数学（广东省卷专用）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 2．中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 8．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 9．分式方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 10．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式： ． 12．某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是 同学． 13．要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 ． 14．已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 15．如图，在矩形中，点在对角线的两侧，且点到三边的距离均为1，点到三边的距离也均为1．若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： 17．如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 18．山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图    测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 19．2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的师生人数为______人； (2)补全条形统计图： (3)在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______； (4)某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？ 20．太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3） 已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 21．已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 22．综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，．    探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． (1)如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． (2)如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数． 【详解】解：∵的相反数是， ∴能与相加得0的是， 故选：A． 2．中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据定义，结合图形找出对称轴和对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3．人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：140 亿， 故选：B． 4．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：A，，原计算错误，故本项不符合题意； B，，原计算错误，故本项不符合题意； C，，原计算错误，故本项不符合题意； D，，故本项符合题意； 故选：D． 6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故选：B． 7．估计的值应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算．先利用二次根式运算法则计算得到化简结果，再估算化简结果范围即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值应在5到6之间， 故选：D 8．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）的对称轴为直线，开口向上， 点，到对称轴的距离分别为，， ， ， 解得：， 故选：C． 9．分式方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 故选：D． 10．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 运用提取公因式，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是 同学． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方差和平均数的应用，先根据方差一定比较平均数，再根据平均数一定比较方差可得答案． 【详解】根据题意可知A，B两名同学的方差相同，B同学的平均数高，可知B同学的成绩好，由C，D两名同学的方差一定，D同学的平均数高，可知D同学的成绩高． 又因为B，D两名同学的平均数一定，D同学的方差小，所以D同学的成绩好且最稳定． 故答案为：D． 13．要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】160°/160度 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为8πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为8πcm， 由题意得：， 解得：l=9， 则， 解得n=160，即扇形的圆心角为160°， 故答案为：160°． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键. 14．已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键． 【详解】解： ∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数，且， ∴点在同一象限， ， 当在第一象限时， 若，则， ； 若，则， ； 当在第三象限时， 若，则， ； 若，则， ； 综上，， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点在对角线的两侧，且点到三边的距离均为1，点到三边的距离也均为1．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】设于H，于G，于M，于N，交于O，连接，由题意得，易证四边形是平行四边形，得，再证四边形是正方形，得，然后证，得，，则，设，且，则，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设于H，于G，于M，于N，交于O，连接，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中, ∴， ∴， 在和中, ， ∴， ∴， 设，且， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 同理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 17．如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求； （2）解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 18．山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图    测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 【答案】66m 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键． 根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，延长，交的延长线于点，设，则，求出的长，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如解图，延长，交的延长线于点，则四边形为矩形． ， 由题意，可知， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， 解得， 答：应县木塔DE的高度约为66m． 19．2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的师生人数为______人； (2)补全条形统计图： (3)在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______； (4)某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？ 【答案】(1)； (2)补全条形统计图见解析； (3)； (4) 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、求扇形圆心角的度数、组合与概率的计算，解题的关键是读懂图像信息，理解两个统计图中数量之间的关系． （1）从两个统计图中可知，B类用户80人，占比，计算即可求出被抽取的师生人数； （2）根据总人数及图中A类、B类、C类、D类用户的人数，可求出E类人数，补全条形统计图即可； （3）先求A类人数所占的百分比，再乘以即可； （4）先用列表或画树状图法分析所有可能出现的结果，再根据概率公式求解． 【详解】（1）解：B类用户80人，占比， 被抽取的师生人数为：（人）， 故答案为：； （2）E类用户的人数为：（人）， 补全条形统计图如图， （3），即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：； （4）根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下： 小明 小梅 小萱 翠花 小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明 小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅 小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱 翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 —— 由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种， 抽中小明和小萱的概率为． 20．太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式； （2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可； （3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可． 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；； （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期； （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期． 21．已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明，再证，进而证得即可证明结论； （2）如图：连接，由垂径定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性质可得即可得出结论； （3）如图：连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）解：如图：连接BE， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵⊙O的半径为10， ∴AB=20，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键． 22．综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，．    探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． (1)如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． (2)如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 【答案】(1)①矩形；② (2)平行四边形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①根据菱形的性质结合平移的性质，易得四边形是平行四边形，在根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；②解直角三角形即可得出结果； （2）根据菱形的性质结合平移的性质即可得出结论； （3）根据题意，得，， 分以下两种情况讨论：①当时，②当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①，点为的中点， ， 由平移的性质得：，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②由平移的性质得：平移的距离为的长， ，，， ， ； （2）解：是平行四边形，理由： ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：如图，过点A作于点M，    根据题意，得， ， ， ， 分以下两种情况讨论： ①当时， 由平移的性质，得， ； 在中，； ②当时， 由平移的性质，得， 在中，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，灵活运用平移的性质是解题的关键． 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)①，②6 (2)①见解析②36③ 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，反比例函数图象与性质，平行四边形的性质等知识；正确理解题意是解答本题的关键． （1）①先判断函数的图象经过点B，求出m的值，设点D的坐标为，代入可得，从而可得点D的坐标；②求出点C的坐标为，可判断点A，点C在反比例函数图象上，从而可得结论； （2）①根据反比例函数图象是中心对称图形，可画出平行四边形； ②由可求出点B的坐标，根据中心对称的性质可得出点C的坐标，过点A作于点E，过点B作于点F，根据可得结论； ③根据两点间距离公式求出的长，根据得出，结合求出的值即可． 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时； （2）解：①如图，即为所画；    ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ； ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B B D B D C D B 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 12.D 13．160°/160度 14． 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（7分） 【详解】解： (4分) ．(7分) 17．（7分） 【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求； (3分) （2）解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）．(7分) 18． （7分） 【详解】解：如解图，延长，交的延长线于点，则四边形为矩形． ，(1分) 由题意，可知， 在中，， ，(4分) 设，则， 在中，， ， ，(5分) 在中，，， ， ， 解得， 答：应县木塔DE的高度约为66m．(7分) 19． （9分） 【详解】（1）解：B类用户80人，占比， 被抽取的师生人数为：（人）， 故答案为：；(2分) （2）E类用户的人数为：（人）， 补全条形统计图如图， (4分) （3），即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：；(6分) （4）根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下： 小明 小梅 小萱 翠花 小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明 小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅 小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱 翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 —— 由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种， 抽中小明和小萱的概率为．(9分) 20． （9分） 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；；(3分) （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期；（6分) （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期．(9分) 21． （9分） 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线；(3分) （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴；(6分) （3）解：如图：连接BE， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵⊙O的半径为10， ∴AB=20，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，．(9分) 22． （13分） 【详解】（1）解：①，点为的中点， ， 由平移的性质得：，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形；(2分) ②由平移的性质得：平移的距离为的长， ，，， ， ；(4分) （2）解：是平行四边形，理由： ， ， ， 四边形是平行四边形；（8分) （3）解：如图，过点A作于点M，    根据题意，得， ， ， ， 分以下两种情况讨论： ①当时， 由平移的性质，得， ； 在中，； ②当时， 由平移的性质，得， 在中，； 综上所述，的长为或．(13分) 23． （14分） 【详解】（1）解：①若函数过点A，则当时，， 所以，函数不过点A， ∵函数是平行四边形的“”函数， ∴函数过点， 把点的坐标代入得，； ∵轴， ∴设点D的坐标为，代入得，， 解得，， ∴； ②∵四边形是平行四边形，，， ∴点C可以看作是点D向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到的， 所以，点C的坐标为， ∵， ∴点A，C在反比例函数的图象上， ∴反比例函数是平行四边形的“”函数，此时；(6分) （2）解：①如图，即为所画；   (8分) ②如图，过点A作于点E，过点B作于点F，    根据中心形的性质得， ∵ ∴， 又 ∴， ∴ ；(10分) ③平行四边形可以成为矩形， ∵， ∴， 若四边形是矩形，则有：， ∴ 整理得， 又， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得，，或（舍去） ∴．(14分) 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 2、 填空题（每小题5分，共15分） 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 20． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（9分） 20.（9分） 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考考前最后一卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 11．__________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分） 17. （7分） 18.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （9分） 20. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（13） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（14分） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学考前最后一卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 2．中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．人民日报等媒体2月28日消息，电影《哪吒之魔童闹海2》票房已破 140 亿，成为亚洲首部票房过百亿影片，带动了相关文旅产业和衍生品市场发展，其中140 亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 8．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 9．分式方程的解为（   ） A． B． C．或 D．无解 10．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式： ． 12．某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是 同学． 13．要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 ． 14．已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 15．如图，在矩形中，点在对角线的两侧，且点到三边的距离均为1，点到三边的距离也均为1．若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算： 17．如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 18．山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量应县木塔的高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图    测量过程 如图，测量小组使无人机在点处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上， 请根据上述报告数据，求应县木塔的高度．（结果精确到1m；参考数据：，，） 19．2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的师生人数为______人； (2)补全条形统计图： (3)在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______； (4)某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？ 20．太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3） 已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 21．已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，求证：； (3)若的半径为10，，求的长． 22．综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，．    探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． (1)如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． (2)如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 23．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过平行四边形一条对角线的两个端点，则称函数是平行四边形的“”函数，函数的图象经过平行四边形的四个顶点，则称函数是平行四边形的“”函数．    (1)已知：如图1，在平行四边形中，轴，若点坐标为点坐标为，函数是平行四边形的“”函数． ①求的值及点的坐标； ②是否存在反比例函数是平行四边形的“”函数，若存在，求出值，若不存在，请说明理由； (2)已知：如图2，若点坐标为，点在第一象限内，其坐标为，反比例函数是平行四边形的“”函数． ①请在图2中画出平行四边形； ②若，求平行四边形的面积； ③平行四边形是否可以成为矩形，若可以，直接写出的值，若不可以，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$