精品解析：上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二下学期期中学业质量检测数学试卷

2024学年第二学期海滨中学期中学业质量检测卷 高二年级数学学科 一、填空题（1—6每题4分；7—12每题5分，共54分） 1. 点到直线的距离为________． 2. 若直线与直线平行，则______. 3. 已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______. 4. 已知双曲线，则其渐近线方程为________． 5. 已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则______． 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 7. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________． 8. 首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 9. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，是上一点， ，且成等差数列，则的离心率为______． 11. 点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，且，则的最小值为________． 12. 已知曲线，点，下面有四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于； ③曲线上任意点满足； ④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、个、个． 其中，所有正确结论的序号是______． 二、选择题（13—14每题4分，15—16每题5分，共18分） 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 14. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 15. 若数列是等比数列，且则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（78分） 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 19. 已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 （1）求抛物线C的方程; （2）若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 21. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期海滨中学期中学业质量检测卷 高二年级数学学科 一、填空题（1—6每题4分；7—12每题5分，共54分） 1. 点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 2. 若直线与直线平行，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由平行的两条直线，对应方程的特性列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故答案为： 3. 已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先把有且仅有一个公共点转化应用点到直线距离等于半径求解. 【详解】直线与圆有且仅有一个公共点， 圆心为，半径为， 则， 所以. 故答案为：. 4. 已知双曲线，则其渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程求得，即可求解. 【详解】由双曲线方程可知：，双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为：， 故答案为： 5. 已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线C：的实半轴，半焦距， 而，则，所以. 故答案为：18 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 7. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径、母线长，然后得到底面积与表面积，从而得到母线与半径的比值，进而得到母线与底面所成角. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为. 由题可知，则，所以， 因为，所以， 故答案为：. 8. 首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果. 【详解】因为无穷等比数列的首项为，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为. 故答案为： 9. 已知分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合椭圆定义求得可得面积． 【详解】由椭圆方程知，， 因为，所以，所以， 所以． 故答案为：4． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，是上一点， ，且成等差数列，则的离心率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和已知条件得出与的关系，再结合等差数列的性质列出等式，最后根据双曲线的性质求出离心率. 【详解】因为点在双曲线上，所以，即.  因为，所以，则在中，为点的纵坐标的绝对值. 将代入双曲线方程，可得，即，那么.  已知，，成等差数列，可得. 又因为，，所以.  将代入中，可得. 得到，即. 因为，可得.根据双曲线的离心率公式，可得.  故答案为：2. 11. 点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出最值. 【详解】抛物线的焦点为，抛物线的准线为， 圆变形为， 则圆心为抛物线的焦点，半径为. 点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值，最小值为. 所以取最小值时，即取最小值， 如图，过点作于点，由抛物线定义可知，， 所以，当三点共线，当时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 12. 已知曲线，点，下面有四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于； ③曲线上任意点满足； ④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、个、个． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④. 【详解】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对； ②：当，此时曲线是焦点为， 长轴长为的椭圆的左半部分及点， 当时，曲线的方程可化为， 对应的曲线为以为焦点的，实轴长为的双曲线位于轴右侧的部分， 所以封闭图形面积大于的面积，面积为，故②对； ③：当时 ，曲线的方程可化为， 当时，， 当 时，， 当时，， 综上，可知曲线上任意点满足，故③错误. ④：方程可化为， 代入可得， 当时，， 当时，该方程无解，当时，， 当或时，， 当或时，， 当时， ， 所以当或时，方程有一个正根， 当或时，方程没有正根， 所以当或时，曲线与曲线有两个交点， 当或时，曲线与曲线没有交点， 当时，可化为， 化简得， 当时，方程的根为（舍去） 当时，方程的根为， 当时，方程没有解， 当时，方程的根为（舍去）或， 当时，方程的根为或， 当时，方程的两个根为（舍去），（舍去）， 当时，方程两个根为（舍去），（舍去）， 当时，方程的两个根为，， 所以当或时，曲线与曲线没有交点， 当时，曲线与曲线有四个交点， 当或时，曲线与曲线有两个交点， 当时，曲线与曲线有三个交点， 综上：当或时，曲线与曲线有两个交点， 当或时，曲线与曲线有四个交点， 当时，曲线与曲线有三个交点， 当时，曲线与曲线没有交点，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：研究曲线的交点问题的关键在于联立方程组，探究方程组的解得个数，由此确定交点个数. 二、选择题（13—14每题4分，15—16每题5分，共18分） 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 14. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出点M的横坐标，根据焦半径公式计算即可． 【详解】抛物线中，，点在抛物线上，则，， 所以到焦点的距离为， 故选：D． 15. 若数列是等比数列，且则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得，再利用对数法则进行运算化简即可. 【详解】数列是等比数列，则， 则. 故选：B 16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 三、解答题（78分） 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义由前项和公式计算可得； （2）易知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果. 【小问1详解】 设的公差为， 由可得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【小问1详解】 由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 19. 已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 （1）求抛物线C的方程; （2）若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离求解； （2）当直线l的斜率存在，不妨设l的方程为：，与抛物线方程联立，由，结合韦达定理求解； 【小问1详解】 解：抛物线的焦点F为， 双曲线的渐近线方程为：，即：， 则，解得， 故抛物线C的方程为： 【小问2详解】 证明：若直线l的斜率存在，不妨设为，则l的方程为：， 与抛物线方程联立得，消去y得：， ，即时， 设，，则，， 由可得：，即， 亦即：， 将，代入上式得：， 又即：， 所以直线l的方程为：，即，故直线l过定点， 若直线l的斜率不存在，设，，由可得：， 又，联立解得：或舍， 此时直线l的方程为，即直线l过点， 综上可得：直线l过定点 20. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 21. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值． 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或； 【小问3详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 设，因为，，在同一条直线上，所以， 又，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $