重难点07：二元一次方程组应用题（十大题型） 培优课程讲义 ----2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 重难点07 二元一次方程组的应用题 利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为： 1、 审题并找出数量关系式 2、 设元（设未知数） 3、 根据数量关系式列出方程组 4、 解方程组 5、 检验并作答（注意：此步骤不要忘记） 题型1：和、差、倍、分问题 1. （2022上海西南模范中学期末）某班级为奖励网络课堂线上学习先进个人，花了元钱购买甲、乙两种奖品共件，其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，根据题意可列方程组为_______． 2．（2024向明中学六年级期中）如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买1束鲜花和2个礼盒的总价为143元；买2束鲜花和1个礼盒的总价为121元，问买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元． 3.（2024上海课时作业）某人买甲乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去44元．已知甲种水果每千克3元，乙种水果每千克4元．问这个人买了甲乙两种水果各多少千克？ 4．（2024上海普陀区六年级期末）甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？ 5．（2024上海课时作业）甲、乙两书架各有若干本书。如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么此时甲架上的书是乙架上的书的3倍，问原来甲架、乙架各有书多少本？ 6．（2024上海课时作业）小明、小杰两人共有210本图书，如果小杰送给小明15本图书，那么小杰的图书正好是小明的图书的2倍，问小明、杰原来各有多少本图书？ 7．（2024上海课时作业）某超市在促销活动中准备了三种小礼品共件，件礼品的总价为元，三种小礼品的单价分别为元件、元件和元件，每种小礼品至少准备件．已知价格为元的小礼品件． (1)请用含的代数式分别表示准备的另外两种小礼品的件数； (2)如果准备单价为元的小礼品的数量正好是单价为元的小礼品的倍，分别求出准备的三种单价小礼品的件数． 题型2：数字问题 8．（2024春·上海·六年级统考期中）一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是_________． 9．（2024上海课时作业）一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是7，如果这个两位数加上45，那么恰好成为个位上的数字与十位上的数字对调后组成的两位数，求这个两位数。 10.（2022·全国·六年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数． 11.（2022·全国六年级专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36． （1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除； （2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值． 12．（2023春·上海六年级专题练习）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，，所以． （1）计算：=____． （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整数)，规定：，当时，求k的最小值是____． 题型3：行程问题 13.（2024上海课时作业）在42千米的环形赛车跑道上，如果甲、乙两人同时同地相对而行，2小时首次相遇，如果甲、乙两人同时同地同向而行，乙需要14小时才能第一次追上甲，求甲、乙两人的平均速度各是多少？ 14．（2024春·上海·六年级上海市文来中学阶段练习）甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑两人每隔分钟相遇一次，若反向跑两人每隔40秒相遇一次，已知甲跑得比乙快，求甲、乙两人的速度． 15．（2024上海课时作业）甲、乙两人同时绕400米的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2.5分钟可以相遇；如果他们同时从同一点同向而行，12.5分钟甲能追上乙．求甲、乙每人每分钟各走多少米？ 16.（2024上海课时作业）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。问甲、乙两人每小时各行多少千米？ 17．（2024上海课时作业）已知某铁路桥长1500米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用70秒，整列火车在桥上时间是30秒，求这列火车的车速和车长。（列方程组） 18．（2024上海课时作业）小杰与小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，如果两人同时由同一起点同向出发，那么2分钟后，小杰与小丽第一次相遇；如果两人同时由同一起点反向出发，那么分钟后两人第一次相遇，问小杰的跑步与小丽的竞走速度各是多少米/分钟． 19.（2023大同中学六年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 20.（2024浦东新区六年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 21.（2023闵行区六年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 题型4：工程问题 22.（2024上海课时作业）某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作需10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工作的，厂家需付甲、丙两队共5500元. （1） 求甲、乙、丙各队单独完成需要多少天？ （2） 如果工期要求不超过15天完成全部工程，用哪对单独完成此项工程厂家花钱最少？ 23.（2023松江区六年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？ 24.（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 25.（2023徐汇区六年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米． （1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米? （2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人? 题型5： 销售、利润问题 26．（2024上海课时作业）小明将一部分钱分为两份用于投资，其中一份一年后获利10%，另一份一年后获利8%， 两份总共获利4400元;如果将两份投资交换，一年后他获利将增加200元，请问小明用于投资的两份款项各是多少元？ 27.（2024上海课时作业）已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要 加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公 司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元， 问第一次、第二次分别邮购多少件？ 28.（2024上海课时作业）六（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元给你． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 29.（2022上海六年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元． (1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？ (2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？ 30．（2022春·上海闵行·六年级期末）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表： A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2500 10 5 2750 (1)每台A型空气净化器的销售利润是 　　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　　元； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　　台；B型空气净化器 　　台． (3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？ 31．（2024春·上海长宁·六年级上海市延安初级中学期末）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况． 销售情况 销售数量（单位：杯） 销售收入（单位：元） 中杯 大杯 第一天 20 30 690 第二天 25 25 675 (1)根据表格数据，这款奶茶中杯和大杯的销售单价各是多少元？ (2)已知这款奶茶中杯成本3元/杯，大杯成本4元/杯，奶茶店每天最多供应200杯奶茶，如果奶茶店老板希望每天该款奶茶的利润不低于2000元，则至少需卖出多少杯大杯奶茶？ 32．（2024上海课时作业）由于最近受甲型H7N9流感的影响，猪肉价格下降比较明显，由原来的每千克20元下降了10%；海鲜类价格有所上升，如河虾由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进猪肉和河虾共 180千克，发现调价前后的总价格仍然不变，问饭店购进猪肉和河虾各多少千克？ 33. （2023长宁区期末）已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费，某公司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元，问第一次、第二次分别邮购多少件？ 34. （2022闵行区六年级期末）由于季节性缘故，一段时间猪肉价格下降比较明显，由原来的每千克20元下降了；海鲜类价格有所上升，如河虾由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进猪肉和河虾共 180千克，发现调价前后的总价仍然不变，问饭店购进猪肉和河虾各多少千克？ 35. （2022浦东新区校级期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这斤杨梅． （1）若这批杨梅全部售完，销售总收入为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ （2）若杨梅大户留下）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为元，求的值． 题型6：配套问题与分配问题 36．（2022春·上海闵行·六年级期末）某校学生去看电影，如果每辆汽车坐60人，则空出1辆汽车，如果每辆汽车坐45人，则有15人没有座位，那么学生人数和汽车辆数分别是多少？（    ） A．230人，6辆 B．240人，5辆 C．240人，8辆 D．250人，7辆 37．（2024春·上海静安·六年级期末）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？ 38.（2024春·上海徐汇·六年级上海市第四中学期末）某学校学生乘车外出春游．若每辆汽车乘45人．则15人没有座位，若每辆汽车乘60人，则正好空出一辆汽车，问共有多少个学生？有几辆汽车？ 39.（2024上海课时作业）某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套． 40.（2024上海课时作业）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？ 41．（2024上海课时作业）运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？ 42. （2024闵行区期中）眼镜厂共有工人48人，每位工人每天能生产镜片40片或镜架28副．怎样分配工人能使一天生产的镜片和镜架配套？ 43．（2024·上海·六年级期末）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草地见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等） (1)求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比； (2)如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？ 44.某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？ (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？ 题型7：几何问题 45．（2022春·上海嘉定·六年级期中）如图，8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为12cm，则每一个小长方形的面积为________cm2． 46.（2024建平中学北校六年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 47.（2024徐汇中学六年级期末）列二元一次方程组解应用题： 某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 48.（2023文来中学期末）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 49.（2023实验西校六年级期末）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案： (1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？ (2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积． 题型8：古代数学 50. （2024上海课时作业）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____． 51. （2023杨浦区期末）中国古代的《九章算术》中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？（译文：今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕1只各重多少斤？）若设每只雀、燕的重量分别为x斤、y斤，则根据题意可列方程组______． 52．（2024上海课时作业）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 53. （2023上海市进才实验中学期中）（列二元一次方程组求解）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺． 54．（2024春·上海杨浦·六年级期末）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？ 55．（2024·上海·六年级期末）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________． 题型9：图表信息问题 56．（2024上海课时作业）某校六（2）班40名同学为“抗震救灾”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表： 捐款 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请求捐款2元和捐款3元的同学各有几名？ 57.（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 8 16 1440 第二次购物 7 15 1314 第三次购物 9 17 1252.8 (1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物； (2)求出商品A、B的标价； (3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 58（2023上海六年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 59.某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 5000 (1)求a，b的值； (2)九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数． 60.丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表： 主要演员（人） 次要演员（人） 总费用（元/天） 爵士舞 民族舞 （1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？ （2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为元，次要演员费用共为元，问两节目各表演多少天？ 题型10：方案问题 61．（2022春·上海·六年级期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (2)现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示）， 品种 高档 中档 低档 价格（元/套） 30 20 10 若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？ 62．（2024春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校期末）某学校六年级甲、乙两个班共82人去某游乐园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是游乐园提供的价格表： 购票张数 1—40张 41—80张 80张以上 每张票的价格 60元 55元 50元 如果两个班以班级为单位，单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4690元，问： (1)甲、乙两班各有多少名同学？ (2)现甲班有8人不能参加春游，请你通过计算为两个班级设计一个最省钱的购票方案． 63. （2023普陀区期末）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈．她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需元． （1）求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ （2）小丽送给妈妈的花束，需要有枝花，其中玫瑰至少有9枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中，如果总金额不能超过元，请帮助小丽设计出所有符合条件的购买方案． 64．甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍． (1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？ (2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？ 旅行社 团体优惠条件 A A成人全价购票，儿童可免费 B B成人8折购票，小孩半价购票 65. （闵行中学附属实验中学2022期末）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表： A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2500 10 5 2750 （1）每台A型空气净化器的销售利润是 　　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　　元； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　　台；B型空气净化器 　　台． （3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？ 66. （2022上海西南模范中学期末）2019年9月29日，中国女排在取得世界杯11连胜成功卫冕后，掀起体育运动热潮．某网店待别推出甲､乙两种排球，已知甲种排球的售价比乙种排球多15元，学校赵老师从该网店购买了2个甲种排球和3个乙种排球，共花费255元． （1）该网店甲､乙两种排球的售价各是多少元? （2）根据消费者需求，该网店决定购进甲､乙两种排球共200个，且甲种排球的数量不少于乙种排球数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 67.某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 68.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 重难点07 二元一次方程组的应用题 利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为： 1、 审题并找出数量关系式 2、 设元（设未知数） 3、 根据数量关系式列出方程组 4、 解方程组 5、 检验并作答（注意：此步骤不要忘记） 题型1：和、差、倍、分问题 1. （2022上海西南模范中学期末）某班级为奖励网络课堂线上学习先进个人，花了元钱购买甲、乙两种奖品共件，其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，根据题意可列方程组为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得两个等量关系：甲奖品数量+乙奖品数量=60件；甲奖品总价+乙奖品总价=800元，然后列出方程组即可. 【详解】由题意，得：， 故答案为： . 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键. 2．（2024向明中学六年级期中）如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买1束鲜花和2个礼盒的总价为143元；买2束鲜花和1个礼盒的总价为121元，问买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元． 【答案】 【分析】设1束鲜花的单价为元，1个礼盒的单价为元，依题意列出方程组，解得，即可求得答案． 【解析】解：设1束鲜花的单价为元，1个礼盒的单价为元， 依题意得，解得， ∴， ∴买5束鲜花和5个礼盒的总价为元． 故答案为：440 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确地列出方程组是解题的关键． 3.（2024上海课时作业）某人买甲乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去44元．已知甲种水果每千克3元，乙种水果每千克4元．问这个人买了甲乙两种水果各多少千克？ 【参考答案】解：设这个人买了甲种水果x千克，买了乙种水果y千克． 由题意得 解得 答：这个人买了甲种水果8千克，买了乙种水果5千克． 4．（2024上海普陀区六年级期末）甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？ 【答案】甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨 【分析】设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨，由题意：甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨， 由题意得：， 解得：， 答：甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出二元一次方程组． 5．（2024上海课时作业）甲、乙两书架各有若干本书。如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么此时甲架上的书是乙架上的书的3倍，问原来甲架、乙架各有书多少本？ 【参考答案】解：设原来甲架、乙架各有书x本、y本． 由题意得 解得 答：原来甲架、乙架各有书95本、25本． 6．（2024上海课时作业）小明、小杰两人共有210本图书，如果小杰送给小明15本图书，那么小杰的图书正好是小明的图书的2倍，问小明、杰原来各有多少本图书？ 【参考答案】解：设小明、小杰原来各有图书x本、y本． 由题意得 解得 答：小明、小杰原来各有图书55本、155本． 7．（2024上海课时作业）某超市在促销活动中准备了三种小礼品共件，件礼品的总价为元，三种小礼品的单价分别为元件、元件和元件，每种小礼品至少准备件．已知价格为元的小礼品件． (1)请用含的代数式分别表示准备的另外两种小礼品的件数； (2)如果准备单价为元的小礼品的数量正好是单价为元的小礼品的倍，分别求出准备的三种单价小礼品的件数． 【答案】(1)价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件 (2)价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件 【分析】（1）设价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件，根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意，列出一元一次方程求得的值，代入（1）的结论即可求解． 【解析】（1）解：设价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件， 由题意得：． 解得： 答：价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件； （2）解：由题意得：， 解得：， 则 答：价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件，价格为元的小礼品件． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 题型2：数字问题 8．（2024春·上海·六年级统考期中）一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是_________． 【答案】58 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y=58． 故答案为：58． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2024上海课时作业）一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是7，如果这个两位数加上45，那么恰好成为个位上的数字与十位上的数字对调后组成的两位数，求这个两位数。 【参考答案】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y． 由题意得 解得 答：这个两位数为16． 10.（2022·全国·六年级专题练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数． 【答案】原来两个加数是120和75 【分析】根据题意，设这两个加数为x和y，少写一个零就是相当于除以10，多写一个零就是相当于乘以10，列方程组求解． 【详解】解：设这两个加数为x和y， 其中一个加数后面多写一个零，和是1275，列式：， 同一个加数后面少写一个零，和是87，列式：， 解方程组，解得． 答：这两个加数是120和75． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找等量关系去列方程组求解． 11.（2022·全国六年级专题练习）若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36． （1）求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除； （2）若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值． 【答案】（1）见解析；（2） B 的值为68或59． 【分析】（1）设A的十位数字为a，个位数字为b，其“诚勤数”为100a+20+b、“立达数”为10a+b+2，作差整理即可得； （2）设B=10a+b，1≤a≤9，0≤b≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），根据““立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半”列出关于a、b的方程，求解可得． 【详解】解：（1）设A的十位数字为a，个位数字为b， 则A＝10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2， ∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3）， ∵a为整数， ∴15a+3是整数， 则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除； （2）设B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位）， ∴B+2＝10m+n+2， 则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10）， ∴m+1+n+2﹣10=（m+n）， 整理，得m+n＝14， ∵1≤m≤9，0≤n≤9， ∴、、、、， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去， ∴所求两位数为68或59． 【点睛】本题主要考查了数字问题，根据题意表示出A、B两数的“立达数”、“诚勤数”及其变化是解题的关键． 12．（2023春·上海六年级专题练习）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，，所以． （1）计算：=____． （2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整数)，规定：，当时，求k的最小值是____． 【答案】     10     ． 【分析】（1）根据“相异数”的定义列式计算即可； （2）由s=100x+32，t=150+y结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，即可求出最小值． 【详解】解：（1）根据“相异数”的定了可得127的三个新三位数为：217，721，172， ∴， 故答案为：10； （2）∵s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵，，x，y都是正整数， ∴或或或或或， ∵s是“相异数”， ∴且， ∵t是“相异数”， ∴且， ∴或或， ①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则， ∴当时，k取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． 题型3：行程问题 13.（2024上海课时作业）在42千米的环形赛车跑道上，如果甲、乙两人同时同地相对而行，2小时首次相遇，如果甲、乙两人同时同地同向而行，乙需要14小时才能第一次追上甲，求甲、乙两人的平均速度各是多少？ 【参考答案】解：设甲乙两人的平均速度为x千米/小时、y千米/小时． 根据题意，得 解得 答：甲乙两人的平均速度为9千米/小时、12千米/小时． 14．（2024春·上海·六年级上海市文来中学阶段练习）甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑两人每隔分钟相遇一次，若反向跑两人每隔40秒相遇一次，已知甲跑得比乙快，求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为360米/分，乙的速度为240米/分． 【分析】同向跑相遇一次，此时两人路程差为400米；反向跑相遇一次，此时两人路程和为400米，由此可以设未知数列方程求解． 【详解】解：设甲的速度为米/分，乙的速度为米/分．根据题意得： ，解得． 答：甲的速度为360米/分，乙的速度为240米/分． 【点睛】本题考查二元一次方程组，根据题中等量关系正确列出方程是解题关键．　 15．（2024上海课时作业）甲、乙两人同时绕400米的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2.5分钟可以相遇；如果他们同时从同一点同向而行，12.5分钟甲能追上乙．求甲、乙每人每分钟各走多少米？ 【答案】甲每分钟走96米，乙每分钟走64米． 【分析】设甲每分钟x米,乙每分钟y米 ,根据题目中相遇问题和追及问题的等量关系可得:,解方程组即可. 【详解】设甲每分钟x米,乙每分钟y米 ,根据题意可得: , 解得:. 答:甲每分钟走96米,乙每分钟走64米. 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组解决行程问题,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题中追及和相遇问题的等量关系. 16.（2024上海课时作业）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。问甲、乙两人每小时各行多少千米？ 【参考答案】解：设甲乙两人每小时各行驶x千米、y千米． 根据题意，得 解得 答：甲乙两人每小时各行驶千米、千米． 17．（2024上海课时作业）已知某铁路桥长1500米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用70秒，整列火车在桥上时间是30秒，求这列火车的车速和车长。（列方程组） 【参考答案】解：设这列火车的车速为x米/秒，车长为y米． 由题意得 解得 答：这列火车的车速为30米/秒，车长为600米． 18．（2024上海课时作业）小杰与小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，如果两人同时由同一起点同向出发，那么2分钟后，小杰与小丽第一次相遇；如果两人同时由同一起点反向出发，那么分钟后两人第一次相遇，问小杰的跑步与小丽的竞走速度各是多少米/分钟． 【参考答案】解：设小杰的跑步速度为x米/分钟，小丽的竞走速度为y米/分钟． 根据题意，得 解得 答：设小杰的跑步速度为320米/分钟，小丽的竞走速度为120米/分钟． 19.（2023大同中学六年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米 【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米， 根据题意，得． 整理，得． 解得． 答：甲每小时走千米，乙每小时走千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系． 20.（2024浦东新区六年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米． 【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米， 由题意，得：， 解得：， ∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分； 答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键． 21.（2023闵行区六年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【答案】5千米 【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解． 【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校， 由题意可得， 解得， 答：小北需要骑行5千米到达学校． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键． 题型4：工程问题 22.（2024上海课时作业）某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作需10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工作的，厂家需付甲、丙两队共5500元. （1） 求甲、乙、丙各队单独完成需要多少天？ （2） 如果工期要求不超过15天完成全部工程，用哪对单独完成此项工程厂家花钱最少？ 【参考答案】 23.（2023松江区六年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？ 【答案】甲、乙两组每天个各生产700、800个产品 【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又各自生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组各自生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得： 解得： 答：甲、乙两组每天个各生产700、800个产品． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系是解题关键． 24.（2022·江苏淮安·七年级期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元 (2)单独请乙组，商店所需费用少 (3)安排甲乙合作施工更有利于商店 【分析】（1）根据题意建立方程组并求解； （2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案； （3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案． （1） 设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元． （2） 300×12＝3600（元）， 140×24＝3360（元）． ∵3600＞3360， ∴单独请乙组，商店所需费用少． （3） 选择①：（300+200）×12＝6000（元）； 选择②：（140+200）×24＝8160（元）； 选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）． ∵5120＜6000＜8160， ∴安排甲乙合作施工更有利于商店． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键． 25.（2023徐汇区六年级期末）在某外环公路改建工程中，某路段长6140米，现准备由甲、乙两个工程队拟在25天内(含25天)合作完成，已知两个工程队各有20名工人(设甲、乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，乙工程队每人每天工作量相同)，甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米． （1）试问：甲、乙两个工程队每天分别修路多少米? （2）甲、乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问：甲工程队最多可以调离多少人? 【答案】（1）甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米；（2）8人 【分析】（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米．，根据题意列出方程组求解即可； （2）设甲工程队最多可以调走m人，根据路段长6140米，在25天内合作完成和甲、乙工程每天修路的米数，列出方程，求出m的值即可； 【详解】解：（1）设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米． 依题意，得： 解之得： 答：甲、乙两工程队每天分别修路200米和100米． （2）设甲工程队最多可以调走m人． 依题意，得： 8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m) =6140． 解之得：m=8． 答：甲工程队最多可以调走8人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中的数量关系，找准等量关系列出方程组是解题的关键. 题型5： 销售、利润问题 26．（2024上海课时作业）小明将一部分钱分为两份用于投资，其中一份一年后获利10%，另一份一年后获利8%， 两份总共获利4400元;如果将两份投资交换，一年后他获利将增加200元，请问小明用于投资的两份款项各是多少元？ 【参考答案】 解：设一份资金为x元，另一份为y元。 由题意，得 解得 答：小明用于投资的两份款项各为20000元和30000元。 27.（2024上海课时作业）已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要 加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公 司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元， 问第一次、第二次分别邮购多少件？ 【参考答案】解：设第一次邮购x件，第二次邮购y件． 根据题意，第一次每件付款为 10（1+10%）=11（元）， 第二次每件付款为 10×90%=9（元） 得 解得 答：第一次邮购80件，第二次邮购120件． 28.（2024上海课时作业）六（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元给你． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 【参考答案】 解：设钢笔每支x元，笔记本每本y元． 由题意得： 解得： 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元． 29.（2022上海六年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元． (1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？ (2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？ 【答案】(1)玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元 (2)小瑞所带的钱还剩下31元 【分析】（1）设每支玫瑰x元，每支百合y元，利用总价=单价×数量，结合小瑞带的钱数不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出； (2)设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元，所以列方程 ，用含m的代数式解出x和y，又因为且一共只买8支玫瑰，所以剩下的钱为：m-8x即可求解； （1） 解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元． 由题意可得 解之得 答：玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元． （2） 解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元 所以有 ， 解得： ， 又因为且一共只买8支玫瑰， 所以剩下的钱为：m-8x=m- =31 （元） 答：小瑞所带的钱还剩下31元． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 30．（2022春·上海闵行·六年级期末）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表： A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2500 10 5 2750 (1)每台A型空气净化器的销售利润是 　　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　　元； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　　台；B型空气净化器 　　台． (3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？ 【答案】(1)200，150 (2)26，54 (3)4台 【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，根据“A型销售5台的利润+B型销售10台的利润=2500元”和“A型销售10台的利润+B型销售5台的利润=2500元”列出二元一次方程组求解； （2）根据题意列函数关系式，再利用函数的性质求最值； （3）设要购买A型空气净化器b台，根据“30分钟A型空气净化器的净化体积+B型空气净化器的净化体积小于等于长方体室内活动场地的总体积”列不等式求解． 【详解】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元， 根据题意得：，解得： 故答案为：200，150； （2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元， 则：， ∵， ∴， ∴a的最大值为：26， ∵w随a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时．， 故答案为：26，54； （3）设要购买A型空气净化器b台， 由题意得：， 解得：， 所以b的最小值为：4， 答：至少要购买A型空气净化器4台． 【点睛】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用及不等式的应用，理解题意是解题的关键． 31．（2024春·上海长宁·六年级上海市延安初级中学期末）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况． 销售情况 销售数量（单位：杯） 销售收入（单位：元） 中杯 大杯 第一天 20 30 690 第二天 25 25 675 (1)根据表格数据，这款奶茶中杯和大杯的销售单价各是多少元？ (2)已知这款奶茶中杯成本3元/杯，大杯成本4元/杯，奶茶店每天最多供应200杯奶茶，如果奶茶店老板希望每天该款奶茶的利润不低于2000元，则至少需卖出多少杯大杯奶茶？ 【答案】(1)这杯奶茶中杯和大杯的销售单价分别为12元，15元 (2)至少需卖出100杯大杯奶茶 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组； （2）根据题意列出不等式． (1) 解：设这款奶茶中杯的销售单价为x元，大杯的销售单价为y元， 根据题意可得： 解得， 故这杯奶茶中杯和大杯的销售单价分别为12元，15元． (2) 解：设卖出m杯大杯奶茶， 则卖出杯中杯奶茶， 根据题意可得： ． 故至少需卖出100杯大杯奶茶． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用；根据题意列出等量关系或不等关系建立方程或不等式是解题关键． 32．（2024上海课时作业）由于最近受甲型H7N9流感的影响，猪肉价格下降比较明显，由原来的每千克20元下降了10%；海鲜类价格有所上升，如河虾由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进猪肉和河虾共 180千克，发现调价前后的总价格仍然不变，问饭店购进猪肉和河虾各多少千克？ 【参考答案】解：设购进猪肉x千克，河虾y千克， 根据题意得 解得 答：购进猪肉120千克，河虾60千克． 33. （2023长宁区期末）已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费，某公司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元，问第一次、第二次分别邮购多少件？ 【答案】第一次邮购80件，第二次邮购120件． 【解析】 【分析】设第一次邮购件，第二次邮购件，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设第一次邮购件，第二次邮购件．根据题意， 得， 解得． 答：第一次邮购80件，第二次邮购120件． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据题意列出方程组求解即可． 34. （2022闵行区六年级期末）由于季节性缘故，一段时间猪肉价格下降比较明显，由原来的每千克20元下降了；海鲜类价格有所上升，如河虾由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进猪肉和河虾共 180千克，发现调价前后的总价仍然不变，问饭店购进猪肉和河虾各多少千克？ 【答案】饭店购进猪肉120千克，购进河虾60千克 【解析】 【分析】设购进猪肉千克，河虾千克，根据等量关系：猪肉和河虾共180千克和调价前后的总价格仍然不变，可以得出二元一次方程组：；由此解得这个二元一次方程组的解即可解决问题． 【详解】解：设购进猪肉千克，河虾千克，根据题意可得方程组： ； 方程组可以整理为：； 把②代入①可得：，则， 把代入②可得：， 所以这个方程组得：； 答：购进猪肉120千克，河虾60千克． 【点睛】此题考查了利用二元一次方程组解决实际问题的方法的灵活应用，这里二元一次方程组常用的解决方法是代入消元法和加减消元法． 35. （2022浦东新区校级期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这斤杨梅． （1）若这批杨梅全部售完，销售总收入为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ （2）若杨梅大户留下）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为元，求的值． 【答案】（1）圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮； （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的取值范围以及为的倍数，从而得到的值． 【小问1详解】 设圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮，由题意，得： ， 解得：， 答：圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮． 【小问2详解】 设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，由题意，得： ， 解得：， 则有：，解得：， ∴的取值范围是：， 又∵为正整数，则有为的倍数， ∴的值为或． 【点睛】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般． 题型6：配套问题与分配问题 36．（2022春·上海闵行·六年级期末）某校学生去看电影，如果每辆汽车坐60人，则空出1辆汽车，如果每辆汽车坐45人，则有15人没有座位，那么学生人数和汽车辆数分别是多少？（    ） A．230人，6辆 B．240人，5辆 C．240人，8辆 D．250人，7辆 【答案】B 【分析】设学生人数为x人，汽车辆数为y辆，再根据题干信息建立关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可得． 【详解】设学生人数为x人，汽车辆数为y辆， 由题意得：， 解得， 则学生人数为240人，汽车辆数为5辆， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键． 37．（2024春·上海静安·六年级期末）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？ 【答案】中型12辆，小型18辆. 【分析】根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案. 【详解】解：设中型x辆，小型y辆，根据题意可得： ， 解得 ， 故中型汽车12辆，小型汽车18辆. 【点睛】本题主要考查的是方程组，掌握相关方法即可得出答案. 38.（2024春·上海徐汇·六年级上海市第四中学期末）某学校学生乘车外出春游．若每辆汽车乘45人．则15人没有座位，若每辆汽车乘60人，则正好空出一辆汽车，问共有多少个学生？有几辆汽车？ 【答案】共有240个学生，有5辆汽车 【分析】首先设一共有汽车x辆，该学校有y人，由题意得等量关系是：①汽车辆数×45+15=学生人数；②（汽车辆数-1）×60=学生人数，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设一共有汽车x辆，该学校有y人，由题意得： ， 解得：， 答：共有5辆汽车，该校有240人． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 39.（2024上海课时作业）某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套． 分析：由“某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽”得一等量关系： （1）生产螺栓的工人数 ＋ 生产螺帽的工人数 ＝ 28人 由“一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套”得另一个等量关系： （2）生产的螺栓的个数：生产的螺帽的个数＝ 1：2 解：设x人生产螺栓，y人生产螺帽． 由题意得 解得 答：12人生产螺栓，16人生产螺帽． 40.（2024上海课时作业）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？ 解：设x人生产甲零件，y人生产乙零件． 由题意得 解得 答：35人生产甲零件，16人生产乙零件． 41．（2024上海课时作业）运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？ 【参考答案】解：设平均每节火车车厢装吨，平均每辆汽车装吨， 由题意得： 解方程组得 答：每节火车车厢平均装50吨，每辆汽车平均装4吨。 42. （2024闵行区期中）眼镜厂共有工人48人，每位工人每天能生产镜片40片或镜架28副．怎样分配工人能使一天生产的镜片和镜架配套？ 【答案】分配28人生产镜片，20人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套． 【解析】 【分析】设分配人生产镜片，人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套，根据共有工人48人，镜片数量镜架数量，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设分配人生产镜片，人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套， 由题意得：， 解得：， 答：分配28人生产镜片，20人生产镜架，能使一天生产的镜片和镜架配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 43．（2024·上海·六年级期末）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草地见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等） (1)求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比； (2)如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？ 【答案】(1)这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比为 (2)最多可以放牧225只羊 【分析】（1）设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量份，这片草场每周生长的草量为份，根据等量关系列出方程组即可； （2）设可以放牧只羊，列出一元一次不等式，即可求解． (1) 解：设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量份，这片草场每周生长的草量为份， 依题意得：， 解得：， ． 答：这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比为． (2) 设可以放牧只羊， 依题意得：， 解得：． 答：最多可以放牧225只羊． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式的实际应用，找出数量关系，列出方程组和不等式是解题的关键． 44.（2022·河北承德·七年级期末）某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？ (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则和有怎样的数量关系？若此时与的和为6吨，则和的值分别为多少吨？ 【答案】(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时 (2)分配到生产线2吨，分配到生产线3吨 (3)与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨 【分析】（1）把代入和，即可求解； （2）设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据“把5吨原材料分配到．两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，”列出方程组，即可求解； （3）根据“加工时间相同，”可得，从而得到，再由，即可求解． （1）解：当时， ，；即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时． （2）解∶设分配到生产线吨，则分配到生产线吨，根据题意得：，解得，即分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨； （3）解：根据题意得：，整理得：，∵，∴，，答：与的关系为，当吨时，为2吨，为4吨． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求代数式的值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型7：几何问题 45．（2022春·上海嘉定·六年级期中）如图，8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为12cm，则每一个小长方形的面积为________cm2． 【答案】27 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察大长方形，由大长方形的对边相等及大长方形的宽为12cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入xy中即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意，得：， 解得：， ∴xy=27（cm2）． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 46.（2024建平中学北校六年级期中）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 【答案】小长方形的面积为135． 【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm， 则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为cm或cm， 那么可得出方程组为：， 解得：， 则小长方形的面积为：9×15＝135， 答：小长方形的面积为135． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键． 47.（2024徐汇中学六年级期末）列二元一次方程组解应用题： 某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元 【分析】设小长方形的长为米，宽为米，则根据长方形的性质可列方程组 再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米 依题意得 解得 所以（元）． 答：每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据长方形的性质列出方程组是解本题的关键． 48.（2023文来中学期末）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【答案】82 【详解】解：设小长方形长为x，宽为y。 依题意，得 解此方程组，得 所以S阴影＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。 答：图中阴影部分的面积为82。 49.（2023实验西校六年级期末）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案： (1)根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？ (2)图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形边长，小正方形边长 (2) 【分析】（1）设大正方形和小正方形的边长分别是x和y，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为a，根据题意列方程得到a=，根据正方形的面积公式即可得到结论． （1） 设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 答：大正方形和小正方形的边长分别是12和4； （2） 设有重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， ∴阴影面积. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 题型8：古代数学 50. （2024上海课时作业）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设木条长尺，绳子长尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设木条长尺，绳子长尺， 依题意，得： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 51. （2023杨浦区期末）中国古代的《九章算术》中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？（译文：今有5只雀、6只燕，分别将它们放在天平两侧，5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤．问雀、燕1只各重多少斤？）若设每只雀、燕的重量分别为x斤、y斤，则根据题意可列方程组______． 【答案】 【解析】 【分析】根据5只雀比6只燕重，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕总重量为1斤，分别得出等式，进而得出答案． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为x斤、y斤，则根据题意可列方程组为： ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 52．（2024上海课时作业）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两，问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中的等量关系列出二元一次方程组即可． 【解析】解：设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为 ． 故选：D． 【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系． 53. （2023上海市进才实验中学期中）（列二元一次方程组求解）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺． 【答案】6.5尺 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长；木长绳长，据此可列方程组求解． 【详解】解：设绳长x尺，长木为y尺， 依题意得：， 解得， 答：长木长6.5尺． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，古代问题中经常有二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 54．（2024春·上海杨浦·六年级期末）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】设大和尚有人，小和尚有人，根据题意列出二元一次方程组，解之即可解答． 【详解】解：设大和尚有人，小和尚有人， 依题意得：， 解得：， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 55．（2024·上海·六年级期末）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________． 【答案】 【分析】设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解． 【详解】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 题型9：图表信息问题 56．（2024上海课时作业）某校六（2）班40名同学为“抗震救灾”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表： 捐款 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请求捐款2元和捐款3元的同学各有几名？ 【参考答案】解：设捐款2元和捐款3元的同学分别有x人、y人． 由题意得 解得 答：捐款2元和捐款3元的同学分别有15人、12人． 57.（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 8 16 1440 第二次购物 7 15 1314 第三次购物 9 17 1252.8 (1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物； (2)求出商品A、B的标价； (3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元 (3)商店是打八折出售这两种商品的 【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可． （1） 根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物， 故答案是：三； （2） （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元； （3） 设商店是打m折出售这两种商品， 由题意得，， 解得：m=8． 答：商店是打八折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 58（2023上海六年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元 (2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克 【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可 （2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解． （1） 设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得 4×2a－5×a＝60， 解得a＝20， 则2a＝40． 答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元； （2） 设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意，得 解得 【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键． 59.某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 5000 (1)求a，b的值； (2)九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数． 【答案】(1)a的值为800，b的值为600 (2)初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生 【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额5000列方程求人数． (1) 解：由题意得： ， 解得：， ∴a的值为800，b的值为600； (2) 解：设初三年级学生捐助x名贫困中学生，捐助y名贫困小学生． 由题意得：800x+600y=5000， 得：4x+3y=25， ∵x、y均为非负整数， ∴x=1，y=7或x=4，y=3， 答：初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生； 或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 60.丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表： 主要演员（人） 次要演员（人） 总费用（元/天） 爵士舞 民族舞 （1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？ （2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为元，次要演员费用共为元，问两节目各表演多少天？ 【答案】（1）主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；（2）爵士舞表演2天，民族舞表演3天 【分析】（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，根据表格中的总费用列出方程组，解之即可； （2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，根据主要演员费用共为元，次要演员费用共为元列出方程组，解之即可． 【详解】解：（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元， 由题意可得：， 解得：， ∴主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元； （2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天， 由题意可得：， 解得：， ∴爵士舞表演2天，民族舞表演3天． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程组． 题型10：方案问题 61．（2022春·上海·六年级期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (2)现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示）， 品种 高档 中档 低档 价格（元/套） 30 20 10 若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？ 【答案】(1)应安排18人生产塑料棒，15人生产金属球． (2)该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套． 【分析】（1）设安排x人生产塑料棒，则安排（33﹣x）人生产金属球，根据生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用均价＝总价÷数量，可求出每套教具的均价，结合三档教具的单价可得出只有购买高、低档和购买中、低档两种情况，当购买高、低两档时，设购买高档正方体教具a套，低档正方体教具b套，根据购买两档教具共花费1800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；当购买中、低档时，设购买中档正方体教具m套，低档正方体教具n套，根据购买两档教具共花费1800元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设安排x人生产塑料棒，则安排（33﹣x）人生产金属球， 依题意得：＝， 解得：x＝18， ∴33﹣x＝33﹣18＝15． 答：应安排18人生产塑料棒，15人生产金属球． （2）解：∵每套教具的均价为1800÷100＝18（元/套）， ∴只有购买高、低档和购买中、低档两种情况． 当购买高、低两档时，设购买高档正方体教具a套，低档正方体教具b套， 依题意得： ， 解得：． ∴学校购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套． 当购买中、低档时，设购买中档正方体教具m套，低档正方体教具n套， 依题意得： ， 解得： ． ∴学校购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套． 答：该学校应购买高档正方体教具40套，低档正方体教具60套或购买中档正方体教具80套，低档正方体教具20套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 62．（2024春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校期末）某学校六年级甲、乙两个班共82人去某游乐园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是游乐园提供的价格表： 购票张数 1—40张 41—80张 80张以上 每张票的价格 60元 55元 50元 如果两个班以班级为单位，单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4690元，问： (1)甲、乙两班各有多少名同学？ (2)现甲班有8人不能参加春游，请你通过计算为两个班级设计一个最省钱的购票方案． 【答案】(1)（1）甲班有46名同学、乙班有36名同学 (2)甲、乙两班联合购买80张门票 【分析】（1）甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游，根据题意可知，，即可列出方程组，解出x，y，即得出答案． （2）分别计算出①甲、乙两班联合买门票、②甲、乙两班分别独自买票和③甲、乙两班联合购买80张门票的价钱，在比较即得出答案． (1) 设甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游， ∵甲、乙两个班共82人，且甲班比乙班人多 ∴，， ∴可列方程组：， ②①得，， 解得：， 把代入①得， 解得：， 故甲班有46名同学、乙班有36名同学． (2) 甲班有8人不能参加春游， 甲班有人参加春游， 若甲、乙两班联合买门票，则需要（元）， 若甲、乙两班分别独自买票，则需要（元） 若甲、乙两班联合购买80张门票，只需（元）， 故最省钱的购买方案是甲、乙两班联合购买80张门票． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．特别注意（2）不需要特意购买与参加人数相同的票数． 63. （2023普陀区期末）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈．她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需元． （1）求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ （2）小丽送给妈妈的花束，需要有枝花，其中玫瑰至少有9枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中，如果总金额不能超过元，请帮助小丽设计出所有符合条件的购买方案． 【答案】（1）玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元 （2）有两种符号条件的购买方案：9枝玫瑰、枝康乃馨；枝玫瑰、枝康乃馨 【解析】 【分析】（1）设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设小丽购买的花束中有枝玫瑰，则康乃馨有枝，由题意得：，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元， 由题意得：， 解得； 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元． 【小问2详解】 解：设小丽购买花束中有枝玫瑰，则康乃馨有枝， 由题意得：， 解得， 因为至少要有9枝玫瑰，所以或； 所以，有两种符号条件的购买方案：9枝玫瑰、43枝康乃馨；10枝玫瑰、42枝康乃馨． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． 64．甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍． (1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？ (2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？ 旅行社 团体优惠条件 A A成人全价购票，儿童可免费 B B成人8折购票，小孩半价购票 【答案】(1)甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人 (2)儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择A旅行社支付旅游费用较少 【分析】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）由题意可知，两个家庭共有m名儿童，则有成人人，分别列出两个旅行社所需费用，然后比较大小即可获得答案． 【解析】（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人， 由题意得， 解得， 答：甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人； （2）由（1）可知，两个家庭共20人，设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有名成人， ∴A旅行社的费用为：元， B旅行社的费用为：元， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，儿童少于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择AB旅行社支付旅游费用较少． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 65. （闵行中学附属实验中学2022期末）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表： A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2500 10 5 2750 （1）每台A型空气净化器的销售利润是 　　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　　元； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　　台；B型空气净化器 　　台． （3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？ 【答案】（1）200，150 （2）26，54 （3）4台 【解析】 【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，根据“A型销售5台的利润+B型销售10台的利润=2500元”和“A型销售10台的利润+B型销售5台的利润=2500元”列出二元一次方程组求解； （2）根据题意列函数关系式，再利用函数的性质求最值； （3）设要购买A型空气净化器b台，根据“30分钟A型空气净化器的净化体积+B型空气净化器的净化体积小于等于长方体室内活动场地的总体积”列不等式求解． 【小问1详解】 设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元， 根据题意得：，解得： 故答案为：200，150； 【小问2详解】 设购进a台A型空气净化器，总利润为w元， 则：， ∵， ∴， ∴a的最大值为：26， ∵w随a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时．， 故答案为：26，54； 小问3详解】 设要购买A型空气净化器b台， 由题意得：， 解得：， 所以b的最小值为：4， 答：至少要购买A型空气净化器4台． 【点睛】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用及不等式的应用，理解题意是解题的关键． 66. （2022上海西南模范中学期末）2019年9月29日，中国女排在取得世界杯11连胜成功卫冕后，掀起体育运动热潮．某网店待别推出甲､乙两种排球，已知甲种排球的售价比乙种排球多15元，学校赵老师从该网店购买了2个甲种排球和3个乙种排球，共花费255元． （1）该网店甲､乙两种排球的售价各是多少元? （2）根据消费者需求，该网店决定购进甲､乙两种排球共200个，且甲种排球的数量不少于乙种排球数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）甲种排球的售价为60元，乙种排球的售价为45元；（2）购进80个甲种排球､120个乙种排球时，花费的总费用最少，最少费用为10200元，见解析 【解析】 【分析】（1）设甲种排球的售价为x元，乙种排球的售价为y元，根据“甲种排球的售价比乙种排球多15元，购买2个甲种排球和3个乙种排球共花费255元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种排球m个，则购进乙种排球个，根据甲种排球的数量不少于乙种排球数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该网店购买200个排球共花费w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设甲种排球的售价为x元，乙种排球的售价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种排球的售价为60元，乙种排球的售价为45元． （2）设购进甲种排球m个，则购进乙种排球个， 依题意，得：， 解得：． 设该网店购买200个排球共花费w元，则． ， ∴w随m值的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为10200， 答：购进80个甲种排球､120个乙种排球时，花费的总费用最少，最少费用为10200元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用､一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 67.（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨 (2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可； （2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可． （1） 设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨． 根据题意得 解得． 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨． （2） 设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得 ，即， 又因为均为正整数， 所以或或， 所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆； 方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆． 方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）； 方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）； 方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）； 因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 68.（2022·湖南常德·七年级期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子 (2)三种，见解析 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出等式，根据a、b均为正整数，找出符合条件的值即可． （1） 解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得 ， 解得，   即：每头牛3两银子，每头羊2两银子； （2） 设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得 ，即：，    ∵a、b均为正整数， ∴为2的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当为大于8的正整数时，为负数，不合题意， 所以该方程的解为或或， 即：共有三种购买方法： 方案一：购买2头牛，9头羊； 方案二：购买4头牛，6头羊； 方案三：购买6头牛，3头羊． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确地根据题意找出等量关系列出方程求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$