特训09 期末解答压轴题（十大题型，上海近两年期末精选）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训09 期末解答压轴题（十大题型，上海近两年期末精选） 目录： 题型1：根据长度关系求解 题型2：根据位置关系求解 题型3：根据角度关系求解 题型4：由特殊三角形求解 题型5：根据其他数量关系求解 题型6：动点问题 题型7：旋转问题 题型8：对称问题 题型9：梯形综合 题型10：四边形的坐标应用 题型1：根据长度关系求解 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 2．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 题型2：根据位置关系求解 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 4．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 5．（22-23八年级下·上海浦东新·名校期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．    (1)求点H与点D重合时t的值； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为 ； ②当时，求出t的值． 题型3：根据角度关系求解 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． (1)求的大小； (2)如果，求证：； (3)如果，当时，求的长． 7．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 题型4：由特殊三角形求解 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 9．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连结． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如果是等腰三角形，直接写出的长度． 10．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点．    (1)当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (2)在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 11．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点．    (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 题型5：根据其他数量关系求解 12．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 13．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 题型6：动点问题 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 15．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 16．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：； (2)当点E落在线段上时（如图所示），设，的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 题型7：旋转问题 17．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处． (1)如图1，当时，求的面积； (2)设，，求关于的函数关系式和定义域； (3)作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长． 题型8：对称问题 18．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，点A关于直线为对称点为，    (1)点落在边上，求的长 (2)点落在线段上，求的长； (3)点到直线的距离等于的长，求的长． 19．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 题型9：梯形综合 20．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 21．（22-23八年级下·上海普陀·期末）在梯形中，，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），连接，过点E作交射线于点F，连接．设，．    (1)求的长； (2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 22．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 23．（23-24八年级下·上海·名校期末）如图，已知直角梯形，，过点A作，垂足为点H，，点F是边上的一动点，过F作线段的垂直平分线，交于点E，并交射线于点G．    (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)设，求y与x的函数关系式，并写出定义域． (3)如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长． 24．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 目录： 题型1：根据长度关系求解 题型2：根据位置关系求解 题型3：根据角度关系求解 题型4：由特殊三角形求解 题型5：根据其他数量关系求解 题型6：动点问题 题型7：旋转问题 题型8：对称问题 题型9：梯形综合 题型10：四边形的坐标应用 题型10：四边形的坐标应用 25．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 26．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 期末解答压轴题（十大题型，上海近两年期末精选） 目录： 题型1：根据长度关系求解 题型2：根据位置关系求解 题型3：根据角度关系求解 题型4：由特殊三角形求解 题型5：根据其他数量关系求解 题型6：动点问题 题型7：旋转问题 题型8：对称问题 题型9：梯形综合 题型10：四边形的坐标应用 题型1：根据长度关系求解 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)， (3) 【分析】（1）连接，证明，进而推出，即可得证； （2）连接，利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可； （3）根据，推出，利用（2）中的结论，列出无理方程，进行求解即可． 【解析】（1）见详解 解：连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则， ∵， ∴， 在中，，即， 在中，， 由（1）知：，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （3） 当时， 又， ∴， 由（2）知：，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用函数关系式表示变量之间的关系，解无理方程等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 2．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三线合一可得，进而根据矩形的性质得出，即可得出，等量代换得出，根据等边对等角即可得证； （2）根据已知条件，得出，根据含度角的直角三角形的性质，在中，设，则，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在中，，勾股定理求得，延长，使得，则是是中位线，，，根据全等三角形的性质与判定，以及中位线的性质求得，进而求得，，过点作，则四边形是矩形，在中，勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型2：根据位置关系求解 3．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． (1)如果，，求的长； (2)如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点D作交于点M，可证四边形是矩形，根据，平分，得到，然后利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出，然后表示出、的长即可求解； （3）延长交于点N，即可证明四边形是平行四边形，则，再证明，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：过点D作交于点M，如图， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴． （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴． （3）延长交于点N，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得，， 即， 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键． 4．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，作于点，延长，延长线交于点，得四边形是矩形，然后证明是等腰直角三角形，得，进而可以解决问题； （2）如图2，延长，交于点，证明是等腰直角三角形，，作交于M，则四边形是平行四边形，证明，进而可得结论； （3）如图3，证明四边形是平行四边形，可得，，，根据正方形的性质，结合（2）利用勾股定理可得，设，则，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【解析】（1）解：四边形是正方形， ，， 如图1，作于点，延长，延长线交于点， ， 四边形是矩形， ， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积；    （2）证明：如图2，延长，交于点， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 作交于M， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ；    （3）解：如图3，由（2）知：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， 整理得， ，， 或． 的长为或．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（22-23八年级下·上海浦东新·名校期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．    (1)求点H与点D重合时t的值； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为 ； ②当时，求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①4；②3 【分析】由四边形是菱形，，可得，，，，， （1）点与点重合时，，有，即得； （2）①当在边上，即时，， ②当在边延长线上，即时，设交于，求出，即可得到答案； （3）①当时，证明是的中位线，得是中点，从而可得与重合，此时，与重合，可得到； ②当时，延长交于，证明是的中位线，从而可得，而在中，，，故，即得． 【解析】（1）解：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 当点与点重合时，， ， ； （2）解：①当在边上，即时，如图：   矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积， ， ②当在边延长线上，即时，设交于，如图：   在中，，， ，， ， 矩形与菱形重叠部分图形的面积， 综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积， （3）解：①当时，如图：   四边形是矩形， 是的中点， ， 是的中位线， 是中点， ， 又是中点，， 与重合，此时，与重合， ； 故答案为：4； ②当时，延长交于，如图：   ， ， 是的中点， 是的中位线， 是的中点， ， ， ， 在中，，， ，， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 题型3：根据角度关系求解 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． (1)求的大小； (2)如果，求证：； (3)如果，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，证明，可证明，可求得是等腰直角三角形，据此即可求解； （2）在上截取点，使，连接，证明是等边三角形，再证明，据此即可证明； （3）由已知结合，证明是的角平分线，作于点，据此求解即可． 【解析】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：在上截取点，使，连接， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的角平分线， 作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 7．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【解析】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 题型4：由特殊三角形求解 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）证明，，，可得，．，由勾股定理可得，从而可得答案； （2）证明，结合，，可得．，再建立方程求解即可； （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，②当，如图，再分别画图，建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴． （2）∵四边形是等腰梯形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴，解得，． 即的长题． （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，    ∵， ∴， ∴，解得． 即正方形的面积是1． ②当，如图，    ∵，则， 在中，， ∴，解得． 即正方形的面积是． 综上所述，当是等腰三角形时，正方形的面积是1或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 9．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）在矩形中，，对角线相交于点，过点作分别交射线与射线于点和点，连结． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)当点分别在边和上时，如果设，菱形的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如果是等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质，可证，四边形是平行四边形，再根据，菱形的判定方法即可求解； （2）设，则，根据勾股定理可求出的值，再根据菱形的面积计算方法即可求解； （3）分类讨论：①如图所示，点在上，；②如图所示，点在线段的延长线上时；根据矩形的性质，等边三角形的性质，图形结合分析即可求解． 【解析】（1）解：∵矩形， ∴与互相平分，且， ∴， 在中， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵菱形， ∴，设，则， 在中，， ∴，得，即， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵，且， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为：． （3）解：①如图所示，点在上，，则， ∴， 在中，； ②如图所示，点在线段的延长线上时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴是的垂直平分线，， ∴在中，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形结合分析是解题的关键． 10．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（与点，不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点．    (1)当点落在线段上时（如图所示），设，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (2)在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 【答案】(1)与之间的函数关系式为（） (2)当点在线段上时，不可能是等腰三角形；理由见解析；若点E在线段DC的延长线上，能，的长为 【分析】（1）过点作于，过点作于，连接，交于点，证明≌，得到，再证明和全等，推出，，由正方形的边长得到，表示出，即可求出函数解析式； （2）分两种情况：①若点在线段上，若点在线段的延长线上，根据等腰三角形的性质求解． 【解析】（1）过点作于，过点作于，连接，交于点，    四边形是正方形，，， ， ，， ， 即， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 四边形是边长为的正方形， ， ， ， ， 即与之间的函数关系式为； （2）①若点在线段上，    ， ， ， ． 若为等腰三角形，则， ， ，与矛盾， 当点在线段上时，不可能是等腰三角形； 若点在线段的延长线上，    若是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：等边对等角，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 11．（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知在四边形中，，，平分，交边于点．    (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图2，当时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或． 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，    ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点，    设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 题型5：根据其他数量关系求解 12．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论； （2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得． 【解析】（1）过点作于点，于点，   ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．   ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ，，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 13．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【解析】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 题型6：动点问题 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）作于H，根据全等三角形的性质求出，再根据梯形的面积公式计算即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当点F在线段上时，通过证明，即可解答；②当点F在延长线上时，通过证明，即可解答． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， 适应， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，点M是边的中点， ∴， 设为x，则，， ∴， ∵梯形的面积， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的函数解析式为． （3）解：①当点F在线段上时， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为； ②当点F在延长线上时： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为 综上：点A到线段的距离或． 15．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②连接，由①同理得，，由①知，则，可证明，则，同理可证，得到四边形是平行四边形，由四边形的面积是矩形面积的得到，则，即，求得，得到． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接，    ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）①由（1）知：， 如图2，连接，    ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，    由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 16．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：； (2)当点E落在线段上时（如图所示），设，的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能， 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）过点P作于点G，于点H，证明即可得出结论； （2）（2）连接，证，则有，，然后得出关系式即可； （3）可分点E在线段上和点E在线段的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的的长． 【解析】（1）解：过点P作于点G，于点H， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）解：连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即y与x之间的函数关系式为； （3）解：①若点E在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴． 若为等腰三角形，则， ∴， ∴，与矛盾， ∴当点E在线段上时，不可能是等腰三角形； ②若点E在线段的延长线上， 若是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 题型7：旋转问题 17．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处． (1)如图1，当时，求的面积； (2)设，，求关于的函数关系式和定义域； (3)作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长． 【答案】(1) (2)（） (3)或 【分析】（1）过点作于点，交于点，证明四边形为矩形，易得，，由旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，可求得，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）设，，则，易得，在中，由勾股定理可得，即可获得答案； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，设的平分线与交于点，与交于点，设，则，由勾股定理解得，再证明，由相似三角形的性质可解得，，进而可得，，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值解得，即可确定、的值，然后利用勾股定理计算的长度；②当点在线段上时，设的平分线与交于点，延长交于点，设，则，证明，，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定、的值，然后利用勾股定理计算的长度． 【解析】（1）解：如下图，过点作于点，交于点， ∵四边形为矩形，，，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转，点落在点处， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如下图， 由（1）可知，，四边形为矩形，， ∴，， ∴， 设，，则， ∴， 在中，可有， ∴， ∴关于的函数关系式为（）； （3）分两种情况讨论， ①当点在射线上时，如下图，设的平分线与交于点，与交于点， ∵为的平分线，，， ∴，，， 设，则， ∵四边形为矩形，，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如下图，设的平分线与交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数解析式、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题关键． 题型8：对称问题 18．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，点A关于直线为对称点为，    (1)点落在边上，求的长 (2)点落在线段上，求的长； (3)点到直线的距离等于的长，求的长． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）依据轴对称的性质及矩形的性质即可求得AP的长． （2）由勾股定理先求得A′C的长，再在△CDP中利用勾股定理列出方程，求解x即可（见图）． （3）过A′作BC的垂线，构造多个矩形与直角三角形，然后将所求的量与已知的量集中在同一个直角三角形A′MP即可求解．（见图） 【解析】（1）点落在边上，如下图所示．    ∵点A与点关于对称， ∴． 由得，， ∴． ∴． （2）点落在线段上，如下图．    根据矩形的对边相等可得：． 设．则． ∵点A与点关于对称， ，则． 在直角中，． 在直角中，由勾股定理得： ，即 ∴， 解得：． （3）点到直线的距离等于的长，自点作，垂足为H，则依题意知，．自点作BC的垂线交于点M、交于点N，垂足为点N．则因， ∴，垂足为点N．    ∵点A与点关于对称， ∴，并设． 又四边形、四边形、四边形均有三个角为直角，故均是矩形． ∴． 在直角中，， ∴． 则． ． 在直角△A′MP中， ，，， 由勾股定理得：． 解得：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质应用、矩形的性质应用、勾股定理的应用等知识点，解题的关键将已知条件与待求结果集中在同一个直角三角形内即可求解． 19．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据轴对称的性质可得进而得出，即可得证； （2）延长交于点，当平分时，，进而勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解； （3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，根据等面积法求得，进而求得，勾股定理求得，进而求得，即的长，中，勾股定理，即可求解；当在的下方时，同理可求． 【解析】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， 又，即垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， 当平分时， ∴，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴菱形的周长为， （3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形 ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图所示，当在的下方时， 同理可得：， ， 在中，， 综上所述，或． 题型9：梯形综合 20．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【解析】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 21．（22-23八年级下·上海普陀·期末）在梯形中，，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），连接，过点E作交射线于点F，连接．设，．    (1)求的长； (2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)6； (2)； (3)或或； 【分析】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理： （1）过点作，可得四边形为矩形，利用勾股定理求出的长即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【解析】（1）解：过点作与点，    ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 整理，得：， ∵点E在线段上， ∴， ∴； （3）当点在线段上时， ①当时，如图，过点作与点， ∵，， ∴，    由（1）知，， ∴， 由（2）知：， 当时，，解得：或， 即：或； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； 当点在线段的延长线上时：如图，    则：，， 同法（2）可得：， ∴ 即：， 整理，得：， ∵是以为腰的等腰三角形，则：， 在中：， 在中：， 在中：， 整理，得：， ∵， ∴， 整理，得：， 解得：或（不符合题意舍去）； ∴， 综上：或或． 22．（22-23八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为4或6 ． 【分析】（1）在上截取，连接，首先证明出四边形是平行四边形，然后由平分进而证明出平行四边形是菱形，然后利用得到，即可得到； （2）①设，在中利用勾股定理得到，进而得到，，然后利用梯形面积公式求解即可； ②根据题意分和时两种情况讨论，分别利用矩形和直角三角形的性质求解即可． 【解析】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，    ∵平行四边形是菱形 ∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 【点睛】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．（23-24八年级下·上海·名校期末）如图，已知直角梯形，，过点A作，垂足为点H，，点F是边上的一动点，过F作线段的垂直平分线，交于点E，并交射线于点G．    (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)设，求y与x的函数关系式，并写出定义域． (3)如图2，联结，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)5 (2)， (3)或或． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到；再根据勾股定理建立方程得到，解方程求出，即可求得； （2）连接，得到，根据股沟定理得，，即可得到y与x的函数关系式，再根据即可求出定义域； （3）分别根据，和两种情况展开讨论，当时，得到，再根据建立方程，结合（2）的结论建立方程组，解方程组即可得到答案；当时，建立方程，解方程即可求得答案；当时，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，根据和建立方程，结合（2）的结论建立方程组，解方程组即可得到答案． 【解析】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴；    （2）解：如下图所示，连接，，    ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：当时，如下图所示，过点D作，垂足为M，交于点N，连接，设，    ∵，， ∴点M是的中点，， ∴四边形是矩形， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 根据（2）得，得到， ∴， 解方程得，或， ∴（舍去），或 ∴； 当时，如下图所示，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解方程得（舍去），或， ∴， 当时，如下图所示，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，    ∵点是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∵ ∴， ∵， ∴，   解方程组得（舍去），或 ∴； 故或或． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形、一次函数和一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理建立方程． 24．（23-24八年级下·上海长宁·期末）定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【解析】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 题型10：四边形的坐标应用 25．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【解析】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 26．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【解析】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$