4.1 第3课时 三角形的高、中线和角平分线 课时同步训练 2024-2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第3课时 三角形的高、中线与角平分线 【知识点1】【教材重现】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高（教材P90）。 【扩展】三角形的三条高所在的直线交于一点（这个点称为三角形的垂心）（教材P91） （1）锐角三角形的三条高交于三角形内部（点O）； （2）直角三角形的三条高交于直角顶点（点O）； （3）钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外部（点O） 【例1】画三角形的高 【典例】若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点始终在其内部， 那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式1】在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线段，垂直，交的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 【变式2】下列说法中正确的是（   ） A．同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两直线位置关系，三角形的高的定义，平行公理以及垂线的性质，根据以上知识逐项分析判断即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、 同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故该选项不正确，不符合题意； B、 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故该选项正确，符合题意； C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； D、同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3】在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 【例2】与三角形的高有关的计算问题 【典例】如图，在直角三角形中，，，，，，． (1)点到的距离是______；点到的距离是________． (2)求点到的距离． 【答案】(1)； (2)点到的距离为． 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （1）根据定义即可解答． （1）在中，利用等积法求解即可解答． 【详解】（1）解：点到的距离是；点到的距离是． 故答案为：；； （2）解：设点到的距离为， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴点到的距离为． 【变式1】如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式2】如图，在三角形中，点、在线段上，平分，有下列说法： ①以A为顶点的角共有6个； ②以、、、为端点的线段共有6条； ③若，，则； ④若，，，则； 其中说法正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了线段、角的和与差以及角度的计算，一元一次方程的应用； 按照一定的顺序数出以A为顶点的角即可判断①；按照一定的顺序数出以以、、、为端点的线段即可判断②；根据角平分线定义、角的和与差计算即可判断③；根据线段的和与差计算即可判断④． 【详解】解：以为顶点的角有：、、、、，，共有6个，故①正确； 以为端点的线段有：、、、、、，共有6条，故②正确； ∵平分，， ， 又， ，故③正确； ，， ∴设，则，， ∵， ， ∴， ∴，，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【变式3】如图，在中，，的高线相交于点．点分别在和的延长线上，分别平分和，分别平分和，则 ． 【答案】/107度 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形内角和定理等，由三角形高的定义得，即得，进而得，即可得，进而由角平分线的定义得，，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 又∵分别平分和， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点2】【教材重现】在三角形中，连接一个顶点与它对边重点的线段，叫作三角形的中线（教材P90） 【知识点4】【教材重现】三角形的三条中线交于一点，则这个点称为三角形的重心（教材P91） 【例3】与三角形的中线有关的计算问题 【典例】如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 【变式1】如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 【答案】 【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题可知，点O是的重心， ∴， 如图所示，过点B作交AD的延长线与点G， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点． 【变式2】如图，这是9×11的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上，按要求画图： (1)画出的边上的中线． (2)画出的边上的高． (3)若，求边上的高的长度． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的高，中线的定义等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． （1）根据网络特点找到的中点，连接、两点即可求解； （2）根据三角形的高的定义画出图形； （3）利用面积法解决问题即可． 【详解】（1）解：如下图，根据网络特点找到中点，再连接、两点，线段即为所求． （2）解：如下图，延长，过点作延长线的垂线，交于点，线段即为所求． （3）解：设边上的高为， 由图题意可知：，， ， 即， ， 即边上的高的长度为． 【变式3】如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线： （1）如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【例4】重心的概念 【典例】三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的 ． 【答案】重心 【分析】本题考查了三角形重心的定义，理解三角形重心定义是解题的关键．根据三角形重心定义回答即可． 【详解】解：三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 故答案为：重心． 【变式1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点，即为所求， 【变式2】如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 【变式3】如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义；根据三角形重心的定义，三角形的中线等分面积，得出，再根据等式的性质判断． 【详解】解：∵F是的重心， ∴ ∴， ∴； 故选：A． 【知识点4】【教材重现】在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线（教材P90） 【扩展】三角形的三条角平分线交于一点（这个点称为三角形的内心）。（教材P91） 【例5】三角形角平分线的定义 【典例】如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确； B、直角三角形有三条高，故该选项错误； C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误； D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误； 故选：A． 【变式2】如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【答案】(1)，， (2)的角平分线，，，，的角平分线 (3) (4)， 【分析】（1）由三角形的高的定义及垂线的定义即可直接得出答案； （2）由三角形角平分线的定义即可直接得出答案； （3）由三角形的中线的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的中线的定义即可直接得出答案． 【详解】（1）解：在中，，垂足为，则是边上的高，， 故答案为：，，； （2）解：若平分，交于点，则叫的角平分线，，叫的角平分线， 故答案为：的角平分线，，，，的角平分线； （3）解：若，则的中线是， 故答案为：； （4）解：若，则是的中线，是的中线， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，垂线的定义，三角形角平分线的定义，三角形的中线的定义等知识点，熟练掌握与三角形有关的线段的定义是解题的关键． 【变式3】如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．解答本题的关键是掌握三角形的中线、高线及角平分线的意义，根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是的中线， ， 而与不一定相等， 故说法错误，不符合题意； B、是的高线， ， 在中，， ， 故说法错误，不符合题意； C、是的角平分线， ， 而与不一定相等， 故说法错误，不符合题意； D、是的中线， ， 又，， ， ， ． 故说法正确，符合题意； 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第3课时 三角形的高、中线与角平分线 【知识点1】【教材重现】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高（教材P90）。 【扩展】三角形的三条高所在的直线交于一点（这个点称为三角形的垂心）（教材P91） （1）锐角三角形的三条高交于三角形内部（点O）； （2）直角三角形的三条高交于直角顶点（点O）； （3）钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外部（点O） 【例1】画三角形的高 【典例】若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式1】在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中正确的是（   ） A．同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【变式3】在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【例2】与三角形的高有关的计算问题 【典例】如图，在直角三角形中，，，，，，． (1)点到的距离是______；点到的距离是________． (2)求点到的距离． 【变式1】如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ． 【变式2】如图，在三角形中，点、在线段上，平分，有下列说法： ①以A为顶点的角共有6个； ②以、、、为端点的线段共有6条； ③若，，则； ④若，，，则； 其中说法正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【变式3】如图，在中，，的高线相交于点．点分别在和的延长线上，分别平分和，分别平分和，则 ． 【知识点2】【教材重现】在三角形中，连接一个顶点与它对边重点的线段，叫作三角形的中线（教材P90） 【知识点4】【教材重现】三角形的三条中线交于一点，则这个点称为三角形的重心（教材P91） 【例3】与三角形的中线有关的计算问题 【典例】如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【变式1】如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为 【变式2】如图，这是9×11的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上，按要求画图： (1)画出的边上的中线． (2)画出的边上的高． (3)若，求边上的高的长度． 【变式3】如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【例4】重心的概念 【典例】三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的 ． 【变式1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【变式2】如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【变式3】如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【知识点4】【教材重现】在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线（教材P90） 【扩展】三角形的三条角平分线交于一点（这个点称为三角形的内心）。（教材P91） 【例5】三角形角平分线的定义 【典例】如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 【变式2】如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【变式3】如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$