专题5.1 认识分式（6大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.1 认识分式（6大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【知识点5】分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【知识点6】分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 知识点与题型目录 【题型1】分式的判断..................................................................2 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件......................................3 【题型3】分式的求值..................................................................4 【题型4】判断分式变形是否正确与成立的条件............................................6 【题型5】利用分式的基本性质判断分式值的变化..........................................8 【题型6】将分式的分子分母的最高次项化为正数..........................................9 【题型7】将分式的分子分母各项系数化为整数...........................................10 【题型8】最简分式...................................................................12 【题型9】约分.......................................................................13 【题型10】链接中考..................................................................14 【题型11】拓展延伸..................................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的判断 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题还考查了分式的应用，解答此类问题的关键是要明确：工作量工作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率．首先根据工作效率工作量工作时间，分别用两队挖的水渠的长度除以用的时间，求出甲乙两队每天挖多少米；然后根据工作时间工作量工作效率，用两队合挖水渠的长度除以甲乙两队的工作效率之和，求出需要的天数为多少即可． 解： （天 两队合挖米水渠，需要的天数为天． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）在式子中，整式有 ，分式有 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的定义，分式的定义，单项式和多项式统称为整式，形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子叫做分式，利用整式和分式的定义分析得出答案． 解：在式子中，整式有，分式有． 故答案为：，． 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件 【例2】（20-21八年级上·广东云浮·阶段练习）当x取什么值时，分式满足下列要求： （1）无意义 （2）有意义； （3）值为0． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，分式的值为0 【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解； （2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解； （3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解． 解：（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得： ，即，解得， 当时，分式无意义； （2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得： ，即，解得， 当时，分式有意义； （3）解：当分式，则， 即，解得， 当时，分式值为零． 【点拨】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键． 【变式1】（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 解：由题可知， 且， 解得且 故选：D． 【题型3】分式的求值 【例3】（20-21九年级上·陕西西安·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式有可能是． 解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式的分子可能为， ∴分式有可能是， 故选：． 【变式2】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】判断分式变形是否正确与成立的条件 【例4】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，因式分解，先由分式有意义的条件得到，再由推出，把代入所求式子中化简求解即可． 解：∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 解：， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型5】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【答案】两人的说法都是错的，见分析 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可． 解：他们两人的说法都是错的． ①式是对的， 左边的分式是一定有意义的， ， 分式的分子、分母同时除以，分式的值不变． ②式是错的， 分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为， 分式的值可能改变． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 解：； 分式的值不变； 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）把中的分母化为整数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； 把的分子分母都乘以乘10，的分子分母都乘以乘100，即可解答． 解：把中的分母化为整数得， 故答案为：． 【题型6】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 解：（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 【变式1】（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 解：． 故选B． 【点拨】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 解： ， 故答案为：． 【题型7】将分式的分子分母各项系数化为整数 【例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 解：（1）解：； （2）解：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 解：解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握其性质． 根据分式的基本性质把分子分母都乘以2即可； 解：， 故答案为：． 【题型8】最简分式 【例8】（23-24八年级上·全国·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见分析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点拨】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义，分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可． 解：A．，是最简分式，符合题意； B． ，故原式不是最简分式，不合题意； C． ，故原式不是最简分式，不合题意； D．，故原式不是最简分式，不合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最简分式的特点，分式有意义的条件，解答即可． 本题考查了最简分式，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 解：根据题意，写出的分式是． 故答案为：． 【题型9】约分 【例9】（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分和求值，先把分子提取公因式x分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再把分子和分母约分，最后代值计算即可得到答案． 解：解； ， 当时，原式． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列分式约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分， 对分子、分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式或整式，逐一计算即可；掌握约分的方法是解题的关键． 解：A．，结论正确，符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论错误，不符合题意； D．不能约分，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式中分子、分母的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式，完全平方公式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先把分式的分母分解因式，然后即可找出分子、分母的公因式． 解： 分子、分母的公因式是， 故答案为：． 【题型10】链接中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 认识分式（6大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【知识点5】分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【知识点6】分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 知识点与题型目录 【题型1】分式的判断..................................................................2 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件......................................2 【题型3】分式的求值..................................................................2 【题型4】判断分式变形是否正确与成立的条件............................................3 【题型5】利用分式的基本性质判断分式值的变化..........................................3 【题型6】将分式的分子分母的最高次项化为正数..........................................3 【题型7】将分式的分子分母各项系数化为整数............................................4 【题型8】最简分式....................................................................4 【题型9】约分........................................................................4 【题型10】链接中考...................................................................5 【题型11】拓展延伸...................................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的判断 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）在式子中，整式有 ，分式有 ． 【题型2】分式有意义、无意义、分式的值为零的条件 【例2】（20-21八年级上·广东云浮·阶段练习）当x取什么值时，分式满足下列要求： （1）无意义 （2）有意义； （3）值为0． 【变式1】（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【变式2】（2025·云南昆明·一模）若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ） A． B．且 C． D．且 【题型3】分式的求值 【例3】（20-21九年级上·陕西西安·期末）若，则的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【题型4】判断分式变形是否正确与成立的条件 【例4】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，求的值． 【变式1】（2022八年级上·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型5】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）把中的分母化为整数，得 ． 【题型6】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． （1） （2）． 【变式1】（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【题型7】将分式的分子分母各项系数化为整数 【例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为 ． 【题型8】最简分式 【例8】（23-24八年级上·全国·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 【题型9】约分 【例9】（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列分式约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）分式中分子、分母的公因式是 ． 【题型10】链接中考 【例1】（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$