18.1.2 平行四边形的判定 同步讲解 2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.1.2 平行四边形的判定 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】平行四边形的判定 3 【题型2】三角形的中位线及其定理 6 【题型3】平行四边形性质与判定的综合 10 【题型4】直角坐标系中的平行四边形 16 【题型5】构造平行四边形证明线段的倍分问题 20 【题型6】动点问题 25 1．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．三角形的中位线及其定理 （1）三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线（任意一个三角形都有三条中位线）． （2）三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 1．平行四边形的判定 （1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据． （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形． （3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形． （4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形． 2．三角形的中位线及其定理 （1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据． （2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．学-科网 （3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点． 【题型1】平行四边形的判定 例1 （2025春•江阳区校级期中）如图，，，，四点在同一条直线上，，线段与线段平行，．求证：四边形是平行四边形． 【分析】连接，，，交于．只要证明，即可解决问题． 【解答】证明：连接，，，交于． ，． 四边形为平行四边形， ，， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ◄ 点拨 ► 平行四边形的判定方法有： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【变式1】　（2025•秦都区一模）如图，在四边形中，已知点，在线段上，，，．求证：四边形为平行四边形． 【变式2】　（2025•响水县一模）如图，在四边形中，，．是边上一点，且． 求证：四边形是平行四边形． 【变式3】　（2025春•溧阳市校级月考）如图，在四边形中，，，、是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 1．【答案】见解析过程． 【分析】由可证△△，可得，，可证，即可求解． 【解答】证明：， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 四边形是平行四边形． 2． 【分析】由等腰三角形的性质得，再证，则，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 3．【答案】见解析过程． 【分析】证△△，得，再由，根据平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形． 【题型2】三角形的中位线及其定理 例2 （2025春•长沙期中）如图，为测量池塘边上两点，之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是点，，且，那么，两点间的距离是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：，的中点分别是点，， 是△的中位线， ， ， ． 故选：． ◄ 点拨 ► 利用三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系． 【变式4】　（2025春•如皋市期中）如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2025•碑林区校级三模）如图，已知是△的中位线，为上一点，且，若，，则的长为　　 A．10 B．9 C．8 D． 【变式6】　（2025春•长沙期中）如图，在△中，，为△的中位线，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．【答案】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：点，分别为，的中点， 是△的中位线， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【解答】解：是△的中位线，， ， ， 在△中，是的中点， ， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的三线合一求出，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：在△中，，， ， ， ，， ， 为△的中位线， ， ， 故选：． 【题型3】平行四边形性质与判定的综合 例3 （2025春•九龙坡区期中）在四边形中，，点是对角线的中点，点是边上一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）证△△，得，则，再由，即可得出四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质即可求解． 【解答】（1）证明：点是对角线的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ， ． ◄ 点拨 ► 平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系． 由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定． 【变式7】　（2025春•杭州期中）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的周长． 【变式8】　（2025春•南岸区期中）如图，在四边形中，，，，，是的中点，连结并延长，交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求的长． 【变式9】　（2025春•西湖区校级期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 7．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）先证，再证出△△，从而得出，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）过点作，交的延长线于，在△中，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理得出，，在△ 中，根据勾股定理求出，即可得的答案． 【解答】（1）证明：平行四边形中，，， ， 又， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，交的延长线于， 在△中，，， ， ． ， ， 在△ 中，，， ， 平行四边形的周长． 8．【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）证明△△，根据全等三角形的性质得到，再根据平行四边形的判定定理证明； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在△与△中， ， △△， ，又， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点作于， 在△中，，，， 由勾股定理得：， 平分，，， ， 则， ， ， ， ， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ． 9．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证△△，得，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，，再证△是等边三角形，得，然后证，则，即可解决问题． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是边的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ，， 的面积． 【题型4】直角坐标系中的平行四边形 例4 （2024•让胡路区模拟）在平面直角坐标系中，已知，，若、、、四点构成平行四边形，那么点的坐标不可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到点坐标的三种情况：①当，时；②当，时；③当，时；分别求出的坐标即可． 【解答】解：如图所示， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以分以下三种情况分别求出点的坐标：如图所示： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为． 故选：． ◄ 点拨 ► 在直角坐标系中解决平行四边形问题时，应熟练进行两个转化，一是线段长度与两点间距离的转化；二是和坐标轴平行的线段与线段端点坐标之间的转化，即与x轴平行的线段其端点的纵坐标相等，与y轴平行的线段其端点的横坐标相等． 【变式10】　（2024秋•济南期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是　　 A． B． C． D． 【变式11】　（2024春•单县期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则顶点的坐标是 　　 ． 【变式12】　（2024春•息县期中）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 　　． 10．【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，找出使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形的点的坐标，即可求解． 【解答】解：如图，当点坐标为或或时，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故选：． 11．【答案】或或． 【分析】根据平行四边形的判定画出图形，分三种情况即可得到结论． 【解答】解：点，， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，如图，分三种情况： 当，时， 四边形是平行四边形， 点的坐标是； 当，时，四边形是平行四边形， 点的坐标是； 当，时，四边形是平行四边形， 点的坐标是； 故答案为：或或． 12．【答案】或或． 【分析】设，分三种情况①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式求解即可． 【解答】解：设，分三种情况： ①当为对角线时，则，， 解得，， ； ②当为对角线时，则，， 解得，， ； ③当为对角线时，则，， 解得，， ， 综上，满足条件的点坐标为或或， 故答案为：或或． 【题型5】构造平行四边形证明线段的倍分问题 例5 （2024秋•鲤城区校级期末）如图，在△中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析】（1）由点是的中点，得，而，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由是的中点，得，由四边形是平行四边形，得，且，则，且，所以四边形是平行四边形，则，而，所以． 【解答】证明：（1）是的中点， ， 是延长线上的点，且， 四边形是平行四边形． （2）是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形， ， ， ． ◄ 点拨 ► 平行四边形的对角线互相平分是证明线段倍分关系的一个重要依据，因此在证明线段的倍分关系时，我们常构造平行四边形若题目中出现了中线，我们常用倍长中线法，结合三角形全等，来构造平行四边形． 【变式13】　（2025春•阜宁县期中）证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在△中，点、分别为边、的中点，连接． 求证：，． 【变式14】　（2025春•武昌区期中）如图，在中，，、分别是、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【变式15】　（2024春•铁东区期中）如图，在△中，，两点分别为，中点，连接，，过作交延长线于点，求证：． 13．【答案】见解析． 【分析】在△中，延长到点，使得，连接．证明四边形是平行四边形，可得结论． 【解答】证明：在△中，延长到点，使得，连接． 在△和△中， △△， ，， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 14．【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由、分别是、的中点，得，，，则，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）连接，由，，得，，则，因为，所以△是等边三角形，则，，所以，则，求得，则，所以． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别是、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：连接， ，， ，， ， ， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 的长是． 15．【答案】见解析． 【分析】证明是△的中位线，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【解答】证明：在△中，，两点分别为，中点， 是△的中位线， ，， 交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ． 【题型6】动点问题 例6 （2025春•南昌期中）如图，在平行四边形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个动点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为秒．当运动 　　秒时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或或8 【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况，由分别列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：四边形为平行四边形， ． 若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则． 当时， ，， ，， ， 解得：，舍去； 当时， ，，， ， 解得：； 当时， ， ，，， ， 解得：； 当时， ，，， ， 解得：． 综上所述：当运动时间为4秒或秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4或或8． ◄ 点拨 ► 一般用时间t表示出线段长度，根据平行四边形的判定方法分析有关数量关系，列方程求解，必要时需分类讨论． 【变式16】　（2025•重庆模拟）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒．以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时值为　　秒． A．2或 B． C．或 D． 【变式17】　（2025春•钱塘区期中）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点、同时出发，设运动时间为，当　 　时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 【变式18】　（2025春•于都县期中）如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动），当　　时，四边形为平行四边形． 16．【答案】 【分析】由题意已知，，要使、、、为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， 当从运动到时，且在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点在延长线上时， ， 解得， 秒或秒时，、、、为顶点的四边形为平行四边形． 故选：． 17．【分析】分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 18．【答案】或或． 【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况：①点的运动路线是，方程为 此时方程，此时不符合题意； ②点的运动路线是，方程为， 解得：； ③点的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为 解得：； 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$