精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

扬大附中2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2025.04 本试卷共计：150分考 试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，则，解得. 故选：B 2. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理易得. 【详解】因，，由正弦定理，. 故选：A. 3 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式，结合二次方程求解即可. 【详解】因为，且， 所以由余弦的二倍角公式得， 即，解得或（舍）. 故选：B. 4. 在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 5. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式求出，再由平方关系计算可得. 【详解】因为，即， 所以，即， 因为，所以， 所以. 故选：D 7. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积运算律结合可得，再根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，则， 则，即， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：D. 8. 已知函数，，下列说法错误的是（ ） A. 的值域为 B. 若有2个零点，则或 C. 若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为 D. 若有1个零点，则或 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，即可得到的值域，判断A选项，将的零点问题转化为的图象与函数的图象的交点的问题，数形结合即可判断B，C，D三个选项. 【详解】作出函数的图象， 对于A选项，当时，，当时，， 的值域为，故A正确； 令，则， 对于B选项，若有2个零点，则的图象与有两个交点，则或，故B正确； 对于C选项，若的3个零点，则的图象与有三个交点，则， ，， 且，则， ，故C正确； 对于D选项，若有1个零点，则的图象与有一个交点，则或，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断A，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用诱导公式及两角和的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 10. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则；反之，若，则 C. ，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为 D. ，角的平分线交边于，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用正弦定理计算判断A，由正弦定理判断B，应用正弦定理及正弦值域计算判断C，应用面积法得出，结合基本不等式判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，A选项错误； 对于B，由正弦定理得，若，则，所有；反之，若，则，所有，B选项正确； 对于C，因为，，，所以，所以，要使此三角形的解有两个， 则，所以，则的取值范围为，C选项正确； 对于D，因为，角的平分线交边于，且， 则，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当时，取的最小值为12，D选项正确. 故选：BCD. 11. 在梯形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在中由正弦定理求解判断A；利用两角和差公式求解判断B；利用向量数量积计算判断C；利用数量积计算判断D． 【详解】在中，， 则， 由正弦定理知， 即，故A正确； ， ， ，故B正确； ，故C错误； ， 故，即，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，，则的最小角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则， 可知，即最小内角为角， 且， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 14. 在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的值，再由余弦定理可得的值，代入完全平方公式即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 则，则， 所以的周长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的模的坐标运算公式，即可求解； （2）根据题意，求得且，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由向量，可得， 所以. 【小问2详解】 由向量， 可得且， 因为与平行，可得， 所以，解得. 16. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足 （1）求角的大小； （2）若，试求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和正弦公式计算可得； （2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由数量积的定义计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理， 即，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 17. 在中，. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角范围与同角三角函数的平方关系，二倍角公式，结合两角和的余弦公式即可求解； （2）利用三角形的内角之间关系及范围与同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 在中，因为，又， 则，， ， 所以. 【小问2详解】 在中，因为，则是锐角， 又，则， 因为，，则是锐角， 所以， 在中，， 所以 . 18. 如图，点，分别是矩形的边，上的两点，，. （1）若，，，求的范围； （2）若，记，求的最小值； （3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可； （2）建立平面直角坐标系后借助两角和差的正切公式与基本不等式计算即可; （3）建立平面直角坐标系后，将最大转化为最大，借助计算即可. 【小问1详解】 因为, 所以 则, 所以 , 因为， 所以 【小问2详解】 如图①所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 因为, 所以,， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最小值为. 【小问3详解】 如图②所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 由题意，,即, 假设存在点，使得最大， 由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故， 则 当且仅当，即时，等号成立. 所以. 19. 在中，内角，，对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当，的面积取最小值 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； 【小问2详解】 ①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬大附中2024~2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2025.04 本试卷共计：150分考 试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，下列说法错误是（ ） A. 的值域为 B. 若有2个零点，则或 C. 若的3个零点分别为：，，，则的取值范围为 D. 若有1个零点，则或 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值为1的是（ ） A B. C. D. 10. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则；反之，若，则 C. ，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为 D. ，角的平分线交边于，且，则的最小值为12 11. 在梯形中，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，，则最小角为________． 13. 已知，，，，则的值为_____. 14. 在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）若与平行，求实数的值 16. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足 （1）求角的大小； （2）若，试求的最小值. 17. 在中，. （1）求的值； （2）若，求. 18. 如图，点，分别是矩形的边，上的两点，，. （1）若，，，求的范围； （2）若，记，求的最小值； （3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$