18.1.2 平行四边形的判定同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定 自主预习 1.两组对边分别相等的四边形是 .若AD=8，AB=4，那么当BC= ,CD= 时,四边形ABCD 是平行四边形. 2.两组对角分别 的四边形是平行四边形.在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=120°，要使四边形ABCD是平行四边形，则还需补充的一个条件是 . 3.如图18--1--2--1--1,要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形 ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 基础优练 知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1.用一根6m 长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6m，则邻边长为( ) A.1. 2m B.1. 4m C.1. 6m D.1.8m 2.在四边形ABCD中,AB=DC,当AD BC时,四边形 ABCD是平行四边形. 知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3.要使四边形ABCD是平行四边形,则∠A:∠B:∠C:∠D可能为 ( ) A.2:3:6:7 B.3:4:5:6 C.3:3:5:5 D.4:5:4:5 4.在四边形ABCD中,∠A=80°,要使四边形 ABCD为平行四边形,则∠B= ,∠C= . 知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图18-1--2--1-2所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是 ( ) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 6.如图18--1-2--1--3,AO=OC,BD=16cm,则当OB= cm时,四边形ABCD是平行四边形. 名师点拨 点拨1平行四边形的判定 (1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. (5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 点拨2 判定平行四边形的一般思路： ①考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等； ②考虑对角关系：证明两组对角分别相等； ③考虑对角线关系：证明 两条 对 角 线 互相平分. 点拨3 利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”时，可通过证明三角形全等得出边与角的关系. 知识点4 一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形 7.能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 ( ) A. AB∥CD,AB=CD B. AB=BC,AD=CD C. AC=BD,AB=CD D. AB∥CD,AD=CB 8.在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题:“四边形ABCD中,AD∥BC,请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”.经过思考,小明说“添加 AD=BC”,小红说“添加 AB=DC”.你同意 的观点，理由是 . 整合集训 9.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是【点拨1】 ( ) A. AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C. AO=OC,DO=OB D. AB=AD,CB=CD 10.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有【点拨2】( ) A.5种 B.4种 C.3种 D.1种 11.如图18--1--2--1--4,四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE.若DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形.其中正确的结论是 (填序号). 12.如图18--1--2--1--5,在四边形 ABCD中,AD∥BC,且 AD=12 cm.点 P 从点 A 出发,以3cm/s的速度在射线 AD上运动；同时，点 Q 从点C 出发，以1 cm/s的速度在射线 CB上运动.运动时间为t,当t= s时,点 P,Q,C,D构成平行四边形. 13如图18-1-2-1-6,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到E,使CE=BC,连接AE交CD 于点F,点 F 是CD 的中点.求证： (1)△ADF≌△ECF; (2)四边形 ABCD是平行四边形.【点拨3】 核心素养题——直观想象 14.如图18---1---2---1--7,以 BC为底边的等腰△ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上,且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点 F,使得BE=BF. (1)求证：四边形 BDEF 为平行四边形； (2)当∠C=45°,BD=2时,求 D,F两点间的距离. 第 2课时三角形的中位线 学科网（北京）股份有限公司 自主预习 1.连接三角形 的线段叫做三角形的中位线.一个三角形有 条中位线. 2.三角形的中位线 于三角形的第三边，并且 第三边的 .在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,如果DE=4,那么BC= . 3.若三角形各边长分别为8cm，10 cm，16 cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长是 . 基础优练 知识点 三角形的中位线 1.如图18--1--2--2--1,点 D,E分别是△ABC边BA,BC的中点,AC=3,则 DE的长为【点拨1】 ( ) A.2 B. C.3 D. 2.如图18--1--2--2--2,在△ABC中,AB=6,AC=10,点 D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF 的周长为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.16 3.如图18-1-2-2-3,在△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD,垂足为点 E,点 F是 BC的中点,若 BD=16,则 EF的长为【点拨2】 ( ) A.32 B.16 C.8 D.4 4.如图18--1-2-2-4,在△ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,F是BC延长线上一点,CF=1,DF交CE 于点G,且EG=CG,则BC= . 5.如图18--1--2--2-5,在△ABC中,点 E,F分别是边AB,AC的中点,点 D在BC 边上,连接DE,DF,EF,请你添加一个条件 ,使△BED与△FDE全等. 名师点拨 点拨1 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：(1)位置关系，位置关系可证两线平行；(2)数量关系，数量关系可证明两条线段的倍分关系. 点拨2 三角形中位线定理的应用 应用三角形中位线定理解决问题时，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理. 点拨3 与三角形中位线定理有关的结论： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 点拨4 当三角形出现两边中点时，考虑三角形中位线定理来解决；当出现一边中点或未出现中点时，利用已知条件求出另一边中点或者两边中点，从而说明它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的关系，求出线段的长. 学科网（北京）股份有限公司 整合集训 F 6.如图18--1--2--2--6,若 DE是△ABC的中位线,△ADE的周长为1，则△ABC 的周长为【点拨3】 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图18-1-2-2-7,△ABC的周长为26,点 D,E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为 P，若BC=10,则 PQ的长为【点拨4】 ( ) A. B. C.3 D.4 8.如图18-1-2-2-8,在△ABC中,∠C=90°,E,F分别是AC,BC上两点,AE=16,BF=12,点P,Q,D分别是AF,BE,AB的中点,则 PQ的长为( ) A.10 B.8 C.2 D.20 9.如图18-1-2-2-9,已知EF是△ABC的中位线,DE⊥BC交AB 于点D,CD与EF 交于点G,若 CD⊥AC,EF = 9,EG= 4,则 AC 的长为 . 10.如图18-1-2-2-10,四边形ABCD中,∠A= 点 M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点，但点 M 不与点 B 重合)，点 E,F 分别为DM,MN的中点,则 EF 长度的最大值为 . 11.如图18-1-2-2--11所示,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥CD,点 E,F分别是AB,BC的中点,AB=4,EF=2,∠B = 60°, 则 CD 的长为 . 12.如图18-1-2-2-12,在△ABC中,F是BC 边的中点，D是AC 边上一点，E是AD 的中点，直线 FE交 BA 的延长线于点 G,若AB=DC=2,∠FEC=45°,求 FE的长度. 核心素养题——逻辑推理 13.定义:如图18-1-2-2-13①,点 M,N 把线段AB 分割成AM,MN 和BN,若以 AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的勾股分割点. 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求 BN的长; (2)如图18-1-2-2-13②,若点 F,M,N,G分别是线段AB,AD,AE,AC的中点,点 D,E是线段BC 的勾股分割点,且EC>DE>BD,求证:点M，N 是线段FG 的勾股分割点. 18.1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定 自主预习 1.平行四边形 8 4 2.相等 ∠B=∠D=60°(答案不唯··) 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形 基础优练 1. B 2.= 3. D 4.100° 80° 5. A 6.8 7. A 8.小明 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 整合集训 9.(° 10. C 11.①②③ 12.3或6 13.证明:(1)∵AD∥BC∴∴∠DAF=∠E. ∵点F是CD的中点,∴DF=CF. 在△ADF与△ECF中 ∴△ADF≌△ECF(AAS). (2)∵△ADF≌△ECF,∴AD=EC. ∵CE-BC,∴AD-BC. ∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 11.(1)证明:∵△ABC是等腰三角形。∴∠ABC=∠C.∵EG∥BC. DE∥AC∴∠AEG=∠ABC=∠C.四边形(1)E;是平行四边形.∴∠DEC;=∠C.∵BE=BF.∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC. ∴∠F=∠DEG,∴BF∥DE,∴四边形BDEF 为平行四边形.(2)解:∵∠(°= 15°,∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=15°.∴△BDE,△BEF 是等腰直角三角形。 .如答图18-1-2-1-1,作 FM⊥BD,交 DB的延长线于点M,连接DF,则△BFM是等腰直角三角形.∴FM=BM= 在 Rt△DFM中.由勾股定理得 DF- 即D. F两点间的距离为 第2 课时 三角形的中位线 自主预习 1.两边中点 3 2.平行 等于 一半 8 3.17 cm基础优练 1. D 2. D 3. C 4.2 5. D 是BC 的中点整合集训 6. B 7. C 8. A 9.6 10.3 11.2 12.解:如答图18-1-2-2-1.连接BD.取 BD 的中点 H.连接 EH.F11.∵E、F分别是AD,BC的中点. FH∥AC.∴∠HFE=∠FEC=45°. ∵AB=CD=2,∴HF-HE-1.∴∠HEF=∠HFE=45°.∴∠EHF = 180° - ∠HFE - ∠HEF = 90°. ∴ EF = 13.(1)解:∵点M,N是线段AB 的勾股分割点,且 BN>MN> (2)证明:∵点 F. M. N. G分别是线段AB. AD. AE. AC的中点,∴FM,MN,NG分别是△ABD,△ADE,△AEC的中位线.∴BD=2FM,DE=2MN. EC=2NG.∵点D. E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD.∴E(°=DE'+DB'. 点M. N 是线段 FG的勾股分割点. $$