精品解析：四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级下学期4月诊断模拟数学试题

2025年春初三年级诊断性考试 数学试题 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷共6页，两个部分，共26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 在同一条数轴上，下列各数离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体的俯视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 某中学从初中部随机抽取了50名学生对“每月阅读图书册数”进行调查，统计结果如下表，关于册数的这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 人数 5 10 15 20 A. 中位数是2.5 B. 众数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1.2 6. 如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 8. 已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 64的平方根是__________． 12. 据统计，广元市2024年全年粮食播种面积万亩，比上年增长．数据万用科学记数法表示为_______． 13. 如图，已知的对角线与 相交于点，将 沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为_______． 14. 若实数满足，则的值为_______． 15. 如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是_______． 16. 点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再从，，， 中选取一个合适的数作为x的值，代入求值． 19. 如图，在中，平分，交 于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 20. 某学校为丰富课后服务内容，开设了足球、篮球、乒乓球、跳绳、排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______； （2）若全校共有名学生，请估计喜爱“排球”课程的学生人数； （3）在汇报展示中，甲同学从“篮球”课程中分别标有“运球”“定点投篮”“三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率． 21. 走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”．如图1是某杂技演员正在表演走钢丝，其示意图如图2，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．表演过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点时，下降的高度（结果精确到）． 22. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 （1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； （2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． （1）求直线 的函数解析式； （2）根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； （3）已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 24. 如图， 是的直径，点为上一点，过点作的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若的半径为10，，求的长． 25. 【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使 与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想 ，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接 ，分别交，于点，．若恰好为线段 上靠近点的三等分点，求线段的长． 26. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线 于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春初三年级诊断性考试 数学试题 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷共6页，两个部分，共26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 在同一条数轴上，下列各数离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的几何意义，即一个数在数轴上到原点的距离，到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 画出数轴，根据数轴即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，距离原点最近的数是． 故选：D． 2. 下列几何体的俯视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：选项A的俯视图是正方形，故本选项不符合题意； 选项B的俯视图是三角形，故本选项不符合题意； 选项C，圆柱的俯视图是圆，故本选项符合题意； 选项D的俯视图是梯形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则，积的乘方，平方差公式，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 根据整式的加减运算法则、积的乘方、平方差公式，逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，故该选项符合题意； B、，原式计算错误，故该选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，原式计算错误，故该选项不符合题意． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据判断一元二次方程根的情况，先根据一元二次方程得到判别式，根据判别式的取值得到根的情况，根据判别式的大小得到根的情况是解题的关键． 【详解】解：根据一元二次方程可得到判别式为， ∵恒成立， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 5. 某中学从初中部随机抽取了50名学生对“每月阅读图书册数”进行调查，统计结果如下表，关于册数的这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 人数 5 10 15 20 A. 中位数是2.5 B. 众数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数及众数，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题的关键．根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：∵抽取了50名学生， ∴中位数为第25，26人的阅读数量，由表格可得：中位数为，故A错误，不符合题意； 由表格可得阅读3册的人数最多，故众数为3，故B错误，不符合题意； 平均数为，故C正确，符合题意； 方差为：，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．过点作，由平行公理的推论得出，根据等边三角形的性质得出，据平行线的性质得出，再由平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 直线， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 7. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 8. 已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系． 设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，根据两队合作12天完成，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天， 依题意得， 故选：A． 9. 如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理．求出的度数是解题的关键．连接．根据圆内接四边形的性质以及，求出．根据圆周角定理得出，那么，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接． 四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴的长度为． 故选：B． 10. 如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，则可对①③⑤进行判断；当时，有最小值可对②进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当或时，，利用函数图象得到抛物线不在直线的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过计算，得到，根据，，求得，可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，所以⑤正确， ， 即， ，，， ，所以①正确； ，， ，所以③正确； 当时，有最小值， 对于任意的，均有，所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 当或时，， 当时，或，所以④错误； ， ∵，， ∴，， ∴， 解得，所以⑥错误， 综上，正确的有3个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 64的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 12. 据统计，广元市2024年全年粮食播种面积万亩，比上年增长．数据万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即的形式，，为整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 先将万变形为，再根据科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：万， 万用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ． 根据折叠的性质知，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ． 故答案为：． 14. 若实数满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的化简与求值，整体代换的思想，熟练掌握代数式的化简是解题关键． 根据题意，将变形为，将变形为，把代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 将代入，得：， ． 故答案为：． 15. 如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线 ，交函数图象于点C，则点C的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入，求得，则，设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴， 设点， 如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 由作图方法可知，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 16. 点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点C，连接，作于B，且，连接，构造，推出，进而可得点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，因此求的最小值转化为求点A到距离的最值，可知当点M，O，A共线时，取最小值． 【详解】解：点P在平面内一动点，，， 点P在以为直径的圆上， 取中点C，连接，作于B，且，连接， ，， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当点P在上方时，点M在以点O为圆心，3为半径的圆上， 当点M，O，A共线时，取最小值， ， 的最小值， 当点P在下方时，同理可得的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、求一点到圆上距离的最值、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，有一定难度，求出点M的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂的运算，零指数幂运算和三角函数值的运算，熟练掌握运用法则是解题的关键． 先化简绝对值，负整数指数幂的运算，零指数幂运算和三角函数值的运算，再进行实数的运用即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为x的值，代入求值． 【答案】；或 ，或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先利用分式的运算法则化简，再取一个使分式有意义的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， 且， 且， 当时，．（或当 时，，答案不唯一）． 19. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交， 于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图：即为所求； （2） 平分， ， 的垂直平分线， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握两项的判定定理及勾股定理是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某学校为丰富课后服务内容，开设了足球、篮球、乒乓球、跳绳、排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______； （2）若全校共有名学生，请估计喜爱“排球”课程的学生人数； （3）在汇报展示中，甲同学从“篮球”课程中分别标有“运球”“定点投篮”“三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率． 【答案】（1）补全条形统计图如下， （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了调查与统计的相关概念与计算，圆心角度数的计算，条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，运用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，熟练掌握列表或画树状图的方法运用是解题关键． （1）根据跳绳的人数、百分比求得抽样人数，再根据乒乓球的人数，即可求解所对应的圆心角度数； （2）根据样本百分比估算总体数量的计算方法即可求解； （3）运用列表或画树状图的方法把所有可能的结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为， （人）， 本次调查共抽取了名学生， ∴喜爱“篮球”的人数为：（人）， 补全条形统计图略； 抽样中，乒乓球的有人， 对应的圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：抽样中排球的人数是人， 人， 估计喜爱“排球”课程的学生人数约为人． 【小问3详解】 解：运用画树状图的方法把所有可能的结果表示如下： 共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有、、、，，共种， 甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率为． 21. 走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”．如图1是某杂技演员正在表演走钢丝，其示意图如图2，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．表演过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点时，下降的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）在中，，代入数据即可求解； （2）解：过点作于点，在中，得出，在中，得出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ， 则的长为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． 为钢丝中点，， ． 在中，， ， ． 在中，， ， 则杂技演员从点C走到点F时，下降的高度约为． 22. 随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 （1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； （2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 【答案】（1）该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元 （2）当线下采购该水果时最省钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的销售量和总收入，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元； 【小问2详解】 解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果， 根据题意得：， 解得：． 设该公司采购该水果共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． ∴ ∴当线下采购100kg时，该水果时最省钱． 答：当线下采购该水果时最省钱． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． （1）求直线的函数解析式； （2）根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； （3）已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，，根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方， 又∵， ∴由图象可知． 故答案为：； 【小问3详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ，， 四边形的面积 ． 24. 如图，是的直径，点为上一点，过点作 的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接交 于点． （1）求证：． （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得；由得，从而有；再由同弧对的圆周角相等得，从而得结论成立； （2）连接 ，由余弦函数关系可求得，进而由勾股定理求得 ；由垂径定理及线段垂直平分线的性质得，再证明，得,设，则，在中，由勾股定理建立方程，可求得的值，从而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ，如图所示， ∵是的直径，的半径为10， ∴，． ∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设，则． ∵在中，， ∴， ∴ （负值已舍去）， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等，垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及锐角三角函数等知识，涉及到较多的知识点，正确应用这些知识是解题的关键． 25. 【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边 ，上，，连接，试猜想， ，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故， ，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边 上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）； （2）； 理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 在中，， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明思路可得答案； （2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，证明，即可解答； （3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，结合（2）中的结论，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）正方形的边长为， ， ． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 26. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②的值为或5 【解析】 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接 ，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． 【小问2详解】 解：①∵， 令 ，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接 ，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $