精品解析：湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春八年级数学期中试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 16 D. 4. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 8. 如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 计算：________． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，，则的长为______． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，周长为，于E，于F，，求的面积． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 19. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度． （2）判断的形状，并说明理由． 20. 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． （1）求的长度； （2）求的面积． 21. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 已知：，． （1）求的值： （2）若为整数部分，为小数部分，求的值． 23. 阅读下列材料，并完成相应任务． 勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含，的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路： 如图，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中．连接，过点作延长线的垂线，垂足为．容易得出：，用含的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的验证． （1）任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理； （2）任务二：请你用“双求法”解决下列问题： 如图2，中，是边上的高，若，求的长． 24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春八年级数学期中试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法、乘法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到且，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键． 3. 若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 4. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； C、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般． 6. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 7. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 8. 如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解． 【详解】解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段边的中点， ∴， ∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上， 又∵，， ∴沿轴向右平移个单位， ∴． 故选：C． 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 10. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由题意知 ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ①∵， ∴为等腰直角三角形 ∴ ， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故①正确； ②∵ ∴四边形为矩形 ∴四边形的周长 故②正确； ③四边形为矩形 ∵在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ 故③正确； ④∵ 当最小时，最小 ∴当时，即时，的最小值等于 故④正确； ⑤在和中，， ∴ 故⑤正确； ⑥如图1，延长与交于点 ∵在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故⑥正确； 综上，①②③④⑤⑥正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出，，，，在中，由勾股定理得到，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为20， ∴，，，． 在中， 由勾股定理得， ∴． ∵于E， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：3 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到、，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以过E作的垂线交于N，交于M，证明，设，利用列出方程，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过E作的垂线交于N，交于M，如图， ∵是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用，构造一线三直角的全等模型，是解决此题的突破口． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式后再进行加减运算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行展开，再进行运算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 ． 17. 如图，周长为，于E，于F，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】对于同一个平行四边形面积是一定的，因此以为底，为高或者以为底，为高求出结果应该是一致的．又由题可知，和之间存在和为18的关系，所以可列方程进行解答． 【详解】解：设，则， 由， 即， 解得：． 则平行四边形的面积是：． 答：平行四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时，注意运用平行四边形面积的求法． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 19. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度． （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：直角三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，勾股定理的逆定理，三角形的周长公式等知识，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵的周长为，，， ∴ ， ∴的长度为； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． （1）求的长度； （2）求的面积． 【答案】（1）3 （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有， 即，解得， ∴， 故的长度为3； 【小问2详解】 解：结合（1），可知，，， ∴， 故的面积为15． 21. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵，， ∵点是对角线的中心， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 22. 已知：，． （1）求的值： （2）若为整数部分，为小数部分，求的值． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值，化简求值，二次根式的计算，理解二次根式的运算法则是解答关键． （1）根据二次根式的运算法则进行计算求解； （2）求出和的值，再代入代数式进行计算求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 为整数部分，为小数部分， ，， ． 23. 阅读下列材料，并完成相应任务． 勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含，的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路： 如图，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中．连接，过点作延长线的垂线，垂足为．容易得出：，用含的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的验证． （1）任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理； （2）任务二：请你用“双求法”解决下列问题： 如图2，中，是边上的高，若，求的长． 【答案】（1） 由， ， ∴， 化简得：； （2）． 【解析】 【分析】（）利用面积和差即可求证； （）由勾股定理的应用及等面积法即可求解； 本题考查了勾股定理的证明及应用、三角形的面积等知识，理解材料信息，掌握勾股定理的证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴， 由， ∴． 24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【答案】（1）t=s；（2）2cm/s. 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形； （2）因为PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度． 试题解析：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ， ∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形， 此时有t=22-3t，解得t=． ∴当t=s时，四边形ABQP成为矩形； （2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下： ∵PD∥BQ， ∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3， 当t=3时，PD=BQ=13，BP=， ∴四边形PBQD不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形， 由题意，得，解得． 故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形． 考点：1.菱形的判定；2.矩形的判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $