专题5.4 分式的加减法（3大知识点4大考点13类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.4 分式的加减法（3大知识点4大考点13类题型） （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；法则可用式子表为：. 【特别提示】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时， 括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【知识点2】异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【特别提示】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【知识点3】分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【特别提示】 （1） 正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础， 要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律将大大提高运算速度. 知识点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】最简公分母..................................................................2 【题型2】通分........................................................................2 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型3】同分母分式加减法............................................................3 【题型4】异分母分式加减法............................................................3 【题型5】整式与分式相加减............................................................3 【题型6】已知分式恒等式,确定分子或分母...............................................3 【题型7】分式加减混合运算............................................................4 【题型8】分式加减乘除混合运算........................................................4 【题型9】分式化简求值................................................................4 【考点三】分式运算的应用 【题型10】分式加减的实际应用.........................................................5 【题型11】分式最值...................................................................5 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型12】链接中考...................................................................6 【题型13】拓展延伸...................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】最简公分母 【例1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【题型2】通分 【例2】（23-24八年级上·河北邢台·期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型3】同分母分式加减法 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）化简结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·湖北黄石·期中）从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为 ． 【题型4】异分母分式加减法 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【题型5】整式与分式相加减 【例5】（21-22八年级上·北京·期中）计算：． 【变式1】（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·宁夏银川·二模）计算的结果是 ． 【题型6】已知分式恒等式,确定分子或分母 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 【变式1】（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若恒成立，则的值是 ． 【题型7】分式加减混合运算 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期中）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【变式2】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 【题型8】分式加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）学校要买一批笔记本电脑，每台A型号电脑的价格是a万元，每台B型号电脑的价格是A型号电脑的2倍．现有资金100万元，全部用来买B型号电脑比全部用来买A型号电脑要少买多少台？ 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【变式2】（2025·浙江台州·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 【题型9】分式化简求值 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： （1） （2） 【变式1】（2025·河北保定·一模）图是一个正方体的表面展开图，正方体相对两个面上的代数式的积相同则A为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·二模）化简： ． 【考点三】分式运算的应用 【题型10】分式加减的实际应用 【例10】（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【变式1】（2025·四川南充·一模）已知：，则的值为（   ） A． B． C．2025 D． 【变式2】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【题型11】分式最值 【例11】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式1】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： （1）分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） （2）将分式化成带分式； （3）当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型12】链接中考 【例1】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【例2】（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： （1）三个数中必有两数之和为零； （2）对于任意奇数，均有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 分式的加减法（3大知识点4大考点13类题型） （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；法则可用式子表为：. 【特别提示】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时， 括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【知识点2】异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【特别提示】 （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【知识点3】分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【特别提示】 （1） 正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础， 要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律将大大提高运算速度. 知识点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】最简公分母..................................................................2 【题型2】通分........................................................................3 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型3】同分母分式加减法............................................................4 【题型4】异分母分式加减法............................................................6 【题型5】整式与分式相加减............................................................7 【题型6】已知分式恒等式,确定分子或分母...............................................9 【题型7】分式加减混合运算...........................................................10 【题型8】分式加减乘除混合运算.......................................................12 【题型9】分式化简求值...............................................................14 【考点三】分式运算的应用 【题型10】分式加减的实际应用........................................................16 【题型11】分式最值..................................................................18 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型12】链接中考..................................................................21 【题型13】拓展延伸..................................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】最简公分母 【例1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母，根据最简公分母的定义即可解答，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 解：分式与的最简公分母是为， 故选：． 【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母．先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出． 解：∵，，， ∴最简公分母是． 故选：C 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 【题型2】通分 【例2】（23-24八年级上·河北邢台·期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 解：∵ ∴ ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型3】同分母分式加减法 【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） ； （2）1 【分析】本题考查了同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式加减运算法则计算即可； （2）根据同分母分式加减运算法则计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 解： ， 故选：C 【变式2】（23-24九年级下·湖北黄石·期中）从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为 ． 【答案】或-2（答出其中一个即可） 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同分母分式的加减运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，然后将或代入求解即可． 解： ∵ ∴ ∴当时，原式； 当时，原式； 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 【题型4】异分母分式加减法 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握因式分解法，分式的性质，分式的混合运算法则是关键． 根据因式分解法，分式的性质及分式的混合运算法则计算即可． 解： ． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．将，转化为：，整体代入法，求出分式的值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法，已知式子的值求代数式的值，先整理得，再化简，然后把代入计算，即可作答． 解：∵， ∴， ， 故答案为：． 【题型5】整式与分式相加减 【例5】（21-22八年级上·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 解： 【变式1】（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：原式 ， 故选：． 【变式2】（2024·宁夏银川·二模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，通分是解答的关键．首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解． 解：， ， ， 故答案为：． 【题型6】已知分式恒等式,确定分子或分母 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 解： ， ， ， ． 【变式1】（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点拨】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 解： 恒成立， ， 故答案为：． 【题型7】分式加减混合运算 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）2； （3）． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期中）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 【答案】180 【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 解： ∵为整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴符合条件的的值的积为： 故答案为：． 【题型8】分式加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）学校要买一批笔记本电脑，每台A型号电脑的价格是a万元，每台B型号电脑的价格是A型号电脑的2倍．现有资金100万元，全部用来买B型号电脑比全部用来买A型号电脑要少买多少台？ 【答案】台 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先表示B型号电脑的数量为，A型号电脑电脑的数量为，然后即可列式计算． 解：由题意得，（台）， 答：电脑要少买台． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 【变式2】（2025·浙江台州·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、分式的加减运算等知识点，理解题意正确的列出代数式成为解题的关键． 先根据时间、路程、速度的关系分别求出去时和返回所用的时间，然后把往返的时间分别相加，再化简即可解答． 解：∵船去时所用时间为：（小时）， ∵船返回时所用时间为：（小时​​​​）， 则船往返的总时间为（小时）． 故答案为：． 【题型9】分式化简求值 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2025·河北保定·一模）图是一个正方体的表面展开图，正方体相对两个面上的代数式的积相同则A为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字、分式的混合运算法则等知识点，掌握正方体表面展开图中相对两个面的特征“相间、Z端是对面”是正确解答的前提． 利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“”与面“A”相对，面“”与面“”相对，再根据相对两个面上的代数式的积相同表示出A，最后运用整式的混合吞噬法则化简即可． 解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“”与面“A”相对，面“”与面“”相对， 由题意可得：， ∴ ． 故选D． 【变式2】（2025·四川成都·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练化简分式是解题的关键． 解：， ， ， ， 故答案为：． 【考点三】分式运算的应用 【题型10】分式加减的实际应用 【例10】（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 【变式1】（2025·四川南充·一模）已知：，则的值为（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行整体代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 解：原式 ， ， ， 原式； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求分式化简求值，掌握运算法则是具体的关键． 先根据分式的混合运算进行计算，然后将代入，即可求解． 解： ∵ ∴原式， 故答案为：． 【题型11】分式最值 【例11】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）；（2）最大值是5；（3）2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 解：（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 【变式1】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： （1）分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） （2）将分式化成带分式； （3）当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）假分式；（2）；（3）时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 解：（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型12】链接中考 【例1】（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（2024·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab=1代入进行计算即可． 解： ∵ ∴原式． 【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 【题型13】拓展延伸 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点拨】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： （1）三个数中必有两数之和为零； （2）对于任意奇数，均有． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 解：（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$