专题5.7 分式方程（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.7 分式方程（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【要点提示】 （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2】分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点3】解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【要点提示】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或 除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【知识点4】分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点与题型目录 【考点一】定义的理解 【题型1】分式方程的定义.......................................................3 【考点二】运算的巩固 【题型2】解分式方程...........................................................3 【考点三】根据分式方程解的情况求值 【题型3】增根问题.............................................................4 【题型4】无解问题.............................................................4 【题型5】分式方程正（负）数解和非（正）负数解问题.............................4 【题型6】不等式（组）与分式方程整数解综合问题.................................5 【考点四】分式方程的应用 【题型7】分式方程的行程问题...................................................5 【题型8】分式方程的工程问题...................................................6 【题型9】分式方程的经济问题...................................................6 【题型10】分式方程的其和差倍分问题............................................7 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型11】直通中考............................................................8 【题型12】拓展延伸............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】定义的理解 【题型1】分式方程的定义 【例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【考点二】运算的巩固 【题型2】解分式方程 【例2】（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项、合并同类项，得……第三步 解得……第四步 经检验：是原分式方程的解……第五步 （1）上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． （2）请你帮这个同学正确解答这个分式方程． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： （1） （2） ∴原方程的解为：． 【变式2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： （1）； （2） 【考点三】根据分式方程解的情况求值 【题型3】增根问题 【例3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． （1）当时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程，出现了增根，则 【题型4】无解问题 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的分式方程． （1）当为何值时，分式方程有增根； （2）当为何值时，分式方程无解． 【变式1】（24-25九年级下·黑龙江·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）若分式方程无实数解，则 【题型5】分式方程正（负）数解和非（正）负数解问题 【例5】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． （1）当时，求此时方程的解． （2）若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且一次函数的图象经过第一、二、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【题型6】不等式（组）与分式方程整数解综合问题 【例6】（23-24八年级下·全国·期中）若不等式的解都能使关于x的一次不等式成立，且使关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数a值之和是（    ） A．19 B．20 C．12 D．24 【变式1】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ． 【考点四】分式方程的应用 【题型7】分式方程的行程问题 【例7】（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 【变式1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）南京到上海铁路长，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了，因此从南京到上海的时间缩短了一半，设客车原来的速度是，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天， 【题型8】分式方程的工程问题 【例8】（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． （1）求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ （2）该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【变式1】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 【题型9】分式方程的经济问题 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． （1）求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 【题型10】分式方程的其和差倍分问题 【例10】（24-25八年级下·重庆·期中）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，学校为给师生提供更加良好的阅读环境，决定购进A、B两种书桌共200张供师生阅读时使用，A种书桌数量不少于B种书桌数量的，A种书桌的单价比B种书桌单价高；用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张； （1）求出A，B两种书桌的单价； （2）设购买a张A种书桌，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案； 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广东清远·期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 ． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型11】直通中考 【例1】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【例2】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 分式方程（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】分式方程的概念 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【要点提示】 （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2】分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点3】解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【要点提示】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或 除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【知识点4】分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 考点与题型目录 【考点一】定义的理解 【题型1】分式方程的定义.......................................................3 【考点二】运算的巩固 【题型2】解分式方程...........................................................4 【考点三】根据分式方程解的情况求值 【题型3】增根问题.............................................................7 【题型4】无解问题.............................................................9 【题型5】分式方程正（负）数解和非（正）负数解问题............................11 【题型6】不等式（组）与分式方程整数解综合问题................................13 【考点四】分式方程的应用 【题型7】分式方程的行程问题..................................................16 【题型8】分式方程的工程问题..................................................17 【题型9】分式方程的经济问题..................................................20 【题型10】分式方程的其和差倍分问题...........................................22 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型11】直通中考...........................................................24 【题型12】拓展延伸...........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】定义的理解 【题型1】分式方程的定义 【例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 【考点二】运算的巩固 【题型2】解分式方程 【例2】（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项、合并同类项，得……第三步 解得……第四步 经检验：是原分式方程的解……第五步 （1）上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． （2）请你帮这个同学正确解答这个分式方程． 【答案】（1）一；去分母时等号右边忘记符号（负号）；（2）见分析 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法是解题的关键． （1）根据去分母的方法即可判定； （2）运用解分式方程的方法即可求解． 解：（1）解：， 去分母得，， ∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时等号右边忘记符号（负号）； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程的分母， ∴原分式方程无解． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； （2）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； 解：（1）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 【变式2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）无解 ；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1 ）根据解分式方程的一般步骤求解即可； （2 ）根据解分式方程的一般步骤求解即可． 解：（1）解： 化为整式方程得， ， 去括号得， ， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得， ， 去括号得， ， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 【考点三】根据分式方程解的情况求值 【题型3】增根问题 【例3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． （1）当时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）分式方程化为整式方程，由整式方程有增根的含义求出的值即可． 解：（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 该分式方程有增根， ，即， ，解得， 当时，该分式方程有增根． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程，出现了增根，则 【答案】或5 【分析】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 解：原方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 即或， 把代入整式方程，可得：， 解得：， 把代入整式方程，可得：， 解得：， 故答案为：或5． 【题型4】无解问题 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的分式方程． （1）当为何值时，分式方程有增根； （2）当为何值时，分式方程无解． 【答案】（1）或；（2）或或 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． （1）根据分式方程的增根的定义解决此题． （2）根据分式方程的解的定义解决此题． 解：（1）解：， 去分母，得）． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得（． ∵分式方程有增根， ∴ ∴或． （2）解：由（）得，． ∵分式方程无解， ∴无解或该分式方程有增根． ∴或或． 【变式1】（24-25九年级下·黑龙江·期中）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 找出方程中的最简公分母：，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果． 解： 根据题意，原分式方程无解， ①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，， 解得； ∴的值是1或2， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）若分式方程无实数解，则 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解，可得的值．掌握分式方程增根的概念是解决此题的关键． 解：分式方程去分母，得， 整理得：①， 有两种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得：； 第二种情况：①， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，的值是或1． 故答案为：或1． 【题型5】分式方程正（负）数解和非（正）负数解问题 【例5】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． （1）当时，求此时方程的解． （2）若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 解：（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与分式方程的解法，注意原分式方程的最简公分母不能为零，求出参数m的取值范围是解答本题的关键． 解出一元一次不等式的解集和分式方程的解，根据题目要求求出m的取值范围，再求出满足条件的整数m的值之和即可． 解：解一元一次不等式，得， ∵关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解， ∴， ∴， 关于y的分式方程，得，且，即， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 即且， ∴满足条件的整数m的值有：， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且一次函数的图象经过第一、二、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程与一次函数的综合，熟练掌握解分式方程的方法以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得且，再由一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得，从而得到所有满足条件的整数a的值为2，4，5，即可求解． 解： ， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且， ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为2，4，5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为： 【题型6】不等式（组）与分式方程整数解综合问题 【例6】（23-24八年级下·全国·期中）若不等式的解都能使关于x的一次不等式成立，且使关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数a值之和是（    ） A．19 B．20 C．12 D．24 【答案】A 【分析】本题考查解不等式、解分式方程，理解不等式的解集及分式方程的解是解答的关键．先解不等式的解集，根据已知条件得到a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解结合已知求得a的取值，进而可求解． 解：解不等式得， ∵不等式的解都能使关于x的一次不等式成立， ∴且一次不等式的解集为， ∴且，即且， 解得； 解分式方程得， 即， ∵分式方程有整数解， ∴，又，， ∴符合条件的所有整数a值为2，4，6，7， ∴符合条件的所有整数a值之和是， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 【答案】1/1个 【分析】根据分式方程的解、增根的定义确定m的取值范围，再根据一元一次不等式组的整数解的个数进一步确定m的取值范围，进而确定整数m的值即可．本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解整数解的定义是正确解答的关键． 解：解分式方程，去分母，得：， 解得， 方程的解为正数， ∴ 解得：， 当时是方程的增根， ， 解得， 且； 解不等式组，由， 解得， 由， 解得， 此不等式组有且仅有3个整数解， ， ， 综上，； 所有符合条件的整数的值为5，共1个 故答案为：1． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的增根，解一元一次不等式方程（组）和一元一次不等式组的整数解，根据不等式组有且仅有个整数解，可得整数解为，，，，根据分式方程有增根，可得，所以不等式为，解得，和是不等式的解，再根据概率公式计算即可． 解：解不等式，得： 解不等式，得：， 该不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，，， ， 方程两边同乘以，得 解得， 关于的分式方程有增根， ， 解得， 不等式为， 解得， 和是不等式的解， 不等式组的整数解是不等式的解的概率为． 故答案为：． 【考点四】分式方程的应用 【题型7】分式方程的行程问题 【例7】（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 【答案】走路线1到达B地需要小时 【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设走路线1到达B地需要，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可． 解：设走路线1到达B地需要，10分钟小时， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：走路线1到达B地需要小时． 【变式1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）南京到上海铁路长，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了，因此从南京到上海的时间缩短了一半，设客车原来的速度是，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意和从南京到上海的时间缩短了一半，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 解：由题意可得， ， 故选：C． 【变式2】（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天， 【答案】11 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可． 解：设规定时间为天，根据题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：11． 【题型8】分式方程的工程问题 【例8】（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． （1）求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ （2）该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【答案】（1）款施肥无人机有架，款施肥无人机有架；（2）每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 解：（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， 根据题意得：，解得：， 答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， （2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴每架款施肥无人机每小时施肥， 答：每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【变式1】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙单独完成任务所需时间为小时，根据“乙3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等”列分式方程，得到甲、乙、丙三人的工作效率，即可求解． 解：设乙单独完成任务所需时间为小时，则甲单独完成任务所需时间为小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， 甲、乙、丙工作一轮的工作量为， 甲、乙、丙工作六轮的工作量为， 工作六轮后剩余工作量为， ，即甲工作1小时候剩余工作量为， 乙的工作时间为， 完成工作任务，共需小时， 故答案为：． 【题型9】分式方程的经济问题 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． （1）求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 【答案】（1）芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克；（2）芒果最多降价元． 【分析】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设芒果的进价是元每千克，则奇异果进价是元每千克，由题意列出方程，然后解方程并检验即可； （）设芒果降价元，由（）得奇异果数量为，芒果数量为，根据题意可得，然后解出不等式即可． 解：（1）解：设芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克， 由题意得，， 解得，， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； （2）解：设芒果降价元， 由（）得：奇异果数量为， 芒果数量为， ∴， 解得：， 答：芒果最多降价元． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，结合单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，即可得出答案． 解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 【答案】1230 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书本， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． ∴（元）． 故答案为：1230． 【题型10】分式方程的其和差倍分问题 【例10】（24-25八年级下·重庆·期中）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，学校为给师生提供更加良好的阅读环境，决定购进A、B两种书桌共200张供师生阅读时使用，A种书桌数量不少于B种书桌数量的，A种书桌的单价比B种书桌单价高；用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张； （1）求出A，B两种书桌的单价； （2）设购买a张A种书桌，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案； 【答案】（1）A种书桌的单价为120元，B种书桌的单价为100元；（2），购买方案为：A种书桌50张，B种书桌150张 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设B种书桌的单价为x元，则A种书桌的单价为元，根据用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进a个A种书桌，则购进个B种书桌，根据购进A种书桌数量不少于B种书桌数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 解：（1）解：设B种书桌的单价为x元，则A种书桌的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A种书桌的单价为120元，B种书桌的单价为100元． （2）解：购进a个A种书桌，则购进个B种书桌， 根据题意得：， 解得：， 设购买总费用为w元， 由题意得： ∵随着a增大，w增大， ∴当a取50时，w最小为21000元.， 购买方案为：A种书桌50张，B种书桌150张 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程在实际生活中的应用．审清题意、找出等量关系是解题的关键． 设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下．再根据相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次列出分式方程即可解答． 解：设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下． 由题意可得： ． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·广东清远·期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 如果设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额第二次人均捐款额，据此列出方程即可． 解：设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，由题意，有 . 故答案为：． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型11】直通中考 【例1】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，再根据的取值情况判断乘积的正负性． 解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项得：， 提公因式得：， 去括号、合并同类项得：， 整理得:， ， ， ， ， ， 又， 和， 和， 为整数且， 和， 中符合条件的值共有个负数和个正数， 符合条件的所有值的乘积为正数． 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】（1）12万元，10万元；（2）15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 解：（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$