精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第三中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

衡阳县第三中学2025年高一下学期期中考试 数学试卷 本卷共4页，满分150分；考试时间：120分钟；命题人：何小龙 注意事项： 1. 答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2. 回答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的选项涂黑；回答非选择题时，将答案写在答 题卡上，写在本试卷上无效. 第 I 卷(选择题) 一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 .在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. △ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 6. 海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ） A. B. C. D. 12 7. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ） A. B. C. D. 二 、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面α内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n平面外，则m与n平行或异面 10. 已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ） A. 若复数满足，则的最大值为6 B C. 若复数，，满足，则 D. 若，则的充要条件是， 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 第 II卷(非选择题) 三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是__________． 13. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于___________. 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 四 、解答题：本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19 题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求值； （2）求； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 17. 如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台表面积； （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积． 18. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县第三中学2025年高一下学期期中考试 数学试卷 本卷共4页，满分150分；考试时间：120分钟；命题人：何小龙 注意事项： 1. 答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2. 回答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的选项涂黑；回答非选择题时，将答案写在答 题卡上，写在本试卷上无效. 第 I 卷(选择题) 一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 .在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及虚部概念即可求解. 【详解】由，得． 所以的虚部为， 故选：D． 2. 若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加法法则即可求解 【详解】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：， 故选：D 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 4 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将分别进行平方，借助值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 5. △ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理得 可化为 化简得到，可以得到 ，由特殊角的三角函数值得到 . 故答案选A. 6. 海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求AD，用余弦定理计算作答. 【详解】如图所示，，， 在中，，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 灯塔与处之间的距离为海里. 故选：C 7. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】设实心圆柱的高为， 因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，解得， 则圆柱的体积为， 设球的半径为，则，解得， 因此，该铁球的表面积为. 故选：A. 8. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积. 【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． 二 、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面α内的无数条直线 C 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，则且或或，故A错误； 对于B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D错误； 故选：BC 10. 已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ） A. 若复数满足，则的最大值为6 B. C. 若复数，，满足，则 D. 若，则的充要条件是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，根据条件，利用复数的几何意义及圆的性质，即可求解；对于B，利用的性质，即可求解；对于C，取，即可求解；对于D，利用复数相等的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，令，因为，则， 所以复数对应点在以原点为圆心，为半径的圆上， 又，其几可意义表示点到距离， 又到原点的距离为，所以的最大值为，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B正确， 对于选项C，取，显然有，但不一定相等，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦函数的性质即可求解判断A；利用余弦定理推理判断B；利用向量线性运算判断C；利用三角形心的向量表示判断D. 【详解】对于A,由，,可得或者，故或者,故为等腰三角形或者直角三角形，故A错误， 对于B，由可得,,故为锐角，但无法确定，所以无法确定三角形为锐角三角形，故B错误， 对于C , 由，得，即， 则，的面积是面积的，C错误； 对于D，由，得是的重心，由， 得是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，D正确； 故选：ABC 第 II卷(非选择题) 三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，其中，，且，则向量和的夹角是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用得，可求出，从而求出向量和的夹角. 【详解】∵， ∴， 解得:， 所以夹角为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积为0，向量数量积的定义，属于基础题. 13. 如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于___________. 【答案】300米 【解析】 【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出 【详解】解：在中，，所以米， 在中，，则， 由正弦定理得，， 所以米， 在中，米， 所以米， 故答案为：米 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故 故答案为：. 四 、解答题：本题共5小题，共77分.其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19 题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求的值； （2）求； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示计算可得； （2）首先求出的坐标，即可求出其模； （3）首先求出，再根据投影向量的定义计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 16. 如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： （1）AD的长； （2）的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【小问1详解】 设，， 则. ， ． 【小问2详解】 设，则向量与的夹角为． ， ，即． 17. 如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求其体积即可. 【小问1详解】 如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连结.则， 所以， 所以四棱台的表面积. 【小问2详解】 若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 18. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【小问1详解】 在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． 【小问2详解】 取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理进行边化角，再结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式可求解出的值； （2）先通过余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，然后根据面积公式可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$