精品解析：广西玉林市陆川县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试题

2025年春季期期中教学质量监测 八年级 数学 （全卷共三大题，共4页，满分为120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 4，5，8 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题，其中是真命题为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 5. 在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（　　） A. 1cm B. 3cm C. 5cm或3cm D. 1cm或3cm 6. 如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，点在轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 9. 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A. 2 B. +1 C. 2 D. ﹣1 12. 如图，矩形ABCD中， AB=8，BC=4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点在边上，，将沿翻折得到，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分．请将答案填入答题卡的相应位置） 13. 若是二次根式，则x的取值范围是______． 14. 如图，四边形是菱形，，，于点H，则_________． 15. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 16. 已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）长为_______； （2）求证：； （3）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点在第一象限时的坐标______． 19. 如图，在平行四边形中，连接，且． （1）（尺规作图）作出角平分线与交于点．连接交于点，交于点． （2）猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想． 20. 如图1是篮球架侧面示意图，小明为了测量篮板的长度，设计了如下方案： 如图2，垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处．测量得竹竿的长为5米，的长为3米，的长为4米．根据以上测量结果，请你帮助小明求出篮板的长度． 21. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如：， ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方． 【变式探究】 （2）若且a，m，n均为正整数，求a值． 22. 探究与证明（八下教材63页《丰富多彩的正方形》） 【课本再现】 （1）如图，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ． 【类比迁移】 （2）如图，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是直角三角形的直角顶点，，绕点D转动，分别与交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积 ． 【探索发现】 （3）小刚发现（1）在转动过程中，若边能与边交于点E、F，线段都存在一定的数量关系，请写出数量关系式，并加以证明． 23. 综合与探究 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究． 【方法提示】 数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系． 动手操作】 如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，的对应点分别为点，． 【问题探究】 （1）判断图中四边形形状，并证明你的结论． （2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期期中教学质量监测 八年级 数学 （全卷共三大题，共4页，满分为120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、，属于开得尽方的因式，故不符合题意； B、中被开方数含分母，故不符合题意； C、最简二次根式，故符合题意； D、中被开方数含分母，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 4，5，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； B、，是勾股数，符合题意，选项正确； C、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； D、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法、乘法的计算法则，二次根式的化简，熟记法则是解题的关键．根据合并同类二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该项不正确； B、，故该项不正确； C、，故该项正确； D、，故该项不正确； 故选：C． 4. 下列命题，其中是真命题为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可． 【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选D． 【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 5. 在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（　　） A. 1cm B. 3cm C. 5cm或3cm D. 1cm或3cm 【答案】C 【解析】 【详解】分析：分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 详解：当直线c在a、b之间时， ∵a、b、c是三条平行直线， 而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm， ∴a与c的距离=4-1=3（cm）； 当直线c不在a、b之间时， ∵a、b、c是三条平行直线， 而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm， ∴a与c的距离=4+1=5（cm）， 综上所述，a与c的距离为3cm或5cm． 故选C． 点睛：本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论． 6. 如图，四边形是菱形，其中，两点的坐标为，，点在轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，勾股定理，利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出C点坐标． 【详解】解∵菱形的顶点，两点的坐标为，，点D在y轴上， ， 即轴，， 在中，由勾股定理得：， ∴点C的坐标是：， 故选：A． 7. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【详解】解：由图知：1＜a＜2， ∴a−1＞0，a−2＜0， 原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 8. 如图，在矩形中，点O，M分别是的中点，，则的长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理．根据矩形的性质，得到，中位线定理，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中，点O，M分别是的中点，， ∴，，， ∴； 故选D． 9. 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数及字母表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：，故选项不符合题意； B、由勾股定理得：，故选项符合题意； C、由勾股定理得：，故选项不符合题意； D、由勾股定理得：，故选项不符合题意； 故选：． 10. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当，原式． 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 11. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A. 2 B. +1 C. 2 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长. 【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE， ∵点A，B表示的数分别为0，2， ∴AB=2， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴， ∴， ∴E表示数为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 12. 如图，矩形ABCD中， AB=8，BC=4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点在边上，，将沿翻折得到，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，由已知求出CE＝6，CH＝8，由勾股定理得出EH＝=10，由SAS证得△PBC≌△PBH，得出CP＝PH，PF＋PC＝PF＋PH，当E、F、P、H四点共线时，PF＋PH最小，即可得出结果． 【详解】解：作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，如图所示： ∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，DE＝2， ∴CE＝CD−DE＝AB−DE＝6，CH＝2BC＝8， ∴EH＝＝10， 在△PBC和△PBH中，， ∴△PBC≌△PBH（SAS）， ∴CP＝PH， ∴PF＋PC＝PF＋PH， ∵EF＝DE＝2是定值， ∴当E、F、P、H四点共线时，PF＋PH最小，最小值＝10−2＝8， ∴PF＋PD的最小值为8， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分．请将答案填入答题卡的相应位置） 13. 若是二次根式，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，即，据此求得的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，，，于点H，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键． 先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 15. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 解得 即的长度为尺． 故答案为：． 16. 已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3. 故答案为：3． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简绝对值，进行除法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，进行平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）的长为_______； （2）求证：； （3）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点在第一象限时的坐标______． 【答案】（1）（2）见解析（3）（4，2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算出AC即可； （2）首先计算出BC2，AB2，AC2，再利用勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，进而可得AC⊥BC； （3）利用平面直角坐标系结合网格画出平行四边形可得D点坐标． 【详解】（1）AC＝， 故答案为：； （2）∵BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，AC2＝20， ∵BC2＋AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边， ∴AC⊥BC； （3）如图所示：D点的坐标（0，4），（4，2），（−4，−4）， ∴点在第一象限时的坐标为（4，2） 故答案为：（4，2）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 19. 如图，在平行四边形中，连接，且． （1）（尺规作图）作出的角平分线与交于点．连接交于点，交于点． （2）猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以这两个点为圆心，大于这两个点所得线段的长为半径，画弧，作图即可； （2）根据平行四边形的性质，推出，三线合一，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 如图，即为的平分线 【小问2详解】 猜想：； 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． 20. 如图1是篮球架侧面示意图，小明为了测量篮板的长度，设计了如下方案： 如图2，垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处．测量得竹竿的长为5米，的长为3米，的长为4米．根据以上测量结果，请你帮助小明求出篮板的长度． 【答案】篮板的长度为1米． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 中，由勾股定理得米， ∴米， ∴篮板的长度为1米． 21. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如：， ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方． 【变式探究】 （2）若且a，m，n均为正整数，求a值． 【答案】（1）； （2）或10． 【解析】 【分析】（1）将7看成是，则，由此求解即可； （2）根据，，可以得到，，再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵a，m，n均为正整数， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． 22. 探究与证明（八下教材63页《丰富多彩的正方形》） 【课本再现】 （1）如图，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ． 【类比迁移】 （2）如图，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是直角三角形的直角顶点，，绕点D转动，分别与交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积 ． 【探索发现】 （3）小刚发现（1）在转动过程中，若边能与边交于点E、F，线段都存在一定的数量关系，请写出数量关系式，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定： （1）①当正方形绕点绕点O转动到其边分别于正方形的两条对角线重合这一特殊位置时，显然；②当正方形绕点绕点O转动到如图位置时，由正方形的性质可得，，，由“”可证，可求解； （2）连接，仿照仿照（1），，即可可得； （3）连接EF，由全等三角形的性质可得，则，则由勾股定理可得，则． 【详解】解：（1）①当正方形绕点绕点O转动到其边分别于正方形的两条对角线重合这一特殊位置时，显然， ②当正方形绕点绕点O转动到如图位置时． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 四边形的面积正方形的面积， 综上所知，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 故答案为：； （2）连接， ∵，D是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴两个三角形重叠部分的面积； 故答案为：1； （3）． 证明： 由（1）知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴． 23. 综合与探究 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究． 【方法提示】 数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系． 【动手操作】 如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，的对应点分别为点，． 【问题探究】 （1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论． （2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）四边形为菱形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，证是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，又由，即可得四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形为菱形； （2）如图，当与重合时，取最大值，由折叠的性质得，，推出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到；如图，当与重合时，取最小值，由折叠的性质得，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 图形翻折后点与点重合，为折线， ， ， ， 图形翻折后与完全重合， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，当与重合时，取最小值， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 四边形矩形， ； 如图，当与重合时，取最大值， 由折叠的性质得， ， ，即， ， 线段的取值范围． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$