精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高二下学期期中学习摸底数学试题

重庆市第十八中学2024—2025学年(下)中期学习能力摸底 高二数学试题 (命题人： 审题人： ) 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则进行求解. 【详解】. 故选：D 2. 已知二项式，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得特定项的系数及项的系数之和. 【详解】, 令，则， 即， 又， 所以， 故选：D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 4. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑以及不相邻问题插空法，即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 5. 已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 1或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数求出切线斜率，进而可求出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求出的值． 【详解】由题意，，则， 因为，所以切线过点，斜率为， 则直线的方程为即. 所以圆心到直线的距离， 整理得，解得或. 故选：C. 6. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 7. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】， 则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数的图象如下图所示： 所以当时， 即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故选：D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前项和的公式逐个求解即可. 【详解】， 故，所以公差，数列递减. 且，故， 且. 故选：AC 10. 如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】解：由题意可得，，又，平面PAC， 所以平面PAC， 在中，，AC边上的高为， 所以，故A正确； 对于B，在中，，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点A到平面PBC的距离为d， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 设外接球球心为，外接圆圆心为， 连接，可知平面， 又因为平面， 所以， 在直角三角形中， 可得：，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在处的切线方程为 C. 在内共有1个极值点 D. 设，则在上共有3个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得，令，利用导数，求得恒成立，得到，可判定A错误；根据导数的几何意义，求得切线方程，可判定B正确； 令，解得，得出函数的单调性，结合极值点的概念，可得判定C正确；由，求得，得出函数的单调性，结合零点的存在性定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数， 可得， 令，令，则， 可得，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，， 所以，所以恒成立， 当时，，所以， 所以在上单调递减，所以A错误； 对于B中，由，且， 所以切线方程为，即，所以B正确； 对于C中，由， 可得，由A项知：， 令，可得，解得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 所以，当时，取得极小值， 所以函数在内只有1个极值点，所以C正确； 对于D中，函数， 可得， 由，令，可得或， 当时，可得，单调递增； 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 所以， 且， 所以函数在上有三个零点，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 13. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的展开式，从而求出的展开式中的系数. 【详解】因为二项式的展开式为： ， 又， 所以的展开式中的项是， 所以的展开式中的系数是. 故答案为：. 14. 生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，比如：，．当取遍所有的个有序数组时，的总和为____________． 【答案】10505 【解析】 【分析】根据题意得数据中的整数个数可能有五种情况，分别进行讨论即可得出结果. 【详解】按的取值分类， 当时，有组， 当时，有组， 当时，有组， 当时，有组， 当时，有组， 所以总和为. 故答案为：10505.. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线在点处的切线方程为. （1）求实数与的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为；极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程组，解之即得； （2）利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大极小值. 【小问1详解】 由求导得：， 依题意，，， 故有，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，则， 令可得或；由可得. 故函数在和单调递增，在上单调递减. 则函数在时取得极大值，在时，取得极小值. 16. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，可得，利用累乘法可求的通项公式； （2）利用裂项相消法与等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 又适合上式，故的通项公式为， 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 故 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6. （1）求C的标准方程. （2）延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程； （2）由三点共线，可得，由直线的方程和直线的方程联立，再利用根与系数关系由分别表示出，再表示出，即可得到的值. 【小问1详解】 设椭圆的焦距， 所以的周长为，即. 又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，所以， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 是定值. 由（1）得， 设，， 又三点共线，所以，化简得， 则直线的方程为，直线的方程为， 由，化简得， 由根与系数关系可知，， 所以， 同理， 又 ， 所以. 19. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，记的极小值点为． （ⅰ）证明：存在唯一零点； （ⅱ）求证：． （参考数据：） 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设，，利用导数说明的单调性，即可得到恒成立，从而得到恒成立，即可得到的单调性； （2）（ⅰ）设，则可借助导数得到的单调性，结合零点存在性定理得到存在，使得，再借助零点存在性定理得到存在存在唯一零点；（ⅱ）要证，结合函数单调性，即只需证，即证，将用表示后消去，构造对应函数求出其最值即可得证. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 设，，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 当时，取得极大值，即最大值， 所以恒成立，即恒成立， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 又，设，，则， 当时，，所以单调递增， ，， 所以存在，使得， 当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增， 又且时，，， 所以存在唯一，使得，即存在唯一零点. （ⅱ）要证， 只需证， 即证， 因为， 所以， 所以 ， 设，则， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 当时，取得极大值， 所以，即成立，命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查借助导数研究函数的零点问题，其中零点不可求，关键点在于借助零点存在性定理确定存在零点，然后虚设零点，借助所得等式消去变量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024—2025学年(下)中期学习能力摸底 高二数学试题 (命题人： 审题人： ) 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则的导数（ ） A. B. C. D. 2. 已知二项式，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 5. 已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 1或 D. 2或 6. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在处的切线方程为 C. 在内共有1个极值点 D. 设，则在上共有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为__________． 13. 在的展开式中，的系数是__________. 14. 生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，比如：，．当取遍所有的个有序数组时，的总和为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知曲线在点处的切线方程为. （1）求实数与的值； （2）求函数的极值. 16. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6. （1）求C的标准方程. （2）延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，记的极小值点为． （ⅰ）证明：存在唯一零点； （ⅱ）求证：． （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $