数学（广东广州卷专用）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据“正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值是它的相反数”可知负数的绝对值是正数，一定大于它本身，只需找出选项中的负数即可． 【详解】解：A、，等于本身，故A不符合题意； B、，大于本身，故B符合题意； C、，等于本身，故C不符合题意； D、，等于本身，故D不符合题意． 故选：B ． 2．“杨辉三角”“洛书”“赵爽弦图”“中国七巧板”四个图形中，属于中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 4．已知，下列不等式中，一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案．本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键． 【详解】A．∵，∴，故选项错误，不符合题意； B．∵，∴的大小关系不明确，故选项错误，不符合题意； C．∵，∴，故选项错误，不符合题意； D．∵，∴，故选项正确，符合题意． 故选D． 5．2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．本次调查的样本容量是500 B．本次调查的学生成绩在分之间的人数是10 C．本次调查的学生成绩的中位数落在分之间 D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本容量，用样本估计总体等知识，根据样本容量，中位数的定义，用样本估计总体逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、本次调查的样本容量是50，故选项不符合题意； B、本次调查的学生成绩在分之间的人数是，故选项不符合题意； C、把本次调查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在中间的两个数都在分之间，所以本次调查的学生成绩的中位数落在分之间，故选项符合题意； D、估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是人，故选项不符合题意； 故选：C． 6．一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，首先理解题意找出题中存在的等量关系：售价−−进价==利润，根据等量关系列方程即可，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应弄清楚两次单位“1”的不同． 【详解】解：设这种自行车每辆的进价是元，由题意可得， 故选：D． 7．如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，等角对等边，勾股定理等知识；由角平分线的概念及平行线的性质得，，由勾股定理得从而可求得的周长． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的周长为． 故选：D． 8．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据题意可知，，，据此判断函数的图象大致位置即可． 【详解】解：根据图示可知，，，， ∴，对称轴，， ∴函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交， 故选：B． 9．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 10．如图，等边的边长为3，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，扇形的面积公式，勾股定理， 先连接，根据题意可得，进而得出，再根据勾股定理得，然后根据面积相等求出，最后根据 得出答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据等边三角形和圆的对称性， 可得点A，O，F三点共线， ∴. ∵是等边的内切圆， ∴. ∵等边的边长为3， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. 则， 解得. 故选：A. 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，，分别平分，，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．熟练掌握并能灵活运用判定与性质是解题的关键．利用两直线平行，内错角相等和角平分线定义进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作，过作， ∴， ∴，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， 即， 故答案为：． 12．如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压，若线路的电流， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V． 【答案】115 【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为，代入中即可求值． 【详解】∵三个电阻阻值分别为， ∴ V， 故答案为：． 13．如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ， ， 的周长， 故答案为：． 14．已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程．根据新运算可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 16．如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】过C作，过作轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点在上，求出点的坐标及相关线段长度， 依据线段旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点的坐标，最后根据点在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过作于，过作轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ，点横坐标为． 又∵点在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程首先进行去分母，将分式方程转化成整式方程，然后进行求解，最后进行验根． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，原方程的解为． 18．平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 19．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤平行且相等 【分析】本题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可； （2）利用平行四边形的性质证明，得到，利用垂线的定义，再根据平行线的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 以点为圆心，任意长度半径画弧，与相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在的另一侧相交，最后用直尺连接点与两弧的交点，得到． （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∴②（垂线的性质）． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③（全等三角形的性质）． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④（角的等量代换）． ∴． ∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等． 20．已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的周长为，面积为 【分析】（1）根据题意只需证明即可； （2）由根与系数的关系得到，再有勾股定理和矩形的性质得到，即，进而可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）解：和是方程的两个根， ， 矩形的对角线长， ，即， ， 整理得：， 解得：， ， ， ， 矩形的周长为：， 矩形的面积为：． 【点睛】本题考查了接一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 21．为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： (1)九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人； (2)补全条形统计图． (3)九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】(1)50，108，150 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量计算即可，根据圆心角的计算方法解答即可，利用样本估计总体的思想解答即可； （2）计算所缺数据补图即可； （3）画树状图，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 (人)， 扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为， 做饭的人数为： (人)， 故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人 故答案为：50，108，150． （2）做饭的人数为： (人)， 补图如下： ． （3）解：根据题意，有女生3名，男生1名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，有男的可能性有6种， 故有男生的概率是 【点睛】本题考查了样本容量，圆心角的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 22．如图是小明同学测量一幢建筑物的示意图．在距离建筑物底端点10米的点处放置高度为米的测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为；在距离建筑物底端点4米的点处放置另一个测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为．图中点、、、、、都在同一平面内，且于点，于点，于点，点在线段上． (1)求建筑物的高度（结果保留根号）； (2)求测量仪比测量仪高多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线把实际问题转化为解直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，易证四边形为矩形，然后在中利用求得，最后由即可得到答案； （2）过点作于点，同（1）可求得，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示， ，，米，米， 四边形为矩形， 米，米， ，， （米）， （米）， 答：建筑物的高度为米． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，米， 四边形为矩形， ，米， ，， （米）， 由（1）可知，（米） （米）， （米）， 答：测量仪比测量仪高米． 23．列表法、解析式法、图象法是函数的三种表示方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．如表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． x a 1   a 1 7 (1)求k，a，b的值，并补全表格； (2)结合表格，写出与的交点坐标； (3)直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B，求的长．（用含n的代数式表示，要求化简） 【答案】(1)，，，补全表格见解析 (2)与的交点坐标为， (3) 【分析】本题考查了待定系数系数法，两点间的距离公式，二次函数与一次函数交点情况，解题的关键在于根据表格得到需要的信息． （1）根据表格中的数据，利用待定系数系数法求出k、a、b的值，进而补全表格，即可解题； （2）根据表格中的数据可直接得出结论； （3）根据题意判断出点B在点A的左侧，并分别表示出点B与点A的横坐标，根据两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】（1）解：当，， ， 当，则， 即， 当，， 解得，， 综上所述，，，； 即，， ， 当时，，当时，， 故补全表格如下： x 1 1 7 7 （2）解：由表格可知与的交点坐标为，； （3）解：直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B， 结合解析式与交点可知点B在点A的左侧， 有，， 解得，， ． 24．【数学经验】 我们在人教版（2013年版）第56页探究出菱形的一个性质：菱形的两条对角线互相垂直． 运用这个性质，在解答例3过程中得到菱形面积的另一种求法． 如图1，菱形中，对角线相交于点O，则． 【初步探索】 善于思考的甲同学想：对于两条对角线互相垂直的任意四边形，已知它的两条对角线长，是否也可以求出它的面积呢？并进行了探究．（完成填空，不需要说理） （1）如图2，是四边形的对角线，且于点O． ①特例验证：若，求； （若能求，则直接写出结果，若不能，请说明理由） ②类似的，若，则______． ③拓展应用：如图3，中，，点D，E分别在上，且，连接．求的值． 【深入探究】 爱动手操作的乙同学把图2按照下面步骤进行操作（如图4）： 第一步，将四边形沿所在直线剪开，得，； 第二步，将沿所在直线向右平移，使点A与点C重合； 第三步，将绕点A顺时针旋转，当点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切时停止旋转． （2）根据乙同学的操作，解答下列问题． 第三步中，若，，求的长． 【答案】（1）①64；②；③528；（2） 【分析】（1）①根据解答，即可；②根据解答，即可；③延长至点F，使．延长至点G，使．根据题意可得，即可； （2）根据切线的性质可得，根据勾股定理可得．，．由第一步、第二步操作可知：，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：． ③解：延长至点F，使．延长至点G，使． ， ． ，，． ． ，， ． （2）解：∵点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切， ． 在中，由勾股定理，得． 同理：，． 由第一步、第二步操作可知：． ． ． ． 【点睛】本题主要查切线的性质，菱形的性质，勾股定理，求三角形的面积，熟练掌握切线的性质，勾股定理是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)与的积为定值，定值为2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为：设，过作，交于，求出，进而求出，利用而阐述的性质即可解答； （3）设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立：，求出，求出直线的解析式为，进而求出，同理：，即可解答． 【详解】（1）解：由题意的： 抛物线的表达式为：； （2）解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时； （3）解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 2．“杨辉三角”“洛书”“赵爽弦图”“中国七巧板”四个图形中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式中，一定成立的是（  ） A． B． C． D． 5．2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．本次调查的样本容量是500 B．本次调查的学生成绩在分之间的人数是10 C．本次调查的学生成绩的中位数落在分之间 D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 6．一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 8．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 9．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 10．如图，等边的边长为3，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，，分别平分，，若，则的度数是 ． 12．如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压，若线路的电流， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V． 13．如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为 ． 14．已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 15．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是 ． 16．如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程：． 18．平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 19．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 20．已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． 21．为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： (1)九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人； (2)补全条形统计图． (3)九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 22．如图是小明同学测量一幢建筑物的示意图．在距离建筑物底端点10米的点处放置高度为米的测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为；在距离建筑物底端点4米的点处放置另一个测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为．图中点、、、、、都在同一平面内，且于点，于点，于点，点在线段上． (1)求建筑物的高度（结果保留根号）； (2)求测量仪比测量仪高多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 23．列表法、解析式法、图象法是函数的三种表示方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．如表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． x a 1   a 1 7 (1)求k，a，b的值，并补全表格； (2)结合表格，写出与的交点坐标； (3)直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B，求的长．（用含n的代数式表示，要求化简） 24．【数学经验】 我们在人教版（2013年版）第56页探究出菱形的一个性质：菱形的两条对角线互相垂直． 运用这个性质，在解答例3过程中得到菱形面积的另一种求法． 如图1，菱形中，对角线相交于点O，则． 【初步探索】 善于思考的甲同学想：对于两条对角线互相垂直的任意四边形，已知它的两条对角线长，是否也可以求出它的面积呢？并进行了探究．（完成填空，不需要说理） （1）如图2，是四边形的对角线，且于点O． ①特例验证：若，求； （若能求，则直接写出结果，若不能，请说明理由） ②类似的，若，则______． ③拓展应用：如图3，中，，点D，E分别在上，且，连接．求的值． 【深入探究】 爱动手操作的乙同学把图2按照下面步骤进行操作（如图4）： 第一步，将四边形沿所在直线剪开，得，； 第二步，将沿所在直线向右平移，使点A与点C重合； 第三步，将绕点A顺时针旋转，当点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切时停止旋转． （2）根据乙同学的操作，解答下列问题． 第三步中，若，，求的长． 25．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8分） 21（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D D C D D B A A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. /度 12. 115 13. 32 14．1 15．/ 16． 三、解答题（本大题共个9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：去分母得， 去括号得，（2分） 移项合并得，（4分） 解得，（5分） 经检验，原方程的解为．（6分） 18． （6分） 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴．（6分） 19． （8分） 【详解】（1） 解： 以点为圆心，任意长度半径画弧，与相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在的另一侧相交，最后用直尺连接点与两弧的交点，得到．（3分） （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∴②（垂线的性质）． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③（全等三角形的性质）． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④（角的等量代换）． ∴． ∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等．（8分） 20． （8分） 【详解】（1）证明：在中，， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根；（3分） （2）解：和是方程的两个根， ， 矩形的对角线长， ，即， ， 整理得：， 解得：， ， ， ， 矩形的周长为：， 矩形的面积为：．（8分） 21． （8分） 【详解】（1）解：根据题意，得 (人)， 扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为， 做饭的人数为： (人)， 故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人 故答案为：50，108，150．（3分） （2）做饭的人数为： (人)， 补图如下： ．（5分） （3）解：根据题意，有女生3名，男生1名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，有男的可能性有6种， 故有男生的概率是（8分） 22． （8分） 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示， ，，米，米， 四边形为矩形， 米，米， ，， （米）， （米）， 答：建筑物的高度为米．（4分） （2）解：过点作于点，如图所示， ，，米， 四边形为矩形， ，米， ，， （米）， 由（1）可知，（米） （米）， （米）， 答：测量仪比测量仪高米．（8分） 23． （8分） 【详解】（1）解：当，， ， 当，则， 即， 当，， 解得，， 综上所述，，，； 即，， ， 当时，，当时，， 故补全表格如下： x 1 1 7 7 （3分） （2）解：由表格可知与的交点坐标为，；（5分） （3）解：直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B， 结合解析式与交点可知点B在点A的左侧， 有，， 解得，， ．（8分） 24． （10分） 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：． ③解：延长至点F，使．延长至点G，使． ， ． ，，． ． ，， ．（5分） （2）解：∵点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切， ． 在中，由勾股定理，得． 同理：，． 由第一步、第二步操作可知：． ． ． ．（10分） 25． （10分） 【详解】（1）解：由题意的： 抛物线的表达式为：；（2分） （2）解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时；（6分） （3）解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2．（10分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 姓 名： ) ( 准考证号 ： ) ( 注意事项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 形码上的姓名 、准考证号 ，在规定位置贴好条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔 答题 ， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整 、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超 出区域书写的答案无 效；在草稿纸 、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁 ，不要折叠 、不要弄破。 )2025 年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 第Ⅰ 卷(请用 2B 铅笔填涂) 一、选择题（每小题 3 分，共 30分） 1. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ 卷 二、填空题（每小题 3分，共18分 ） 11. ________________ 12. ________________ 12. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共 9个小题，共72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18. （6分） 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8分） 21. （8分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （8分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （10分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 2．“杨辉三角”“洛书”“赵爽弦图”“中国七巧板”四个图形中，属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式中，一定成立的是（  ） A． B． C． D． 5．2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（　　） A．本次调查的样本容量是500 B．本次调查的学生成绩在分之间的人数是10 C．本次调查的学生成绩的中位数落在分之间 D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 6．一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 8．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 9．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 10．如图，等边的边长为3，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，，分别平分，，若，则的度数是 ． 12．如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压，若线路的电流， 三个电阻阻值分别为， 则电压为 V． 13．如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为 ． 14．已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 15．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是 ． 16．如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程：． 18．平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 19．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 20．已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． 21．为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题： (1)九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人； (2)补全条形统计图． (3)九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 22．如图是小明同学测量一幢建筑物的示意图．在距离建筑物底端点10米的点处放置高度为米的测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为；在距离建筑物底端点4米的点处放置另一个测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为．图中点、、、、、都在同一平面内，且于点，于点，于点，点在线段上． (1)求建筑物的高度（结果保留根号）； (2)求测量仪比测量仪高多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 23．列表法、解析式法、图象法是函数的三种表示方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．如表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． x a 1   a 1 7 (1)求k，a，b的值，并补全表格； (2)结合表格，写出与的交点坐标； (3)直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B，求的长．（用含n的代数式表示，要求化简） 24．【数学经验】 我们在人教版（2013年版）第56页探究出菱形的一个性质：菱形的两条对角线互相垂直． 运用这个性质，在解答例3过程中得到菱形面积的另一种求法． 如图1，菱形中，对角线相交于点O，则． 【初步探索】 善于思考的甲同学想：对于两条对角线互相垂直的任意四边形，已知它的两条对角线长，是否也可以求出它的面积呢？并进行了探究．（完成填空，不需要说理） （1）如图2，是四边形的对角线，且于点O． ①特例验证：若，求； （若能求，则直接写出结果，若不能，请说明理由） ②类似的，若，则______． ③拓展应用：如图3，中，，点D，E分别在上，且，连接．求的值． 【深入探究】 爱动手操作的乙同学把图2按照下面步骤进行操作（如图4）： 第一步，将四边形沿所在直线剪开，得，； 第二步，将沿所在直线向右平移，使点A与点C重合； 第三步，将绕点A顺时针旋转，当点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切时停止旋转． （2）根据乙同学的操作，解答下列问题． 第三步中，若，，求的长． 25．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$