精品解析：2025年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级二模联考数学试题

2025年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级二模联考数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握负数的大小比较方法是解题的关键． 根据负数比较大小中，绝对值越大数字越小进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2. 据统计：年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中 ，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1． 【详解】解：万， 故选：B． 3. 下列计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方运算，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形如下： 故选：C． 5. 已知半径为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．解题的关键是掌握扇形面积计算的公式：在半径为的圆中，圆心角为的扇形的面积为．据此将数据代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为， ∴该扇形的面积为：． 故选：C． 6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 它与直线没有交点 B. 随着的增大而增大 C. 图象位于第一、三象限 D. 图象经过点，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：经过二，四象限，经过一，三象限，它与直线没有交点，故A正确； B：在每一个象限内才会随着的增大而增大，故B错误； C：经过二，四象限，故C错误； D：把代入可得：，解得：或，故D错误； 故选：A． 7. 如图，在等腰中，，点为的内心，连接交于点，连接交于点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、内心定义、解直角三角形，角平分线定理及相似三角形的应用．根据题意得到，结合等腰三角形的三线合一得到，证出，利用相似三角形的性质和解直角三角形得出结果即可． 【详解】解：∵点为的内心， ∴， 由于也是等腰三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分别代入和计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， 综上所述，，， 故选：D． 9. 如图，正方形按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点在边上，且，连接交于点，连接，则下列结论中，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等待，对于A选项，可证明得到；对于B选项，延长到，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到；对于C选项，设，则，求出，再由，得到，据此可得，则，同A选项可证明；对于D选项，可证明，由B选项的证明过程可知，只有当时才能证明结论，故D选项结论错误，符合题意． 【详解】解：当时，则，即， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； 当时，如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B结论正确，不符合题意； 当时，设，则， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴同A选项可证明，故C结论正确，不符合题意； 由正方形的性质可得， ∴， ∵， ∴， 由B选项的证明过程可知，只有当时才能证明结论， 故D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，连接，若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 取中点，绕点逆时针旋转至，连接，可得点在以点为圆心，长为直径的圆上，，然后证明，所以，即有，当三点共线时，有最小值，设，则，，再通过勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取中点，绕点逆时针旋转至，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，长为直径的圆上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握相关运算法则是解题的关键． 根据开平方运算和零指数幂的运算法则化简运算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小：_____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据题意求得，由，即可得出，解方程求得的值，从而求得． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数与正比例函数的中心对称性，正确表示出的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，的面积为， ∴、关于原点对称， ∴， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，4个全等的矩形按如图方式排列，四个点在同一条直线上． （1）的度数为____________； （2）若，则的值为____________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质； （1）利用矩形对边平行以及三角形的外角求解即可； （2）过作交延长线于，证明，则，设矩形的宽为，则，再在两个直角三角形和中求出，，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）如图所示，延长、所在的矩形边长交于、， ∵4个全等的矩形， ∴，，，， 由图可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）过作交延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， 设矩形的宽为，则， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 解得，（负值已舍去）， ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，利用去分母，移项，合并同类项的步骤解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 16. 某景区2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长，省内与省外游客分别按和的比例增长，求2023年的省内、省外游客各为多少万人？ 【答案】省内游客为360万人，省外游客为120万人 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设2023年省内游客为万人，省外游客为万人，根据2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长，省内与省外游客分别按和的比例增长，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设2023年省内游客为万人，省外游客为万人， 由题意得， 解得， 答：2023年省内游客为360万人，省外游客为120万人． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； （2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） （3）画出格点，使得． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 如图所示，线段即为所求； （3） 格点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，平移作图，三角函数的比值关系，熟悉各性质是解题的关键． （1）由旋转性质作图即可； （2）由平移性质作图即可； （3）设，，利用三角函数的比值关系求出的值后即可找到的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对图形进行以下标注： ∵为等腰直角三角形， ∴， 过点作关于点的对称点，则此时为等腰直角三角形， ∴， ∴， 作直线， 当点在上时， 设则， 解得：， ∴在中，，即， 解得：， ∴， 当为等腰直角三角形的斜边时，设直角边长为，则， 解得：， ∴即点向下四个单位，向左四个单位即可得到一个点． 18. 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 （1）写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； （2）根据以上的规律计算出结果：． 【答案】（1）； （2）7125 【解析】 【分析】本题主要考查整式数字类规律探索； （1）根据题意，总结出规律即可求出； （2）根据总结出的规律进行运算求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，第4个等式为：， 第个等式为：； 故答案为：；． 【小问2详解】 解： 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求解即可； （2）利用三角函数的比值关系运算出的长，即可通过求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， 又∵， 在中，， ∴． 20. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即， ，而点在圆上， 为的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定及性质，解直角三角形的相关知识． （1）连接，由得，由得，再根据可得，即可得出结论； （2）先由已知证明，即可得，设，则，，，，再由勾股定理可求出x和的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 设，则， ∴， ∵， ∴， ， 在中，， ∴， 解得， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按下表进行整理．（成绩用x分表示） 测试成绩 级别 及格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据所给的信息解答下列问题： （1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为__________人，并补全条形统计图； （2）下列结论一定正确的是__________； ①所抽取学生的平均成绩为85分；②这组数据的中位数一定在良好级别里；③这组数据的众数一定在优秀等级里； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人去参加区级测试，试求恰好选中1男1女的概率． 【答案】（1）80； 补全条形统计图如下： （2）② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，平均数、中位数、众数的定义，树状图或列表法求概率． （1）根据优秀的人数和所占的百分比即可求出此次调查的学生的人数，用总人数减去其它组的人数求出良好的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据平均数、中位数、众数的定义逐个判断即可； （3）根据题意画出树状图，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：参加此次调查的学生的人数为（人）， 良好的人数为（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：①没有学生成绩的具体数据，所以所抽取学生的平均成绩不确定，故①不一定正确； ②中位数是成绩从低到高排列的这组数据的第40、41个数据的平均值，这组数据的中位数一定在良好级别里，②一定正确； ③没有学生成绩的具体数据，所以众数不能确定，故③不一定正确； 故答案为：②； 【小问3详解】 解：画出树状图如下： 共有12种等可能情况，其中选中一男一女有8种可能， 选中一男一女的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形中，，，点是上一点，且，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在矩形的内部，连接． （1）若点落在上，求到的距离； （2）如图2，若点落在对角线上，求的长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数的比值关系，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用折叠的性质判定出四边形为正方形即可求解； （2），过点，分别作，，判定出，再利用相似三角形的比值关系列式运算即可． 【小问1详解】 解：若点落在上，则点与点重合，则四边形为矩形，如图所示： 又∵， ∴四边形为正方形， ∴； 【小问2详解】 如图，过点，分别作，，则，如图所示： 设，则，，， ，， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴整理得，解得或（舍去）， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，定义两个函数． （1）如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； （2）如果，判断函数的图象与轴的交点情况； （3）若点在上，点在上，求的最小值． 【答案】（1）10 （2）无交点 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，完全平方公式； （1）利用待定系数法求出再结合完全平方公式计算即可； （2）表示出判别式再根据题意得到，判断出即可求出结果； （3）利用待定系数法求出整理得到，根据二次函数的性质得到在对称轴处取得最小值，计算即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入中， 得 ， 【小问2详解】 解：由题意得 即的图象与轴没有交点； 【小问3详解】 解：把，分别代入中，得： 由题意得， 即 设 图象开口向上 ∴在对称轴处取得最小值， 把代入中得 ∴的最小值为， ∵ 当时，ab的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级二模联考数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计：年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知半径为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 它与直线没有交点 B. 随着的增大而增大 C. 图象位于第一、三象限 D. 图象经过点，则 7. 如图，在等腰中，，点为的内心，连接交于点，连接交于点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点在边上，且，连接交于点，连接，则下列结论中，不能使的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，连接，若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_____________． 12. 黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小：_____________．（填“”，“”或“”） 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为____________． 14. 如图，4个全等的矩形按如图方式排列，四个点在同一条直线上． （1）的度数为____________； （2）若，则的值为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 某景区2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长，省内与省外游客分别按和的比例增长，求2023年的省内、省外游客各为多少万人？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； （2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） （3）画出格点，使得． 18. 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 （1）写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； （2）根据以上的规律计算出结果：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 20. 如图，为的直径，为的弦，交于点，延长至点，连接并延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按下表进行整理．（成绩用x分表示） 测试成绩 级别 及格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据所给的信息解答下列问题： （1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为__________人，并补全条形统计图； （2）下列结论一定正确的是__________； ①所抽取学生的平均成绩为85分；②这组数据的中位数一定在良好级别里；③这组数据的众数一定在优秀等级里； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人去参加区级测试，试求恰好选中1男1女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在矩形中，，，点是上一点，且，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在矩形的内部，连接． （1）若点落在上，求到的距离； （2）如图2，若点落在对角线上，求的长； 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，定义两个函数． （1）如果函数的图象经过点，函数的图象经过点，求的值； （2）如果，判断函数的图象与轴的交点情况； （3）若点在上，点在上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $