专题5.2 分式的乘除法（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.2 分式的乘除法（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 【特别提示】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【知识点二】分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. 【特别提示】 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 知识点与题型目录 【题型1】分式乘法...................................................................2 【题型2】分式除法...................................................................3 【题型3】分式乘除混合运算...........................................................5 【题型4】分式乘方...................................................................6 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算...................................................7 【题型6】链接中考...................................................................9 【题型7】拓展延伸..................................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式乘法 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 解： ． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 解： ． 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把、代入计算． 解： ， 当、时， 原式． 故答案为：． 【题型2】分式除法 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25九年级上·山西大同·期末）化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式除法运算，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键．根据分式除法运算法则进行计算即可． 解： 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式的除法运算及倒数，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分式除法法则化简得出最简结果，根据等于它的倒数得出，代入求值即可得答案． 解： ， ∵等于它的倒数， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 【题型3】分式乘除混合运算 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出答案． （2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的乘除法法则．根据分式的乘除法法则计算即可． 解：， 故答案为：． 【题型4】分式乘方 【例4】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）化简 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式运算，根据分式运算法则进行计算即可． （1）先根据乘方运算法则进行计算，然后根据分式乘法运算法则进行计算即可； （2）根据负整数指数幂运算法则和分式运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法．先进行分式平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 解： ． 故选：C． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，则 ． 【答案】23 【分析】本题考查了等式的性质及分式性质，完全平方公式的运用，求得是解题的关键．由，将等式两边都除以,再用完全平方公式计算代入即可求解 解：，将等式两边都除以，得： ∴ 故答案为：23 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习） 计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，负整指数幂． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 解：原式． 故答案为． 【题型6】链接中考 【例1】（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 解：， 故选：A． 【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】（1）种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为；（2）“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 解：（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例2】（2021八年级下·全国·专题练习）若，求的值 【答案】 【分析】设，从而得x=3k，y=4k，z=5k；通过整式和分式的运算性质计算，即可得到答案． 解：设， ∴x=3k，y=4k，z=5k ∴ = = =． 【点拨】本题考查了整式、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式、分式运算的性质，从而完成求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 分式的乘除法（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 【特别提示】 （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 【知识点二】分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. 【特别提示】 （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 知识点与题型目录 【题型1】分式乘法...................................................................2 【题型2】分式除法...................................................................2 【题型3】分式乘除混合运算...........................................................2 【题型4】分式乘方...................................................................2 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算...................................................3 【题型6】链接中考...................................................................3 【题型7】拓展延伸...................................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式乘法 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【题型2】分式除法 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25九年级上·山西大同·期末）化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【题型3】分式乘除混合运算 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）化简的结果是 ． 【题型4】分式乘方 【例4】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）化简 （1）； （2）． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，则 ． 【题型5】含乘方的分式乘除混合运算 【例5】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习） 计算： （1）； （2） 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【题型6】链接中考 【例1】（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【例2】（2021八年级下·全国·专题练习）若，求的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$