4.1 第1课时 三角形及其内角和 课时同步训练 2024～2025学年度北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第1课时 三角形及其内角和 【知识点1】【教材重现】三角形的基本概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形（教材P85） 【例1】三角形的识别与有关概念 【典例】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C 【变式1】（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 【变式2】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 【例2】三角形的个数问题 【典例】如图中的三角形的个数是 个 【答案】9 【分析】根据线段的计数方法，先数出图形中小三角形的个数是5，则三角形的这个数就是个，据此即可解答问题． 【详解】解：（个） 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了三角形，解题的关键是采用线段的计数方法：先数出小三角形的个数是． 【变式1】如图，以为公共边的三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了学生对三角形的认识，解答本题的关键是掌握好三角形的边，注意要审清题意，按题目要求解题．根据三角形的定义，由图知：以为公共边的三角形有共4个． 【详解】∵以为公共边的三角形有， ∴以为公共边的三角形的个数是4个． 故选C． 【知识点2】【教材重现】三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°（教材P86） 【例3】三角形内角和定理的证明 数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得，再根据，通过等量代换可得． 【详解】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 【变式1】“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【变式2】李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【答案】作图见解析，；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角的证明，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质． 根据尺规作图—做一个角等于已知角的方法和步骤进行作图即可；根据内错角相等，两直线平行得出，进而得出，最后根据平角的定义得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（已作）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（平角的定义）， ∴（等量代换）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 【例4】【★温故知新】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式1】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式2】将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 【变式3】如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【知识点3】【教材重现】三角形的分类（教材P87-88） 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个内角均为锐角 （2）钝角三角形：有一个内角是钝角 （3）直角三角形：有一个内角是直角 通常，使用符号“”表示“直角三角形”。 直角所对的边（）称为直角三角形的斜边； 夹直角的两条边（）称为直角三角形的直角边。 2. 三角形按边分类： （1）三边都不相等的三角形 （2）等腰三角形：有两边相等的三角形 a. 底边和腰不相等的等腰三角形 b. 等边三角形：三条变都相等的三角形 【例5】三角形的分类 【典例】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【变式1】、是的内角，如果，，则是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】三角形按角的大小可以分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可知，, ∴是锐角三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形按角的分类，掌握三角形的分类知识是解题的关键． 【变式2】一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可． 【详解】解：， 最大的角为：， 其余两个角都是， 这是一个直角三角形， 按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：；直角；等腰 【变式3】在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为，则这两个锐角的度数分别是 、 ． 【答案】 【分析】该题考查了直角三角形的性质，根据在直角三角形中，两个锐角的和是，求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，两个锐角的和是， 又已知两个锐角的度数比是， 故两个锐角的度数分别是：． 故答案为：，． 【知识点4】【教材重现】直角三角形的性质（教材P87） 直角三角形的两个锐角互余。 数学表达为：在中，∵，∴. 【例6】直角三角形的两个锐角互余 【典例】将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以是直角三角形． 因为是边上的高， 所以， 所以都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 【变式2】如图，，平分，．若，求的度数是多少． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的两锐角特点．熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得． 【详解】解：， ． 平分， ． 又∵， ∴． ． 【变式3】如图，在三角形ABC中，平分，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线定义及直角三角形两锐角互余等知识，数形结合，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）由同位角相等两直线平行得到，进而由平行线性质得到，结合已知条件得到，从而判定； （2）由平行线性质，结合角平分线定义得到，在中由两锐角互余即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， 平分， ． ， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第1课时 三角形及其内角和 【知识点1】【教材重现】三角形的基本概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形（教材P85） 【例1】三角形的识别与有关概念 【典例】一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【变式2】如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【例2】三角形的个数问题 【典例】如图中的三角形的个数是 个 【变式1】如图，以为公共边的三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】【教材重现】三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°（教材P86） 【例3】三角形内角和定理的证明 数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【变式1】“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【例4】【★温故知新】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度． 【变式3】如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【知识点3】【教材重现】三角形的分类（教材P87-88） 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个内角均为锐角 （2）钝角三角形：有一个内角是钝角 （3）直角三角形：有一个内角是直角 通常，使用符号“”表示“直角三角形”。 直角所对的边（）称为直角三角形的斜边； 夹直角的两条边（）称为直角三角形的直角边。 2. 三角形按边分类： （1）三边都不相等的三角形 （2）等腰三角形：有两边相等的三角形 a. 底边和腰不相等的等腰三角形 b. 等边三角形：三条变都相等的三角形 【例5】三角形的分类 【典例】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】、是的内角，如果，，则是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 【变式2】一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【变式3】在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为，则这两个锐角的度数分别是 、 ． 【知识点4】【教材重现】直角三角形的性质（教材P87） 直角三角形的两个锐角互余。 数学表达为：在中，∵，∴. 【例6】直角三角形的两个锐角互余 【典例】将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】如图，，平分，．若，求的度数是多少． 【变式3】如图，在三角形ABC中，平分，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$