精品解析：上海市宜川中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

宜川中学2024学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题：张秀芹 审核：金旭升 校对：______ 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 2.答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 3.本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题 1. 若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为______ 2. 若，，则_________. 3. 函数的最小正周期为______________． 4. 不等式的解集为______. 5. 已知，则__________. 6. 如果，且是第三象限的角，那么______． 7. 已知，则___________. 8. 一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是________． 9. 已知函数，若在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是_________ 10. 复数满足，则________. 11. 已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O上一点，则的取值范围为________. 12. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______ 二、单选题 13. 设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）． A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 14. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 15. 若，在方向上的数量投影是，则为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 18. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 在中，角所对边分别为，，，已知，，. （1）求的面积； （2）函数，求函数的严格增区间. 20. 如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． （1）设，将用、、表示； （2）设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 21. 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； （1）若为区间的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； （3）设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2024学年第二学期期中考试 高一数学试卷 命题：张秀芹 审核：金旭升 校对：______ 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 2.答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 3.本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题 1. 若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念计算即可. 【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为： 2. 若，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 故答案为： 3. 函数的最小正周期为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期求解． 【详解】函数的最小正周期为． 故答案为：． 4. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法计算即可求解. 【详解】由，得， 解得或， 原不等式的解集为. 故答案为： 5. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据，表示出，根据对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2. 6. 如果，且是第三象限的角，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系以及诱导公式即可求解. 【详解】，且是第三象限的角， 则， 所以. 故答案为： 7. 已知，则___________. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】将看做一个整体，利用余弦的二倍角公式计算求得. 【详解】因为，则. 故答案为： 8. 一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图， 则，，即， ，即， 所以，故. 所以A，D两地距离为. 故答案为：. 9. 已知函数，若在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据减函数的定义对 的解析式推导即可. 【详解】由题意， 在 上严格单调递减，则必有： ，∴ ，即 . 故答案为： . 10. 复数满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 11. 已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O上一点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知结合图象可知，.分不重合以及重合两种情况，结合图象分别计算，即可得出答案. 【详解】 根据题意，，，， 所以. 当不重合时，由已知可得的夹角， 当方向相同时，可知为圆的直径， 此时有，，取得最大值2，所以； 当重合时，，此时. 综上所述，. 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对是否重合进行分类，结合图象，得出范围. 12. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果. 【详解】因为，由，得到， 所以或， 所以或， 又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以 且，即且，解得. 故答案为： 二、单选题 13. 设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）． A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 【答案】B 【解析】 【详解】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解. 【分析】是正的中心， 向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 是正三角形的中心， 到三个顶点的距离相等， 即， 但是向量，，它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B. 14. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 15. 若，在方向上的数量投影是，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的定义，求得，即，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量数量积的定义，可得向量在方向上的数量投影为，即， 又由，且， 因为，所以. 故选：D. 16. 已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图像，设，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论的解的情况，计算得到答案. 【详解】当时，， 当时，，， 画出函数图像，如图所示： 函数在有6个不同零点有以下四种可能： ①方程有两个不同的实根和且方程有两个根， 且方程有四个不同的实根， 由函数的图像知，且，令， 则需，解得； ②方程有两个不同的实根和且方程有零个根， 且方程有六个不同的实根， 函数的图像知，且， 由于，则需，解得； ③方程有两个不同的实根和且方程有1个根， 且方程有5个实根成立，则需，此时无解； ④方程有且只有1个根且方程有6个根， 计算得或，或，不合题意； 综上所述：或. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 三、解答题 17. 已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数； （2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可． 【小问1详解】 为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； 【小问2详解】 复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． 18. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），证明：函数定义域为R，若是奇函数，则，解得， 此时，，符合题意， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 由，则，当且仅当，即时等号成立， 所以，又不等式恒成立，得， 则实数的取值范围为. 19. 在中，角所对边分别为，，，已知，，. （1）求的面积； （2）函数，求函数的严格增区间. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，结合面积公式运算求解； （2）结合（1）利用三角恒等变换可得，以为整体结合正弦函数的单调性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为，则， 可得，即，则， 所以的面积. 【小问2详解】 由（1）可得 ， 因为，则，且， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. 20. 如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． （1）设，将用、、表示； （2）设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】（1） （2）是定值， （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； 【小问3详解】 ， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 21. 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； （1）若为区间的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； （3）设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数． 【答案】（1） （2）不存在；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. （3）根据对称轴与区间的关系，分类讨论函数在上的单调性与最值.结合方正函数的定义，先由两个函数的相同最值，建立方程组并求解，再结合对称轴范围分析的存在情况. 【小问1详解】 因为， 函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间的方正函数，则实数的值为. 【小问2详解】 对函数， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，， 所以函数在上单调递减， 由图象对称性可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 【小问3详解】 当时，. 若，则在上单调递增，在上单调递减， 由函数是上的方正函数， 则，解得. 此时，也为上的方正函数； 若，则，，不满足题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 由函数是上的方正函数， 则，解得. 此时，也为上的方正函数； 故当时，存在实数，使得均为上的方正函数； 当时，函数图象开口向上，且对称轴为. ①若即，函数在上单调递增， 由方正函数的概念，可知，即， 解得，所以由，解得. 此时，图象开口向下，对称轴为， 由，则函数在上单调递减， 且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数. 即当时，存在实数，使得均为上的方正函数． ②若，即， 由，则由方正函数概念， ，且. 又由，， 可知，且也是方正函数， 则，且， 故. 所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解； ③若，即， 由，则由方正函数概念， ，且. 与②同理可得， ， 所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解； ④若即，函数在上单调递减， 由方正函数的概念，可知，即， 解得，所以，解得. 此时，，抛物线的对称轴为， 由可知函数在上单调递增， 且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数. 即当时，还存在实数，使得均为上的方正函数． 综上所述，当非负实数的取值范围为时， 存在实数，使得均为上的方正函数． 【点睛】方法点睛：函数定义域与值域相同的问题，一般处理方法是：通过函数单调性的分析，确定函数的最大（小）值在何处取到，从而建立方程组，以方程组的求解为突破口，再加以验证条件是否满足即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $