是 的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案：35． 15. 已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．将两个函数进行联立，根据根与系数的关系进行计算． 【详解】解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点， ， 即， 故， 由于点的横坐标是， 故点的横坐标是． 故答案为： ． 16. 如图是一张菱形纸片，点E在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分 ，则______°，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设 ，交于点J．设．利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设，，则，利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解． 【详解】解：设 ，交于点J．设． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分 ， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴负值舍去． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了翻折变换，角平分线的定义，菱形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以 ． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是 ． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】 解：芳芳的解答过程有错误， 在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误； 在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误； 正确解答如下： 由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式的性质、乘法的分配律等逐步检查即可发现芳芳的错误，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】略 18. 某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 分 9分 9分 八年级 8.8分 9分 分 （1）根据以上信息填空： ， ； （2）把条形统计图补充完整； （3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1），9 （2） 条形统计图补充如图， （3）原说法不正确； 理由： 抽取的样本不一定能代表整体人数的情况；且七年级和八年级整体人数未知． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）先计算出七年级各等级的人数，利用加权平均的计算方法可求得的值；再求得八年级C等级人数，据此补全图形即可； （2）根据题意补充条形统计图即可求解； （3）根据样本估计总体即可回答 【小问1详解】 解：七年级A等级人数人， B等级人数人， C等级人数人， D等级人数人， ∴； 八年级C等级人数人， B等级出现的人数最多，故众数为9分， 故答案为：，9； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点 ，点，分别为，的中点，连接，，， ． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，对角线，交于点 ， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 20. 在直角坐标系中，设函数与函数（，， 是常数，）的图象交于点，． （1）求函数，的表达式． （2）当时，比较与的大小．（直接写出结果） （3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）当时，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）画出图象，利用数形结合解答即可； （3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标． 【小问1详解】 解：∵两个函数图象交于点，． ∴, ∴，， ∴， ∵点，在直线图象上， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：两个函数图象如图所示， 由图可知，当时，； 【小问3详解】 解：设点C坐标为， ∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点， ∴， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或． 21. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接， ，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求证：． （3）若 ，，求线段 的长． 【答案】（1）解：为等边三角形，理由如下： 由作法得， ， 为等边三角形； （2）证明：为等边三角形， ， ， ， ， ， ，而， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）利用有一个角为 度的等腰三角形为等边三角形可判定 为等边三角形． （2）先根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （3）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出 的长，解得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 22. 综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，， 于点，用含和的代数式表示． 解：设，因为， 所以． 同理，因为， 所以． 因为， 解得． 即可求得的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设，根据进行计算即可； （2）根据三角函数进行化简计算即可． 【详解】解：（1） 设， ， 解得， 故的高度为； （2）解：设，因为， 所以． 同理，因为， 所以． 因为， 解得． 即可求得的长． 故答案为：①；②． 23. 设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 … … 1 … （1）若， ， ①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； （2）当，时，求的取值范围． 【答案】（1）①二次函数的解析式为，该函数图象的顶点坐标为；②当时，随的增大而增大； （2）． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象性质，不等式的性质，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键． （1）①将，代入，列得二元一次方程组，求解即可； ②根据二次函数的性质求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，再将代入，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ， ∴将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②∵函数图象的顶点坐标为，且， ∴当时，随的增大而增大； 【小问2详解】 解：∵，∴将代入， 得， ∴， 将代入 ，得， 解得，即， 将代入， 得， 即． 24. 如图，矩形内接于 ，是对角线，点在上（不与点重合），连接分别交于点， ，于点，，连接交于点． （1）如图1，当点为的中点，时， ①求证：． ②求的长． （2）如图2，若，求的值． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质、余角的性质等可证得，根据圆周角定理可得出，然后等量代换即可得证； ②连接， ，根据圆周角定理的推论可得、是 的直径，则 是中点， 也是中点，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，结合①中，以及，得出，则可求出，得出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，则，根据弧、圆心角的关系可求出，则，最根据弧长公式求解即可； （2）根据，可设，则，，，根据勾股定理求出，结合（1）中，求出，，证明，可求出，在中求出，过P作于M，根据等角的正切值相等可得出，故设，则，在中，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，结合，可求出，则可求出，，，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：连接， ， ∵， ∴是 的直径， ∴ 是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是 的直径， ∴ 是中点， ∵，， ∴， ∴， 由①知：， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ， ，， ∵， ∴设，则，， ∴， 由（1）知∶ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 过P作于M， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及推论，弧、圆心角的关系，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识，并正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $