4.1 专题 三角形中角度的计算 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 【专题】三角形中角度的计算 【强基固本】 1．如图，直线，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知是的高，，，则的度数是 6．已知如图，，，，则的度数为 ． 7．如图，，，为三角形的内角，求： ． 8．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 9. 如图所示：已知，平分，平分，求证：． 10. 如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 【培优拔尖】 1．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点和分别是，上一点，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．在中，为边上的高，，，则是 度． 6．如图，已知，点E在上，，，则 ． 7．如图，直线，平分，平分，，，则的度数是 ． 8．如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ． 9．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 10．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空： 解：如图，过点作． （已知）， （__________________）． ，（__________________）． （等式的性质）， 即，，之间的数量关系是______． （2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______． （3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________． 【突破压轴】 1．在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．【发现】（1）如图1，在中，，，是角平分线，是高，求及的度数； 【探究】（2）如图2，在中，，是角平分线，动点在线段上（不与点，重合），，垂足为．求的度数；（用含的式子表示） 【拓展】（3）将【探究】中“动点的线段上”改为“动点在射线上”．其余条件不变，分别作平分，平分，且所在的直线与射线交于点，直接写出的度数．（用含的式子表示） 4．的两外角平分线交于点． (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 【专题】三角形中角度的计算 【强基固本】 1．如图，直线，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，平角定义，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，得，，再通过角平分线定义得，然后由直角三角形的性质，最后由角度和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据垂直与三角形的内角和即可求出，再根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角板的度数以及三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， 故选：D． 5．已知是的高，，，则的度数是 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高线，解题的关键是要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，当高在的内部时， ； ②如图，当高在的外部时， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 6．已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 9. 如图所示：已知，平分，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行同旁内角互补可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，于是结论得证． 【详解】证明：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 10. 如图，在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】：如图①，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)【探索证明】：如图②，小刚把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)【结论应用】：如图③，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角板与平行线求角度，涉及平行线的性质、直角三角形性质、平角定义等知识，数形结合，由平行线的判定与性质准确表示出所求角度是解决问题的关键． （1）由两直线平行同位角相等得到，再由平角为列式求出即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的判定与性质，结合直角三角形两锐角互余即可得到； （3）由两直线平行同旁内角互补得到，数形结合，表示出，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，且，， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， ； （3）解：， ， ， ，， ， ， ， ． 【培优拔尖】 1．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 2．如图，在中，点和分别是，上一点，，的平分线交于点，是的外角，若，，，则，，三者间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质可知，根据角平分线的性质可知，根据平行线的性质可知，利用三角形外角的性质可知，整理可得：． 【详解】解：是的平分线， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 又是的外角， ， ， 整理得：． 故选：D ． 3．如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分的定义，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线定义，得到，，利用三角形的外角性质，即可得到结果． 【详解】解：平分，， ， 平分，， ， 是△的外角， ， 即， 故选：B． 4．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出； 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴①，②， ②得：， ∴③， 由①和③得：， ∵， ∴， 同理：，，……， ∴， ∴， 故选：C； 5．在中，为边上的高，，，则是 度． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质及与三角形高相关的问题，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 6．如图，已知，点E在上，，，则 ． 【答案】/92度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，先根据“两直线平行，同旁内角互补”得出，再根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：， ， ， 又， ， 故答案为：． 7．如图，直线，平分，平分，，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义可得，作，由平行线的性质可得，，进而可求得． 本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据图形找出临界位置进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当时， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有一个， 当时， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有两个， ③当时， 如图， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有三个， ④当时， 如图， ∴点，，构成等腰三角形的点只有一个， ⑤当时， 如图， ∴点，，构成等腰三角形的点恰好有四个， 故答案为：． 9．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质和三角形外角的性质找到角之间的关系． 因为，根据两直线平行，同位角相等，可得：，又因为，再次利用两直线平行，同位角相等，可得：； 根据三角形的外角的性质可知，从而可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：在中， ，， ， ． 10．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空： 解：如图，过点作． （已知）， （__________________）． ，（__________________）． （等式的性质）， 即，，之间的数量关系是______． （2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______． （3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________． 【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，； （2）； （3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． 过点作，根据两直线平行内错角相等，可得：，，因为，所以可得； 根据两直线平行，内错角相等可得：，根据三角形内角和定理可得：，根据邻补角定义可得：，把，代入计算即可； 由可知，根据角平分线的定义可知，由可知，所以可得：． 【详解】解：如图，过点作， （已知）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， ，，之间的数量关系是； 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，； 解：， ， 在中，， 又， ， 故答案为：； 由可知， 又、分别是和的平分线， ，， ， 由可知， ， 故答案为：． 【突破压轴】 1．在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解． 【详解】解：设中点为， 如图，当与重合时， 此时 由折叠得， ， 为等边三角形， ， ， ， 在的左侧， ①如图，当在线段上（不与、重合） ， 由折叠得， ， ， ， ， ， ②如图，当与重合时 此时， ； ③如图，在的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述：， ； 故选：B. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 2．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB． 【详解】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE=∠AMF=90°， ∵∠AED=∠MEF， ∴∠DAE=∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC=∠BAC， ∠DAE=90°-∠AED =90°-（∠ACE+∠EAC） =90°-（∠ACE+∠BAC） =（180°-2∠ACE-∠BAC） =（∠ABD-∠ACE）， ∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE； 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°， ∴∠AGH=∠MEF， ∵∠MEF=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．【发现】（1）如图1，在中，，，是角平分线，是高，求及的度数； 【探究】（2）如图2，在中，，是角平分线，动点在线段上（不与点，重合），，垂足为．求的度数；（用含的式子表示） 【拓展】（3）将【探究】中“动点的线段上”改为“动点在射线上”．其余条件不变，分别作平分，平分，且所在的直线与射线交于点，直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1），；（2）；（3）的度数为或． 【分析】（1）根据三角形的内角和求出，再进一步利用角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）即可得到解答； （2）根据已知得到，利用三角形内角和定理求得，利用三角形的外角性质得到，据此求解即可求得答案； （3）分两种情况讨论，①当点在射线上且在外时，②当点在线段上时，同（2）计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当点在射线上且在外时， ∴， 由（2）可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当点在线段上时， 由①得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和高的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义． 4．的两外角平分线交于点． (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②不成立，或 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可； （2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可； （3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 和分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 由（1）可得， ， ， 即． （3）解：①当直线与线段没有交点时，， 理由如下： ∵，， ∴， 即； ②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论： a．如图1，当在线段上，在射线上时，， ∵，， ∴， 即， b．如图2，当在射线上，在线段上时，， ， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$