4.1 第2课时 三角形的三边关系 讲义 2024～2025学年北师大版七年级数学下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系 【知识点1】【教材重现】三角形的任意两边之和大于第三边（教材P88） 【知识点2】【教材重现】三角形的任意两边之差小于第三边（教材P89） 【例1】构成三角形的条件 【典例】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．4，6，5 B．6，8，15 C．3，4，7 D．8，4，3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练准确掌握三角形的三边关系是解题的关键． 利用三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系即：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得， A. ，能组成三角形，故该选项符合题意； B. ，不能组成三角形，故该选项不符合题意； C.，不能组成三角形，故该选项不符合题意； D.，不能组成三角形，故该选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】3．在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形的可能取值即可解答． 【详解】解：∵在中，若， ，即， ∴， ∵的长度为整数， ∴的长度可以为3、4、5， ∴的周长可能是9、10、11． 故选：B． 【变式2】下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 【变式3】若一个三角形的两边长分别为和，第三边长为奇数，则这个三角形周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再利用第三边长为奇数，得出第三边长的最大值，则可得三角形周长的最大值． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 即第三边长， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为， 故答案为：． 【知识点3】判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。比如，在中，已知两条边，那么第三条边的取值范围为. 【例2】确定三角形第三边的取值范围 【典例】已知的两边长分别为，，则第三边长可能是 ．（写一个即可） 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为， 则， 即， ∴第三边长可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 【变式1】有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式，三角形构成条件，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：所有情况有： 共种， 其中能构成三角形的有：共种； 故． 故答案为：． 【变式2】阅读下面材料： 若，求a，b的值． 解：因为， 所以， 所以． 因为，， 所以，， 所以． 根据上述材料，解决下面的问题． (1)若，则_________，_________． (2)已知等腰三角形的两边长分别为a，b（，且a，b都是正整数），满足，求三角形的周长．（注：等腰三角形的两条边相等） 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握完全平方公式及三角形三边之间的关系是解题的关键． （1）利用完全平方公式将原式变形为，然后根据完全平方数的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式将原式变形为，再根据完全平方数的非负性得出，，然后分两种情况讨论：①当是腰长时；②当是底边时；分别根据三角形三边之间的关系进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ，， ，， ，， 分两种情况讨论： ①当是腰长时， 三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长； ②当是底边时， 三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长； 综上，三角形的周长为或． 【变式3】阅读材料． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、负整数指数幂、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再代入计算即可得； （2）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∵是的三边长， ∴，即． 【例3】【★温故知新】等腰三角形的定义 【典例】等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为 时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 当腰长为时，则底边长为：， 则，不符合三角形三边关系，构不成三角形， 故等腰三角形的腰长为． 故答案为：12． 【变式1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴． 综上所述：等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 【变式2】已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， 平分外角， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式3】【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照题例方法解答即可； （）把右式移到左边，再仿照题例方法求出的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：方法运用：∵ ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴的值为； 拓展提升：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， 当时， ∵， ∴构成不了三角形，该种情况不符合； 当时，的周长； ∴的周长为． 【例4】三角形三边关系的应用 【典例】一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，理解三角形三边关系是解题关键． 根据 “三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”，据此可得第三边的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：设三角形框架的第三边长为x， 根据题意，可得 ，即， 故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【变式1】木工师傅要把两根长分别为的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三根木条的长度范围即可得到答案． 【详解】解；由题意得，第三根木条的长， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式2】已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 【变式3】如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形三边关系．熟练掌握是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】当时， 当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个； …； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个． 故答案为：3；． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系 【知识点1】【教材重现】三角形的任意两边之和大于第三边（教材P88） 【知识点2】【教材重现】三角形的任意两边之差小于第三边（教材P89） 【例1】构成三角形的条件 【典例】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．4，6，5 B．6，8，15 C．3，4，7 D．8，4，3 【变式1】3．在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【变式2】下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【变式3】若一个三角形的两边长分别为和，第三边长为奇数，则这个三角形周长的最大值为 ． 【知识点3】判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。比如，在中，已知两条边，那么第三条边的取值范围为. 【例2】确定三角形第三边的取值范围 【典例】已知的两边长分别为，，则第三边长可能是 ．（写一个即可） 【变式1】有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是 ． 【变式2】阅读下面材料： 若，求a，b的值． 解：因为， 所以， 所以． 因为，， 所以，， 所以． 根据上述材料，解决下面的问题． (1)若，则_________，_________． (2)已知等腰三角形的两边长分别为a，b（，且a，b都是正整数），满足，求三角形的周长．（注：等腰三角形的两条边相等） 【变式3】阅读材料． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围． 【例3】【★温故知新】等腰三角形的定义 【典例】等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 【变式1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【变式2】已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 【变式3】【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【例4】三角形三边关系的应用 【典例】一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【变式1】木工师傅要把两根长分别为的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【变式3】如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$