特训10 期末解答压轴题（十三大题型，江苏最新期末精选）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训10 期末解答压轴题（十三大题型，江苏最新期末精选） 目录： 题型1：折叠问题 题型2：折叠问题在平面直角坐标系中的应用 题型3：折叠深化探究+取值范围问题 题型4：（类）旋转问题 题型5：动态问题综合 题型6：新定义题+分类讨论思想 题型7：最值问题（新定义、情景探究） 题型8：新定义尺规作图（逐步深化题型） 题型9：反比例函数—定值问题 题型10：反比例函数—交点在定函数上 题型11：反比例函数—最值问题综合 题型12：反比例函数—新定义题 题型13：2025年精选最新其他题型（强化） 题型1：折叠问题 1．（23-24八年级下·江苏南京·名校期末）已知点E、F分别在矩形纸片ABCD的边BC、AD上，连接EF，将矩形纸片ABCD沿EF折叠． (1)如图1，若点C恰好落在点A处，EF与AC相交于点O，连接AE、CF． ①判断四边形AECF的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕EF的长； (2)如图2，若点B恰好落在边CD上的点处，且，点A落在处，交AD于点G． ①求证：； ②若，，求CE的长． 题型2：折叠问题在平面直角坐标系中的应用 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中中，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点，，点M、N分别为线段上的动点，将矩形沿直线折叠，A、C的对应点分别是、． (1)如图2，若点落在点B处，则 ； (2)如图3，折叠的某一时刻，点落在矩形的边上，且，求的长； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点、，使得以点，M，D，E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型3：折叠深化探究+取值范围问题 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．    问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 题型4：（类）旋转问题 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为______； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为______． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； 若，求此时的度数． (3)如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 题型5：动态问题综合 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． (1)将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． (2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：； （2）边长把边沿翻折． ①如图2，若点P落在对角线上，则 ； ②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 题型6：新定义题+分类讨论思想 8．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 题型7：最值问题（新定义、情景探究） 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM． （2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM． （3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值． 10．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    题型8：新定义尺规作图（逐步深化题型） 11．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图1，已知，， ①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） ②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为； (3)如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹） 题型9：反比例函数—定值问题 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 13．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 题型10：反比例函数—交点在定函数上 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 题型11：反比例函数—最值问题综合 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 17．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：      (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，两点的坐标分别为、， 点P在直线上运动（点P与点C不重合）， 过点P作 ，交x轴于点 D． (1)点B的坐标为：______，直线的表达式为______； (2)点Q在直线上，且满足． ①请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出点Q位置；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图2，设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，求之间的函数关系； ③在②中， 若，，当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示，求的最小值t，并直接写出此时．的度数． 题型12：反比例函数—新定义题 19．（23-24八年级下·江苏常州·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 题型13：2025年精选最新其他题型（强化） 20．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，在边上，过点作，垂足为．将线段绕点顺时针旋转至线段上，若在整个旋转过程中，点始终在内部（包括边界），则称为的关联线段，当最大时，称此时的为的极限关联线段． (1)若，，足够长，则的极限关联线段的长为________； (2)如图②，用两种不同的方法作点，使存在极限关联线段（要求：用直尺和圆规作图；保留痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图③，若，存在长为1的关联线段，直接写出，的取值范围． 21．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 22．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，在平面内取一点（不与点重合），连接，以为边作正方形（四点逆时针分布），连接． (1)如图1，当点在正方形的内部时，求证：； (2)在（1）的条件下，当点运动到与三点共线时，若，求的长； (3)当点在平面内运动时，若，请直接写出的面积的取值范围． 23．（2025八年级下·江苏·专题练习）正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． (1)如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． (2)当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 期末解答压轴题（十三大题型，江苏最新期末精选） 目录： 题型1：折叠问题 题型2：折叠问题在平面直角坐标系中的应用 题型3：折叠深化探究+取值范围问题 题型4：（类）旋转问题 题型5：动态问题综合 题型6：新定义题+分类讨论思想 题型7：最值问题（新定义、情景探究） 题型8：新定义尺规作图（逐步深化题型） 题型9：反比例函数—定值问题 题型10：反比例函数—交点在定函数上 题型11：反比例函数—最值问题综合 题型12：反比例函数—新定义题 题型13：2025年精选最新其他题型（强化） 题型1：折叠问题 1．（23-24八年级下·江苏南京·名校期末）已知点E、F分别在矩形纸片ABCD的边BC、AD上，连接EF，将矩形纸片ABCD沿EF折叠． (1)如图1，若点C恰好落在点A处，EF与AC相交于点O，连接AE、CF． ①判断四边形AECF的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕EF的长； (2)如图2，若点B恰好落在边CD上的点处，且，点A落在处，交AD于点G． ①求证：； ②若，，求CE的长． 【答案】(1)①菱形，证明见解析；② (2)①见解析；②6 【分析】（1）①根据折叠变换的性质和菱形的判定即可得；②设，则，在中，由勾股定理求AC，在中，由勾股定理求x，利用菱形面积的计算公式建立等式：，进行计算即可得； （2）①由矩形和折叠的性质，用ASA证明，从而得，则，由得；②由，得，，，设，则，根据勾股定理得，进行计算即可得． 【解析】（1）①证明：由折叠得：，，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵， ∴平行四边形AECF是菱形； ②解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，， 根据菱形面积的计算公式得， ， ， 即折痕EF的长为． （2）①证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，图形折叠的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 题型2：折叠问题在平面直角坐标系中的应用 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在平面直角坐标系中中，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点，，点M、N分别为线段上的动点，将矩形沿直线折叠，A、C的对应点分别是、． (1)如图2，若点落在点B处，则 ； (2)如图3，折叠的某一时刻，点落在矩形的边上，且，求的长； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点、，使得以点，M，D，E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)或或或 【分析】（1）由题意得：，，则，再根据折叠和勾股定理建立方程求解即可求得答案； （2）过点作轴于，由矩形性质得：，，由折叠得：，得出，再运用勾股定理建立方程求解即可； （3）分三种情况：当、为菱形的对角线时，当、为菱形的对角线时，当、为菱形的对角线时，分别利用菱形性质列方程组求解即可． 【解析】（1）解：如图， ，， ，， 则， 由折叠得：， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点作轴于， 则， 四边形是矩形， ，， 由折叠得：， ， 在中，， ， ， 故的长为10； （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：， ， ， ， ， 又、， 当、为菱形的对角线时， 则或， 解得：或， 或； 当、为菱形的对角线时， 则， 解得：， ； 当、为菱形的对角线时， 则， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等，运用分类讨论思想结合菱形性质列出关于点坐标的方程是解题关键． 题型3：折叠深化探究+取值范围问题 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．    问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 【答案】（1），线段与线段互相垂直平分，；证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题． 【解析】解：（1）①∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 线段与线段互相垂直平分， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：，线段与线段互相垂直平分，； ②证明过程如下： ∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 线段与线段互相垂直平分， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （3）如图，当点与点重合时，的面积最大，于，则，   ， 由题意得：， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， 由（1）知，， ， 的最大值为1.3， 假设点与重合时，此时最小，为， 的面积的最小值为， 在边上取一点不与和点重合， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 题型4：（类）旋转问题 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为______； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为______． 【答案】(1)， (2)①成立，见解析；② (3)2或 【分析】（1）如图1，连接，，证明是等边三角形，则，证明，则，，由，可得； （2）①如图2，连接，同理（1）可得，，是等边三角形，则，同理（1）可证，则，，，即；②如图3，作于，于，则，，由，，可得，，则，如图3，在上取点，连接，使，则，，设，，则，，，由，可求，由勾股定理得，则，可求，即，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由题意知，分在点左侧，在点右侧两种情况求解；当在点左侧时，如图4，作于，则，，，由（1）（2）可知，，，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解即可；当在点右侧时，如图4 ，同理求解作答即可． 【解析】（1）解：如图1，连接， ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）①解：成立，证明如下； 如图2，连接， 同理（1）可得，，是等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，即， 同理（1）可证， ∴，， ∴，即， ∴，； ②解：如图3，作于，于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图3，在上取点，连接，使， ∴，， 设，，则，，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得，，即， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，分在点左侧，在点右侧两种情况求解； 当在点左侧时，如图4，作于， ∵， ∴，，则， 由（1）（2）可知，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 当在点右侧时，如图4 ， 同理，， ∴； 综上所述，的长度为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本图考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现； 若，求此时的度数． (3)如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 【答案】(1)； (2)，证明见解析；； (3)的最小值是． 【分析】（）证明得，由旋转可得，进而可得； （）如图，延长至，使，连接 ，证明可得，，由旋转可得，进而可得，即可得，可证明，得到，可得；如图，在上截取，可得，，得到，由勾股定理得，即得，再根据三角形内角和定义及等腰三角形的性质即可求解； （）如图，在上截取，连接，同理（）可得，，再证明，得到，，可得，得到点在的外角角平分线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，，可知当点三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使，连接 ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∵， ∴，， 又由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，在上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，在上截取，连接， 同理（）可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点在的外角角平分线上运动， 作点关于的对称点，连接， ∴， ， ∴， 当点三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∴有最小值为， 故答案为：． 题型5：动态问题综合 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． (1)将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． (2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 【答案】(1)①；②画图见解析；4或24； (2)． 【分析】（1）①根据矩形和翻折的性质可知，，利用勾股定理可求得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；②当中时，根据矩形和翻折的性质可得到点、、三点共线，由即可得到；当中时，可推出点、、三点共线，利用勾股定理可得，从而得到，再利用勾股定理即可解得； （2）在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，根据翻折的性质和矩形的性质，可证明四边形是平行四边形，从而推出，再通过证明，，得到，最后利用，可求得最小值，即得到最小值． 【解析】（1）解：①四边形是矩形 ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 解得： 的长为； ②当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 根据翻折的性质，， ， 点、、三点共线 当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 又 点、、三点共线 根据翻折的性质，， 解得： 的长为4或24； （2）解：在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，如图所示， 根据翻折的性质，，，，， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 又， ， ，即 又， ， ，即 当、、三点共线时，最短，即 的最小值为 的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，两点之间距离最短，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：； （2）边长把边沿翻折． ①如图2，若点P落在对角线上，则 ； ②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，进而证明，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，，，再利用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的判定可得，再利用，即可求解； ②当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，即，，可得，当点P落到上，连接，证得，可得，即可求解； （3）①当A、M、C不共线时，，②当点A、M、C三点共线时，的值最小为，根据等腰三角形的判定与性质可得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可求解； （4）将绕点B逆时针旋转得到，由旋转的性质和等边三角形的判定与性质可得，进而可得当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是，过点作的延长线于点N，由旋转的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，可得，再利用勾股定理求解即可． 【解析】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，当点P落到上， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 当点P落到上，连接， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P在的内部，不含边， ∴， 故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时， ， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 题型6：新定义题+分类讨论思想 8．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】(1)D (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【解析】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 题型7：最值问题（新定义、情景探究） 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM． （2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM． （3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3） 【分析】（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论； （2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论； ②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM； （3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出则可得出答案． 【解析】解：（1）问题情景： ①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°， ∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴∠BAE=∠DAF； ②证明：∵△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∵M为AF的中点， ∴DM=AF， ∴AE=AF=2DM； （2）变式关联： ①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，CD=CB， ∵BE⊥DF， ∴∠BGD=∠BCD=90°， ∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF， ∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF， ∴∠CBE=∠CDF， 又∵BE=DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)， ∴∠BCE=∠DCF， ∵∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°， ∴CE⊥CF； ②延长DM到N，使DM=MN，连接AN， ∵M为AF的中点， ∴AM=MF， ∵MD=MN，∠AMN=∠FMD， ∴△AMN≌△FMD(SAS)， ∴AN=DF， ∵△CBE≌△CDF， ∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM， ∴ANDF， ∴∠DAN+∠ADF=180°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∵∠BGD=90°， ∴∠ABE+∠ADF=180°， ∴∠ABE=∠DAN， ∴△ABE≌△DAN(SAS)， ∴AE=DN=2DM； （3）拓展应用： 过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q， ∴△ABE≌△PDF(SAS)， ∴AE=PF， ∵∠ADB=45°， ∴∠PDQ=45°，DQ=PQ， ∴AF+AE=AF+PF≥AP， 即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP， ∵AD=AB=DP=2， ∴PQ=DQ=， ∴， ∴的最小值为8+4． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【解析】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型8：新定义尺规作图（逐步深化题型） 11．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图1，已知，， ①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹） ②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为； (3)如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹） 【答案】(1)①见详解；②不能，理由见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）①作出线段的垂直平分线即可，②如果是的“紫金线”，能平分面积但不能平分周长； （2）由题意得是的垂直平分线才符合题意，由直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义即可求解； （3）作出的垂直平分线即可． 【解析】（1）解：①如图，直线l即为所求： ∵直线l是的垂直平分线，则记与直线l与交于点E，点E为的中点， ∴与等底同高，故面积一样， ∵，， ∴l平分周长， 故直线l是的一条“紫金线”； ②过点C不能作出的“紫金线”， 设过点C能作直线“紫金线”交于点D，如图： 则点D为中点，满足平分面积， ∵， ∴， ∴与周长不相等，故不能平分该图形周长， ∴不能能作出的“紫金线”； （2）解：由题意得平分， 当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线， ∵是的垂直平分线 ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，左右两部分梯形面积也一样， ∴即平分周长也平分面积， ∴是矩形的“紫金线”， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，直线即为所求： 记直线与分别交于点F、E，连接， ∵直线是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴直线平分该图形周长， ， ∴， ∴直线平分该图形面积， ∴直线四边形的“紫金线”． 【点睛】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，中线平分三角形面积，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型9：反比例函数—定值问题 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图1，点A是反比例函数的图象上一动点，连接并延长交反比例函数于点B，设与x轴正半轴的夹角为， (1)①若，则______；②若，则______； (2)小红同学在数学老师的指导下，证明了命题“无论如何变化，的值始终不变”为真命题．如图2，点E、F在，点G在上，O、F、G在同一条直线上，仅用无刻度的直尺在的图象上作点H，使得； (3)如图3，过点B作x轴、y轴的垂线分别交于点C、D； ①试说明的面积为定值，并求出该值； ②若，连接并延长交x轴于点E，求∠DCE的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①说明见解析；；② 【分析】（1）过点A作轴于点E，轴于点F，当，设，，求出，，得出；当，设，，得出，，求出，即可得出答案； （2）连接并延长，交的图象于一点，该点即为所求； （3）①设点，则，，得出，，根据，即可得出结论； ②根据，得出，求出，得出，，，求出直线的解析式为：，得出，求出， ，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得出答案． 【解析】（1）解：过点A作轴于点E，轴于点F，如图所示： 则， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，负值舍去，，负值舍去， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，， ∵点A在反比例函数，点B在反比例函数上， ∴， 解得：，， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交的图象于一点，该点即为点H； 连接，， ∵“无论如何变化，的值始终不变”为真命题， ∴根据解析（1）可知：， ∴， ∴，， ∴、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； （3）解：①设点，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为定值． ②∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴根据解析（1）可知：此时， 即， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ，， ∴， ∴为直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【解析】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 题型10：反比例函数—交点在定函数上 14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得； ②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为； （2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上． 【解析】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴； 当时，，即， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴，； ②解：由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围， 当时，， 解得，， ∴的图象经过点， 由图象可知，使成立的x的范围为； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键． 题型11：反比例函数—最值问题综合 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知反比例函数与一次函数的图像相交于点A、B，直线与x轴、y轴交于点C、D． (1)若点，点． ①一次函数解析式是 ； ②直接写出线段的长，你有什么发现？ (2)若点，点，则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． (3)实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形，点，若反比例函数与矩形的对角线有交点，则k的最大值为 ． 【答案】(1)①；②，，发现 (2)仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及图像问题，坐标两点的距离公式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据题意利用待定系数法将点求出，再代入点，求出，所以点，将两点A、B分别代入一次函数即可得出答案； ②由①得出方程式可知点，，得，，发现． （2）根据题意将，点分别代入函数得，解得，即一次函数为，得到点，，进而得出，发现恒成立． （3）根据题意得出点E坐标，，所以，求出的一次函数，延长交于y轴于点M，即函数也是函数，求出点M坐标为，因为②中得出结论，即可得出中点N的坐标为，代入函数即可得到答案． 【解析】（1）解：①∵两点A、B是与的交点， ∴将点A代入，解得，再代入点，解得， ∴， 将两点A、B分别代入得：，解得， 故答案为：． ②由①知一次函数为，即，， ∴，， j即． （2）解：②中的结论是否仍然成立，理由如下： 把点，点代入一次函数中得：，解得：， ∴一次函数解析式为：； 当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴ ∴，， ，仍然成立． （3）解：∵四边形是矩形，点，， ∴， 如图2 延长交y轴于M，设直线得解析式为：， 则，解得：， ∴直线得解析式为：， 当时，， ∴， ∴的中点N的坐标为， 在②中对于任意两点，②中得结论都成立， ∴当反比例函数于矩形的对角线有交点N时，k有最大值，此时． 故答案为：4.5． 16．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 (4)时最小值为 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点分别代入和即可得到与的值； （2）①过点作轴于点，结合点的坐标与旋转的性质证明，得，，即可得解； ②根据①的结论，将点的坐标代入求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，根据勾股定理及等积法依次求出，，，，，确定，直线的解析式为，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，根据，得，求解即可； （4）先确定点的运动路径为直线，设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点，根据对称的性质得垂直平分，，继而得到，当点、、共线时取“”，此时取得最小值，结合点的坐标及等腰三角形三线合一性质确定 ，继而得到，，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，即可得解． 【解析】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数及几何的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数图像交点的确定方法，等积法及最短路径等知识点．掌握反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，旋转及对称的性质，确定点到直线的距离是解题的关键． 17．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：      (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝______，n＝______； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，当______时，y的最大值为______． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长． ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①，；②见解析；③3，4 (3)①；② 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【解析】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当，当时， 故答案为：，；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: ； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，四边形是正方形，两点的坐标分别为、， 点P在直线上运动（点P与点C不重合）， 过点P作 ，交x轴于点 D． (1)点B的坐标为：______，直线的表达式为______； (2)点Q在直线上，且满足． ①请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出点Q位置；（不写作法，保留作图痕迹） ②如图2，设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，求之间的函数关系； ③在②中， 若，，当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示，求的最小值t，并直接写出此时．的度数． 【答案】(1)； ； (2)①图见解析；②；③； 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，待定系数法求解析式，正方形的性质，中垂线的尺规作法和中垂线的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，理解函数图象求最值，熟练掌握相关性质和内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质，即可得到，由此得到点B的坐标；利用待定系数法即可求直线的表达式； （2）① 取大于长度为半径，分别以为圆心作圆弧相交于两点，连接两交点所得直线即为的垂直平分线，交直线于点，点为所求作． ②设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，则，利用两点间的距离公式可求出，，利用，整理化简即可得到x、y之间的函数关系； ③ 当Q在第一象限时，若，，用表示出，得到，，利用第②问结论，代入整理得，再结合已知给的当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示，可知当时，取得最小值，代入即可求得的最小值t，同时可求出，，此时，点在直线上，也就是在正方形的对角线上，再根据正方形的性质，等腰三角形的性质，即可求出． 【解析】（1）解： A、C两点的坐标分别为、， ， 四边形是正方形， ，，， 点B的坐标为． 设直线的表达式为，将、代入得， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：①取大于长度为半径，分别以为圆心作圆弧相交于两点，连接两交点所得直线即为的垂直平分线，交直线于点，根据垂直平分线的性质，可得，即点为所求作． ② 当在轴右侧时，如图所示， 当在轴左侧时，如图所示， 设点Q的横坐标为x，纵坐标为y，即，则横坐标为， 点在直线：上， ，即，又， ，， ， ， 整理化简得，， 点P与点C不重合， ， 故x、y之间的函数关系为：． ③ 当在第一象限时，如图所示， 在第一象限， ， ，， ， ，， ，， ，， 根据前面的结论，， ， 整理得， ， ， 根据当Q在第一象限时m、n的函数关系如图3所示， 可知当时，取得最小值， 此时，， 的最小值． 当时，，， ，， 此时，点在直线上，也就是在正方形的对角线上，交于点，如图所示， ，四边形为正方形， ，即，， ， 又 ， ， ， ． 故． 题型12：反比例函数—新定义题 19．（23-24八年级下·江苏常州·期末）对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 【答案】(1)①，或；②C； (2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0 【分析】（1）①直接代入求解即可； ②通过求在一三象限的最值确定函数图象； （2）①根据函数的性质依次判断即可； ②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解． 【解析】（1）①解：∵，， ∴， 把代入得：， 两边同乘，得：， 解得，， 经检验，，都是方程的解． 所以当或时，的值为； ②由完全平方公式可知：，，，即， 当时，， 当时，，， ∴，， 观察四个函数图象，C选项符合题意， 故选：C； （2）①解：∵，， ∴， A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误； B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出 成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确； C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误； D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：BD； ②解：根据题意可得：， 即，该方程， 当且且时，公共点的个数为2； 当或时，公共点的个数为1； 当时，公共点的个数为0． 【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键． 题型13：2025年精选最新其他题型（强化） 20．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，在边上，过点作，垂足为．将线段绕点顺时针旋转至线段上，若在整个旋转过程中，点始终在内部（包括边界），则称为的关联线段，当最大时，称此时的为的极限关联线段． (1)若，，足够长，则的极限关联线段的长为________； (2)如图②，用两种不同的方法作点，使存在极限关联线段（要求：用直尺和圆规作图；保留痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图③，若，存在长为1的关联线段，直接写出，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于F，解直角三角形求出，由于足够长，那么旋转到上的对应线段一定在线段上，故当点P到的距离刚好等于的长时，为的极限关联线段，过点P作于E，根据，可得； （2）如图2-1所示，过点C作交延长线于T，作的角平分线交于P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于Q，则点P即为所求； 如图2-2所示，过点C作交延长线于T，以T为圆心，的长为半径画弧交于Q，作线段的垂直平分线交于P，则点P即为所求； （3）根据（1）（2）可知当满足点P到的距离大于等于时，边的长符合题意，当满足旋转后点Q落在上时，边的长符合题意，据此求解即可． 【解析】（1）解：如图所示，过点A作于F， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵足够长， ∴旋转到上的对应线段一定在线段上， ∴当点P到的距离刚好小于等于的长时，整个旋转过程中点Q都在内部（包括边界）， ∴当点P到的距离刚好等于的长时，为的极限关联线段， 如图所示，过点P作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的极限关联线段的长为； （2）解：观察图形可得的长度有限，在满足点P到的距离等于时，还有满足经过旋转后点Q落到上，故存在极限关联线段时一定满足点Q落到上时与点C重合； 如图2-1所示，过点C作交延长线于T，作的角平分线交于P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于Q，则点P即为所求； 由角平分线的性质可得点P到的距离等于，而，则； 由于是定角，则随着的增大，在增大，那么旋转到上的对应线段逐渐增大，故只有当点Q的对应点恰好为点C时取得最大值，则点P即为所求； 如图2-2所示，过点C作交延长线于T，以T为圆心，的长为半径画弧交于Q，作线段的垂直平分线交于P，则点P即为所求； 可证明，则， 同理可得此时点P即为所求； （3）解：如图所示，过点A作于F，过点P作于E，则四边形是矩形， ∴， ∵整个运动过程中点Q都在四边形内部（包括边界）， ∴， ∴， ∵存在长为1的关联线段， ∴ 在中，， ∴； ∵整个运动过程中点Q都在四边形内部（包括边界）， ∴直线上与点Q的对应点一定要在线段上， ∴由旋转的性质可得， ∴， ∵存在长为1的关联线段， 在中，，则当时， ∴， ∴此时有； 综上所述，，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定等待，正确理解极限关联线段的定义是解题的关键． 21．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； (3)8 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则． 【解析】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①过点E作于，于，如图，   正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，   ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 由（2）得， 则． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 22．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，在平面内取一点（不与点重合），连接，以为边作正方形（四点逆时针分布），连接． (1)如图1，当点在正方形的内部时，求证：； (2)在（1）的条件下，当点运动到与三点共线时，若，求的长； (3)当点在平面内运动时，若，请直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得，，，推出，证明，即可得证； （2）如图，连接、，交于点，可得，根据正方形的性质得，，，， ∴，，进一步得，可得答案； （3）如图，连接，过点作于点，则，得出，继而得到（当点、、共线时取“”），即，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形、四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，连接、，交于点， ∵三点共线， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）如图，连接，过点作于点， ∵点在平面内运动 ∴ ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴（当点、、共线时取“”）， 即， 当点在线段上时， 此时点与点重合，且， ∴； 当点在线段的延长线上时， 此时点与点重合，且， ∴； ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点．掌握分类讨论及动点的思想解决问题是解题的关键． 23．（2025八年级下·江苏·专题练习）正方形中，点在边、上运动（不与正方形顶点重合），作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． (1)如图，当点在边上时， ①若，则图中与线段相等的线段是________． ②过点作，垂足为，连接，求的度数． ③求证：在②的条件下，． (2)当点在边上，点在边延长线上时，仍过点作于点，再过点作于点，连接，若，求的值． 【答案】(1)①；②或；③见解析 (2) 【分析】（1）①通过证明，即可得到； ②当点在上时，过点作交于点，延长交于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而得到；当点在上时，过点作交于点，延长交点的延长线于点，同理可证明，推出是等腰直角三角形，则，； ③延长到，使，过作于，交于点，则，推出是等腰直角三角形，则，证明，可得，推出，结合即可证明； （2）延长、，交于点，可推出是等腰直角三角形，则，可证明，得到，，推出是等腰直角三角形，设，则，可得，即可求解． 【解析】（1）解：①四边形是正方形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②当点在上时，如图1，过点作交于点，延长交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当点在上时，如图2，过点作交于点，延长交点的延长线于点， 四边形是矩形， 同理，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，的度数为或； ③延长到，使， ， 过作于，交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ， ， ，， 且，即， 即； （2）如下图，延长、，交于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 设， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是综合运用这些知识． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$