专题4.2 公式法（4大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.2 公式法（4大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【要点提示】 （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和 与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【知识点2】公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【要点提示】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右 边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【知识点3】因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 【知识点4】因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点与题型目录 【考点一】判断能否用公式法进行因式分解 【题型1】判断能否用平方差公式进行因式分解....................................2 【题型2】判断能否用完全平方公式进行因式分解..................................3 【考点二】公式法进行因式分解 【题型3】平方差公式分解因式..................................................5 【题型4】完全平方公式分解因式................................................6 【题型5】综合运用公式法分解因式..............................................8 【题型6】综合提公因式和公式法分解因式........................................9 【考点四】公式法的应用 【题型7】公式法进行因式分解在有理数简算中的应用.............................10 【题型8】公式法进行因式分解在几何图形中的应用...............................12 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型9】链接中考...........................................................14 【题型10】拓展延伸..........................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】判断能否用公式法进行因式分解 【题型1】判断能否用平方差公式进行因式分解 【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 解：A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（21-22八年级下·广东清远·期末）下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知平方差公式分解因式是解题的关键：． 解：A、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 【题型2】判断能否用完全平方公式进行因式分解 【例2】（18-19七年级下·浙江·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另-项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个， 故选：A ． 【考点二】公式法进行因式分解 【题型3】平方差公式分解因式 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式进行因式分解即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【点拨】本题主要考查了根据平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 【变式1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法，逐一进行因式分解，判断即可． 解：A、，原分解错误，不符合题意； B、，原分解正确，符合题意； C、，原分解错误，不符合题意； D、，，原分解错误，不符合题意； 故选B． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般分到出现无理数为止． 把5写成写成，运用平方差公式分解即可． 解： ， 故答案为：． 【题型4】完全平方公式分解因式 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 【分析】（1）用完全平方公式因式分解； （2）用完全平方公式因式分解； （3）用完全平方公式因式分解； （4）用完全平方公式因式分解； 解：（1） （2） （3） （4） 【点拨】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式. 【变式1】（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列因式分解不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据提公因式法，公式法，依次判断即可求解， 本题考查了因式分解，解题的关键是：熟练掌握提公因式法，公式法因式分解． 解：A、，故该选项错误，符合题意； B、，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，利用完全平方公式先分解因式是解题的关键，也是解本题的难点． 先利用完全平方公式对进行因式分解，再利用多项式的除法法则计算即可． 解：． 故答案为：． 【题型5】综合运用公式法分解因式 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先展开，再合并，最后利用完全平方公式分解因式即可． 解：（1）解：原式； （2）原式 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）分解因式： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 解：（1）解： （2）解： 【题型6】综合提公因式和公式法分解因式 【例6】（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先提取公因式，接着利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，接着利用平方差公式进一步因式分解． 解：（1）解：． （2）解： ； 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式分解即可； （2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】（23-24八年级上·北京·期中）分解因式 （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式变形为，然后提取公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点四】公式法的应用 【题型7】公式法进行因式分解在有理数简算中的应用 【例7】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 解：（1）解： （2） 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 解：（1）解：      ； （2）解： ． 【题型8】公式法进行因式分解在几何图形中的应用 【例8】（24-25八年级上·北京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 【答案】问题1：①③④⑤问题2：（1）能，画图见详解，，（答案不唯一）（2）5或7 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 问题1：根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合面积加减计算逐个判断即可； 问题2：（1）根据整式得到2个大正方形、1个小正方形、3个长方形，然后画出图形即可解答； （2）根据因式分解平方项凑长方形的长宽，进而求解即可解答． 解：问题1：由图形可得，、，故①正确， ，故②错误； 由图形可得，，故③正确； 、， ，故④正确； ，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 问题2：（1）根据题意，图形如下， 此长方形面积为：； （2）由题意可得， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：5或7． 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解得，得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一定是等腰三角形． 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答． 解：由题意得：拼成的大正方形的面积， ∴拼成的大正方形的边长是， 故答案为：． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型9】链接中考 【例1】（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 【例2】（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 解：由题意知，， 故答案为：． 【题型10】拓展延伸 【例1】（21-22九年级下·浙江·期末） 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的应用，利用立方和与立方差公式化简计算，即可得出答案． 解：由立方和、立方差公式可得， ， ， ∴， ∴ 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解及整式混合运算的应用，先根据大中小三个正方形的边长分别为，，，分别表示出，，，再代入，，然后利用因式分解得到，，最后根据求解即可． 解：由图形可得，大中小三个正方形的边长分别为，，， ∴，，， ∵，且， ∴，且， 整理得，且， ∵可得，， ∴， ∵可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 公式法（4大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 【要点提示】 （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和 与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【知识点2】公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【要点提示】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右 边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 【知识点3】因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 【知识点4】因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 考点与题型目录 【考点一】判断能否用公式法进行因式分解 【题型1】判断能否用平方差公式进行因式分解....................................2 【题型2】判断能否用完全平方公式进行因式分解..................................2 【考点二】公式法进行因式分解 【题型3】平方差公式分解因式..................................................3 【题型4】完全平方公式分解因式................................................3 【题型5】综合运用公式法分解因式..............................................3 【题型6】综合提公因式和公式法分解因式........................................4 【考点四】公式法的应用 【题型7】公式法进行因式分解在有理数简算中的应用..............................4 【题型8】公式法进行因式分解在几何图形中的应用................................4 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型9】链接中考............................................................5 【题型10】拓展延伸...........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】判断能否用公式法进行因式分解 【题型1】判断能否用平方差公式进行因式分解 【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级下·广东清远·期末）下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】判断能否用完全平方公式进行因式分解 【例2】（18-19七年级下·浙江·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点二】公式法进行因式分解 【题型3】平方差公式分解因式 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式： （1） （2） 【点拨】本题主要考查了根据平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 【变式1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在实数范围内分解因式 ． 【题型4】完全平方公式分解因式 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列因式分解不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）计算： ．（为正整数）． 【题型5】综合运用公式法分解因式 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）分解因式： （1）． （2）． 【题型6】综合提公因式和公式法分解因式 【例6】（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）因式分解： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【变式2】（23-24八年级上·北京·期中）分解因式 （1） （2）． 【考点四】公式法的应用 【题型7】公式法进行因式分解在有理数简算中的应用 【例7】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 （1） （2） 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）简便计算： （1） （2）． 【题型8】公式法进行因式分解在几何图形中的应用 【例8】（24-25八年级上·北京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 根据材料，回答问题． 问题1：若用4个类材料，围成图2的大正方形，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）__________． ①；②；③；④；⑤． 问题2：若利用图1中三类图形各若干，恰好能拼出一个无重叠且无缝隙的长方形．我们将这样的长方形称为“类长方形”． （1）利用1个类，3个类，2个类图形，能否拼出一个“类长方形”？若能，请画出拼出的长方形，并直接写出此长方形的面积．若不能，请说明理由． （2）若取3个类图形，个类图形，2个类图形拼出一个“类长方形”，则的值为________．（直接写出结果） 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知a、b、c是的三条边，且满足 则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型9】链接中考 【例1】（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【例2】（2023·浙江绍兴·中考真题）因式分解： ． 【题型10】拓展延伸 【例1】（21-22九年级下·浙江·期末） 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）有三个大小不一的正方形按如图1位置重叠摆放，已知小正方形边长为a，．现将这三个正方形沿边长剪成如图2的三块，并分别用，，来表示它们的面积，若，且，求的值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$