第3节 高中物理涉及到的数学公式-【创新教程】2025年初升高物理衔接教材一本通

　　　　第三节　高中物理涉及到的数学公式 一、锐角三角函数 (一)锐角三角函数的定义 １．直角三角形的三条边 如图所示,在直角 三 角 形 △ABC 中,∠C 是 直 角． 则 AC,BC 叫 作 直角边,AB 叫作斜边．∠A,∠B 都是锐 角．对于∠A 来说,AC 叫作∠A 的邻边, BC叫作∠A 的对边． ２．锐角三角函数 初中几何课本中给出锐角三角函数的定 义,是依据这样一个基本事实:在直角三 角形中,当锐角固定时,它的对边、邻边 与斜边的比值是一个固定的值． 关于这点,我们参考 右图．图中的直角三 角形 AB１C１,AB２C２, AB３C３,􀆺,都有一个 相等的锐角A,即锐角A 是一个固定值． 如图所示,许许多多直角三角形中相等 的那个锐角叠合在一起,并使一条直角 边落在同一条直线上,那么斜边必然都 落在另一条直线上． 不难看出: B１C１//B２C２//B３C３//􀆺, △AB１C１∽△AB２C２∽△AB３C３∽􀆺, B１C１ AB１ ＝ B２C２ AB２ ＝ B３C３ AB３ ＝􀆺． 因此在这些直角三角形中,∠A 的对边 与斜边的比值是一个固定的值． 根据同样道理,由“相似形”知识可以知 道,在这些直角三角形中,∠A 的对边与 邻边的比值,∠A 的邻边与斜边的比值 都分别是某个固定的值． 这样在△ABC中,∠C 为直角,我们把锐 角A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正 弦,记作sinA;锐角A 邻边与斜边的比 叫作∠A 的余弦,记作cosA;锐角A 的 对边与邻边的比叫作∠A 的正切,记作 tanA;锐角 A 的邻边与对边的比叫作 ∠A 的余切,记作cotA,于是我们得到 锐角A 的四个三角函数． 三角函数定义如下 设∠A＝α,并令AC＝x,BC＝y,AB＝r, 则α的四个三角函数值定义为: ∠A的正弦sinα＝∠A 的对边 斜边 ＝ BC AB＝ y r , ∠A的余弦cosα＝∠A 的邻边 斜边 ＝ AC AB＝ x r , ∠A的正切tanα＝∠A 的对边 ∠A的邻边＝ BC AC＝ y x , ∠A的余切cotα＝∠A 的邻边 ∠A的对边＝ AC BC＝ x y , ∠A 的正弦、余弦、正切、余切统称为三 角函数(高中数学还将会学到其他的三 角函数名称)． (二)锐角三角函数的主要性质 １．三角函数值只是一个比值,由角的大小 唯一确定,与直角三角形的边长无关． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６ 物 理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中物理学习入门 ２．sinα、cosα、tanα、cotα均为正值． ３．当０＜α＜９０°时,正弦与正切函数为增函 数;余弦与余切函数为减函数． ４．对于同一个角α,存在如下的关系 (１)平方和关系: sin２α＋cos２α＝ yr æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ xr æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ y２＋x２ r２ ＝r ２ r２ ＝１; (２)比值的关系: sinα cosα＝ y r x r ＝yx＝tanα , cosα sinα＝ x r y r ＝xy＝cotα , 倒数关系: tanα＝ １cotα ;　cotα＝ １tanα ; 所以tanα×cotα＝１． ５．若α、β互为余角,则有: sinα＝cosβ,cosα＝sinβ,tanα＝cotβ, cotα＝tanβ． ６．互补角和互余角关系式 (１)sin(１８０°－θ)＝sinθ; cos(１８０°－θ)＝－cosθ; tan(１８０°－θ)＝－tanθ; cot(１８０°－θ)＝－cotθ． (２)sin(９０°－θ)＝cosθ; cos(９０°－θ)＝sinθ; tan(９０°－θ)＝cotθ; cot(９０°－θ)＝tanθ． (三)０~９０°之间的特殊角的各三角函数值 　高中物理计算中经常用到 ０、３０°、３７°、 ４５°、５３°、６０°、９０°的角的三角函数的值．现 把这些值列在下面的表格中,这些值都 是要求记忆的．其他角度的三角函数的 值可以查数学用表或用计算器来算． 角度 θ 正弦 (sinθ) 余弦 (cosθ) 正切 (tanθ) 余切 (cotθ) ０ ０ １ ０ ３０° １２ ３/２ ３/３ ３ ４５° ２/２ ２/２ １ １ ６０° ３/２ １/２ ３ ３/３ ９０° １ ０ ０ １２０° ３/２ － １ ２ － ３ － ３/３ １３５° ２/２ － ２/２ －１ －１ １５０° １/２ － ３/２ － ３/３ － ３ １８０° ０ －１ ０ ２７０° －１ ０ ０ ３７° ０．６ ０．８ ３/４ ４/３ ５３° ０．８ ０．６ ４/３ ３/４ 　表格中的３７°和５３°角 同学们在初中很少遇 到,但我们在高中物理 中经常要用到它们．其实这两个角也是 大家很熟悉的,还记得“勾３股４弦必５” 吧? 在这个直角三角形中,长为５的边 所对的角是直角,长为３的边所对的锐 角就是３７°,长为４的边对的角就是５３°． 二、正、余弦定理 １．正弦定理 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R (R 为三角形 外接圆半径)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ 第一部分 ２．余弦定理 a２＝b２＋c２－２bccosA, b２＝a２＋c２－２accosB, cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ． 三、直线方程 直线y＝kx＋b的图线如图 所示． １．直 线 的 斜 率:k＝ΔyΔx＝ tanθ． ２．纵截距y０ 和横截距x０ 直线与x、y轴的 交点A、B 到原点O 的距离就是横截距 x０ 和 纵 截 距 y０,分 别 等 于 y＝０ 和 x＝０时x的值、y的值,即x０＝－ b k , y０＝b． 应用:直线的斜率k和纵横截距是图像问 题的重要手段和方法． 四、一元二次函数ax２＋bx＋c＝０ １．顶点坐标公式:－b２a ,４ac－b ２ ４a é ë êê ù û úú． ２．判别式:Δ＝b２－４ac (１)Δ＞０,y＝ax２＋bx＋c图像与x 轴有两 个交点; (２)Δ＝０,y＝ax２＋bx＋c图像与x 轴有且 只有一个交点; (３)Δ＜０,y＝ax２＋bx＋c图像与x 轴没有 交点． ３．配方:y＝ax＋b２a æ è ç ö ø ÷ ２ ＋４ac－b ２ ４a ． 应用:主要用于解决极值问题,尤其判别 式法,它是一种非常有效的方法,如解答 追及问题． 五、角的弧度制表示 １．弧度制———另一种度量角的单位制 角的单位,除了我们熟知的“度、分、秒” 以外,还可以用另一个单位———弧度．它 的单位是“弧度”,记作rad,读作弧度． 在一个圆中,圆心角的弧度值等于圆弧 的长度除以圆的半径．所以当圆弧的长 度等于圆的半径长度时,这段圆弧所对 的圆心角称为１弧度的角．如图: 　　∠AOB＝１rad　∠AOC＝２rad ２．角度制与弧度制的换算 显然,一个平角对应的弧长就是一个“半 圆”,如果这个圆的半径是R,那么这段弧 长就是πR,所以,１８０°的角用弧度做单位 就是１８０°＝Rπ/R＝π弧度,即πrad．这 个关系式可以作为角度与弧度的换算关 系式． 由上述关系式可知: １８０°＝πrad ３６０°＝２πrad １°＝ π１８０rad≈０．０１７４５rad １rad＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°≈５７．３０°＝５７°１８′ 今后在具体运算时,“弧度”二字和单位 符号“rad”可以省略不写．例如:３表示 ３rad,sinπ表示πrad角的正弦． 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该 记住．你能自己推出３０°、４５°、６０°、９０°、１２０°、 １５０°分别等于多少rad了吧! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８ 物 理